1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 5：方程（组）应用探讨：方程（组）应用探讨 初中数学中列方程（组）解应用题是一项重要内容，也是中考中与不等式（组）的应用二选一（或同 题）的必考内容。初中阶段主要包括一元一次、二次方程，分式方程，二元一次方程组（有些地区还有无 理方程和可化为二元一次方程的高次方程组） 。它们应用的基本步骤是相同的，基本步骤为： 审（审题） ； 找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系） ； 设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数） ； 表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量） ； 列（列方程（组） ） ； 解（解方程（组） ） ； 验（检验解
2、的有效性和实际意义的符合性） ； 答（回答题问） 。 它们的应用包括（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶度问题；（4）增长率问题；（5）销售利润 和存贷问题；（6）比例和调配（分配）问题；（7）数字问题；（8）和差倍分问题；（9）几何问题； （10）分段问题；（11）规律探究问题；（12）不定方程问题；（13）在函数问题中的应用问题。下面 通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、行程问题一、行程问题 解题指导：解题指导： （1）基本量是：路程、速度和时间。 基本关系是：路程= 速度 时间；时间= 路程 速度 ；速度= 路程 时间 。 （2）基本类型：相遇问题；相背问题；追及问题；行船（
3、风速）问题；环形跑道问题等。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃 而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问 题却通常以时间作相等关系，在行船（风速）问题中很多时候还用速度作相等关系。 行船（风速）问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化： 顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速） ； 逆水（风）速度=静水（无风）速度水流速度（风速） 。 由此可得到行船（风速）问题中一个重要等量关系： 2 顺水（风）速度水流速度（
4、风速）逆水（风）速度+水流速度（风速）静水（无风）速度。 典型例题：典型例题： 例例 1.（宁夏区宁夏区 3 分）分）小颖家离学校 1200 米,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了 16 分钟.假设小颖上坡路的平均速度是 3 千米/时，下坡路的平均速度是 5 千米/时.若设小颖上坡用了 x 分 钟，下坡用了 y 分钟，根据题意可列方程组为【 】 A 3x5y1200 xy16 B 35 xy1.2 6060 xy16 C 3x5y1.2 xy16 D 35 xy1200 6060 xy16 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。 【分析】【分析】
5、要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为： 上坡用的时间 上坡的速度下坡用的时间 下坡速度=1200， 上坡用的时间下坡用的时间=16。 把相关数值代入（注意单位的通一） ，得 35 xy1.2 6060 xy16 。故选 B。 例例 2.（浙江（浙江台州台州 4 分）分）小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的 平均速度比公共汽车多 20 千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 1 4 ，设公共汽车的平均速度为 x 千 米/时，则下面列出的方程中正确的是【 】 A B C D 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】方程的应用（行程问题）
6、。 【分析】【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题只要列出方程即可。由题设公共汽车 的平均速度为 x 千米/时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多 20 千米/时得出租车的平均速度为 x20 千米/时。等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了 1 4 ，即 回来时路上所花时间是去时路上所花时间的 3 4 40 x+20 = 40 x 3 4 故选 A。 例例 3.（四川（四川内江内江 3 分）分）甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶 3 15 千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是【 】 A. 3040 1
7、5xx B. 3040 15xx C. 3040 15xx D. 3040 15xx 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】由实际问题抽象出方程（行程问题） 。 【分析】【分析】甲车的速度为x千米/小时，则乙甲车的速度为15x千米/小时 甲车行驶 30 千米的时间为 30 x ，乙车行驶 40 千米的时间为 40 15x ， 根据甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用时间相同得 3040 15xx 。故选 C。 例例 5. （江苏宿迁（江苏宿迁 10 分）分）某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以 60km/h 的速度走平路，后又以 30km/h 的速度爬坡，共用了 6.5h；原路
8、返回时，汽车以 40km/h 的速度下坡，又以 50km/h 的速度走平路， 共用了 6 h。问平路和坡路各有多远？ 【答案】【答案】解：设平路有 x km ，坡路有 y km，根据题意，得 xy +=6.5 6030 xy +=6 5040 ，解得 x=150 y=120 。 答：平路有 150 km ，坡路有 120 km。 4 【考点】【考点】二元一次方程组的应用（行程问题） 。 【分析】【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： （1）以 60km/h 的速度走平路的时间以 30km/h 的速度爬坡的时间=6.5 h； （2）以 40km/h 的速度
9、下坡的时间以 50km/h 的速度走平路的时间=6 h。 例例 6. （辽宁丹东辽宁丹东 10 分）分）暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险. 半小 时后，第二队前去支援，平均速度是第一队的 1.5 倍，结果两队同时到达已知抢险队的出发地与灾区的 距离为 90 千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？ 【答案】【答案】解：设第一队的平均速度是 x 千米/时，则第二队的平均速度是 1.5x 千米/时 根据题意，得： 90901 = x1.5x2 ，解这个方程，得 x=60 。 经检验，x=60 是所列方程的根。 1.5x=1.5 60=90。 答：第一队的平均
10、速度是 60 千米/时，第二队的平均速度是 90 千米/时。 【考点】【考点】分式方程的应用。 【分析】【分析】设第一队的平均速度是 x 千米/时，则第二队的平均速度是 1.5x 千米/时根据半小时后，第二队 前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二队所用时间的差是 1 2 小时，即可列方程求解。 练习题：练习题： 1. （辽宁本溪辽宁本溪 3 分）分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公 交车上学所需的时间少用了 15 分钟，现已知小林家距学校 8 千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速 度的 2.5 倍，若设乘公交车平均每小时走 x 千米，根据题意可列方程
11、为【 】 A、 88 +15= x2.5x B、 88 =+15 x2.5x C、 818 += x42.5x D、 881 =+ x2.5x4 2. （山东（山东滨州滨州 3 分）分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时 15 分钟他 骑自行车的平均速度是 250 米/分钟，步行的平均速度是 80 米/分钟他家离学校的距离是 2900 米如果 他骑车和步行的时间分别为x, y 分钟，列出的方程是【 】 A 1 4 250802900 xy xy B 15 802502900 xy xy C 1 4 802502900 xy xy D 15 250802900 xy
12、 xy 5 3. （辽宁鞍山辽宁鞍山 3 分）分） A、B 两地相距 10 千米，甲、乙二人同时从 A 地出发去 B 地，甲的速度是乙的速度 的 3 倍，结果甲比乙早到 1 3 小时设乙的速度为 x 千米/时，可列方程为 4. （湖北十堰（湖北十堰 8 分）分）一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶 60 千米后， 再以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，结果比原计划提前 40 分钟到达目的地，求原计划的行驶速度 5. （辽宁锦州辽宁锦州 10 分）分）某部队要进行一次急行军训练，路程为 32km.大部队先行，出发 1 小时后， 由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大
13、部队提前 20 分钟到达目的地.已知突击小队的行进速度是大部 队的 1.5 倍，求大部队的行进速度. （列方程解应用题） 6. （山东青岛（山东青岛 6 分）分）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约 84km， 返回时经过跨海大桥，全程约 45km小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的 1.2 倍，所用时间却比返回 时多 20min求小丽所乘汽车返回时的平均速度 7. （广西桂林（广西桂林 8 分）分）李明到离家 2.1 千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家 中，此时距联欢会开始还有 42 分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了 1 分钟，然后立
14、即匀速 骑自行车返回学校已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少 20 分钟，且骑自行车的速度是 步行速度的 3 倍 (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 8. （2011 广西崇左广西崇左 2 分）分）元代朱世杰所著算学启蒙里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日 行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”，请你回答：良马 天可以追上驽马. 二、工程问题二、工程问题 解题指导：解题指导： （1）基本量是：工作量、工作效率、工作时间。 基本关系是： 工作量=工作效率 工作时间； 工作时间= 工作量 工作效率 ； 工作效率= 工
15、作量 工作时间 。 （2）基本类型：有工作总量和无工作总量。 （3）在工程问题中，若工作总量给出了明确的数量，此时工作效率也即工作速度；若没有给出明确 的数量，一般常将全部工作量看作整体 1，如果完成全部工作的时间为 t，则工作效率为 1 t 。常见的相等关 系有两种：如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量；如果以时间作相等关系，完成同 一工作的时间差=多用的时间。 典型例题：典型例题： 例例 1. （四川（四川达州达州 3 分）分）为保证达万高速公路在年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完 6 成修建任务.已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用 10 天，乙队单独完成这项工程比规
16、定时间多用 40 天,如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前 14 天完成任务.若设规定的时间为 x 天，由题意列出的方程是 【 】 A、 111 x10 x40 x14 B、 111 x10 x40 x14 C、 111 x10 x40 x14 D、 111 x10 x14x40 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题） 。 【分析】【分析】设规定的时间为 x 天则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程 所需时间是（x+40）天甲队单独一天完成这项工程的 1 x10 ，乙队单独一天完成这项工程的 1 x40 ， 甲、乙两队合作一天完
17、成这项工程的 1 x14 ，则 111 x10 x40 x14 。故选 B。 例例 2. （吉林省（吉林省 2 分）分） 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与 原计划生产 450 台机器所需时间相同设原计划每天生产 x 台机器，则可列方程为【 】 A 600450 xx50 B 600450 xx50 C 600450 x50 x D 600450 x50 x 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题） 。 【分析】【分析】因为原计划每天生产 x 台机器，现在平均每天比原计划多生产 50 台，所以，现在生产 600
18、台机 器所需时间是 600 x50 天，原计划生产 450 台机器所需时间是 450 x 天，由“现在生产 600 台机器所需时间与 原计划生产 450 台机器所需时间相同”得方程 600450 x50 x 。故选 C。. 例例 3. （辽宁铁岭辽宁铁岭 3 分）分）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工 20 天可完成；若甲、乙 两工程队合作施工 5 天后，乙工程队在单独施工 45 天可完成.求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设 乙工程队单独完成此工程需要 x 天，可列方程为 . 【答案】【答案】 545 +=1 20 x 。 【考点】【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题） 。
19、 【分析】【分析】甲、乙两工程队合作施工 20 天可完成；合作的工作效率为： 1 20 。 若设乙工程队单独完成此工程需要 x 天，则可列方程 545 +=1 20 x 。 7 例例 4. （福建厦门（福建厦门 9 分）分）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用 x 小时，乙车 床需用 (x21)小时，丙车床需用(2x2)小时. （1）单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的 2 3 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需 的时间； （2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由. 【答案】【答案】解： （1）由题意得, x2 3(2x2)
20、，解得 x4。 x2116115(小时)。 答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是 15 小时。 （2）不相同。 若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得, 1 x21 1 2x2 ， 1 x1 1 2。x1。 经检验，x1 不是原方程的解， 原方程无解。 答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同。 【考点】【考点】一元一次方程和分式方程的应用。 【分析】【分析】（1）若甲车床需要 x 小时，丙车床需用（2x-2）小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的2 3，即 可列出方程求解。 （2）假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程，证明它无解即可。 例例 5. （辽宁沈阳
21、辽宁沈阳 10 分）分）甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工 10 个零件，甲加工 150 个零件所用时间与乙加工 120 个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？ 【答案】【答案】解：设乙每小时加工机器零件 x 个， 则甲每小时加工机器零件（x10） 个， 根据题意得： 150120 x10 x ，解得 x=40。 经检验， x=40 是原方程的解， x+10=40+10=50。 答： 甲每小时加工 50 个零件， 乙每小时加工 40 个零件。 【考点】【考点】分式方程的应用（工程问题） 。 【分析】【分析】根据“甲加工 150 个零件所用的时间与乙加工 12
22、0 个零件所用时间相等”可得出相等关系，从而只 需表示出他们各自的时间即可。 8 例例 6. （山东（山东临沂临沂 6 分）分）某工厂加工某种产品机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量 的 2 倍多 9 件，若加工 1800 件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的 3 7 倍，求手工每 小时加工产品的数量 练习题：练习题： 1. （内蒙古赤峰（内蒙古赤峰 3 分）分）某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要 6 小时完成；如 果让初三学生单独工作，需要 4 小时完成现在由初二、初三学生一起工作 x 小时，完成了任务根据题 意，可列方程为 2. （湖北
23、黄冈（湖北黄冈6分）分）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两 个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B车间的12 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故 障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件 3. （贵州安（贵州安顺顺 10 分）分）某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为 300 米的污水排放管道，铺设 120 米 后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加 20%，结果共用了 27 天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？ 4. （山东（山东
24、泰安泰安 10 分）分）一项工程，甲，乙两公司合做，12 天可以完成，共需付施工费 102000 元；如果甲， 乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施 工费少 1500 元 （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 9 5. （广西玉林、防城港（广西玉林、防城港 10 分）分）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两车合运， 10 天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用 15 天. （1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少
25、天？ （2）已知两车合运共需租金 65000 元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多 1500 元，试问：租甲乙两车、 单独租甲车、单独租乙车这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由. 三、三、溶度问题溶度问题 解题指导：解题指导： （1）基本量是：溶质（纯净物） 、溶剂（杂质） 、溶液（混合物） 、浓度（含量） 。 基本关系是：溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质） ； 浓度= 溶 溶液 质 100= + 溶 溶溶 质 质剂 100 （纯度（含量）= 物 混合物 纯净 100= + 物 物 纯净 纯净杂质 100） ； 溶质=浓度 溶液=浓度 （溶质+溶剂） （2）在溶液问题中关键量是“
26、溶质”：“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程 应用题中的主要等量关系。 典型例题：典型例题： 例例 1. （2011 湖南株洲湖南株洲 6 分）分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但 适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输某饮料加工厂生产的 A、B 两种饮料均需加入同种 添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂 2 克，B 饮料每瓶需加该添加剂 3 克，已知 270 克该添加剂恰好生产了 A、B 两种饮料共 100 瓶， 问 A、B 两种饮料各生产了多少瓶？ 【答案】【答案】解：设 A 饮料生产了x瓶，B 饮料生产了y瓶，依题意得： 100
27、 23270 xy xy ， 解得： 30 70 x y 。 答：A 饮料生产了 30 瓶，B 饮料生产了 70 瓶 。 【考点】【考点】二元一次方程组的应用（浓度问题） 。 10 【分析】【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： A 两种饮料B 两种饮料100 瓶 x y 100 A 两种饮料添加剂B 两种饮料添加剂270 克 2x 3y 270。 例例 2. （2011 浙江温州浙江温州 12 分）分）2011 年 5 月 20 日是第 22 个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开 展活动，调查快餐营养情况他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息
28、（如图） 根据信息，解答 下列问题 （1）求这份快餐中所含脂肪质量； （2）若碳水化合物占快餐总质量的 40%，求这份快餐所含蛋白质的质量； （3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于 85%，求其中所含碳水化合物质量的最大 值 【答案】【答案】解： （1）400 5%=20 克 答：这份快餐中所含脂肪质量为 20 克； （2）设所含矿物质的质量为x克，由题意得： x+4x+20+400 40%=400， x=44。4x=176。 答：所含矿物质的质量为 176 克； （3）设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为（3805y）克。 4y+（3805y）40085%，
29、y40，3805y180， 答：所含碳水化合物质量的最大值为 180 克 【考点】【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用 【分析】【分析】 （1）快餐中所含脂肪质量=快餐总质量 脂肪所占百分比。 11 （2）根据这份快餐总质量为 400 克，列出方程求解即可。 （3）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于 85%，列出不等式求解即可。 练习题：练习题： 1. （2000 浙江湖州浙江湖州 10 分）分）某校初三学生在上实验课时，要把 2000 克质量分数为 80%的酒精溶液配制成 质量分数为 60%的酒精溶液，某学生未经考虑先加了 500 克水 （1）试通过计算说明该学生加水
30、是否过量； （2）如果加水不过量，则还应加入质量分数为 20%的酒精溶液多少克？如果加水已经过量，则需再加入 质量分数为 95%的酒精溶液多少克？ 2. （2002 重庆市重庆市 10 分）分） 实际测试表明 1 千克重的干衣物用水洗涤后拧干， 湿重为 2 千克， 今用浓度为 1% 的洗衣粉溶液洗涤 0.5 千克干衣物， 然后用总量为 20 千克的清水分两次漂洗 假设在洗涤和漂洗的过程中， 残留在衣物中的溶液浓度和它所在的溶液中的浓度相等，且每次洗、漂后都需拧干再进入下一道操作问 怎样分配这 20 千克清水的用量，可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液浓度最小，残留在衣物上的洗衣粉有 多少毫克？（保留
31、 3 个有效数字） （溶液浓度= 溶的量 溶液的量 质质 质 100%，1 千克=106 毫克） 3. （1998 浙江湖州浙江湖州 5 分）分）某商店选用售价为每千克 22 元的甲种糖 30 千克，每千克 20 元的乙种糖 20 千 克， 每千克 18 元的丙种糖 50 千克， 混合成杂拌糖后出售，则这种杂拌糖平均每千克售价应是 元 4. （2009 浙江湖州浙江湖州 3 分）分）某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为 15 元/千克的甲种糖果 10 千克，单价为 12 元/千克的乙种糖果 20 千克，单价为 10 元/千克的丙种糖果 30 千克混合成的什锦糖果的 单价应定为【 】
32、A11 元/千克 B11.5 元/千克 C12 元/千克 D12.5 元/千克 四、增长率问题四、增长率问题 解题指导：解题指导： （1）基本量是：期初数、期末数、增长率。 基本关系：期末数=期初数 （1增长率） 。 （2）基本类型： 非连续增长和连续增长。 （3）在增长率问题中关键量是“增长率”。对于连续增长，增长率是相同的（平均增长率） ，连续两次 增长后，期末数=期初数 （1平均增长率）2。增长率问题还包括负增长，如降价。 典型例题：典型例题： 例例 1.（广东湛江（广东湛江 4 分）分）湛江市 2009 年平均房价为每平方米 4000 元连续两年增长后，2011 年平均房价达 到每平方
33、米 5500 元，设这两年平均房价年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是【 】 12 A5500（1+x）2=4000 B5500（1x）2=4000 C4000（1x）2=5500 D4000（1+x）2=5500 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）。 【分析】【分析】 设年平均增长率为 x， 那么 2010 年的房价为： 4000 （1+x） ， 2011 年的房价为： 4000 （1+x） 2=5500。 故选 D。 例例 2.（江苏泰州（江苏泰州 3 分）分）某种药品原价为 36 元/盒，经过连续两次降价后售价为 25 元/盒设
34、平均每次 降价的百分率为 x，根据题意所列方程正确的是【 】 A 2 36(1x)3625 B36(12x)25 C 2 36(1x)25 D 2 36(1x )25 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。 【分析】【分析】平均每次降价的百分率为 x， 第一次降价后售价为 36(1x)， 第二次降价后售价为 36(1x) (1x)36(1x)2。据此列出方程： 2 36(1x)25。故选 C。 例例 3. （广东省（广东省 7 分）分）据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次，2011 年公民出境旅 游总人数约 7200 万人次，若
35、 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果年仍保持相同的年平均增长率，请你预测年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？ 【答案】【答案】解： （1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x根据题意得 5000（1+x）2 =7200 解得 x1 =0.2=20%，x2 =2.2 （不合题意，舍去） 。 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%。 （2）如果年仍保持相同的年平均增长率，则年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200 120%=8640 万人次。 答：
36、预测年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次。 【考点】【考点】一元二次方程的应用。 【分析】【分析】 （1）设年平均增长率为 x根据题意 2010 年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011 年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次根据题意得方程求解。 （2）年我国公民出境旅游总人数约 7200（1+x）万人次。 13 例例 4. （四川（四川宜宾宜宾 8 分）分） 某市政府为落实“保障性住房政策， 2011 年已投入 3 亿元资金用于保障性住房建设， 并规划投入资金逐年增加，到 2013 年底，将累计投入 10.5 亿元资金用于保障性住房建设 （1）求到 20
37、13 年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程） ； （2）设（1）中方程的两根分别为 x1，x2，且 mx124m2x1x2+mx22的值为 12，求 m 的值 例例 5. （四川（四川广元广元 9 分）分）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元的价格出售。由于国 家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格销售。 （1）求平均每次下调的百分比； （2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力。请问房产销售经 理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 【答案】【答案】解： （1）设平均每
38、次下调的百分比为 x，则有 2 7000(1x)5670， 2 (1x)0.81， 1x0， 1x =0.9， x =0.1=10%。 答：平均每次下调 10%。 （2）先下调 5%，再下调 15%，这样最后单价为 7000 元 (15%) (115%）=5652.5 元 销售经理的方案对购房者更优惠一些。 【考点】【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。 【分析】【分析】 （1）设出平均每次下调的百分率为 x，利用原每平方米销售价格 （1-每次下调的百分率）2=经 过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可。 14 （2）求出先下调 5%，再下调 15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比
39、较，即可求解。 例例 6. （甘肃白银甘肃白银 10 分）分）某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价 36 元，能盈利 80%，在销售中出现 了滞销，于是先后两次降价，售价降为 25 元 （1）求这种玩具的进价； （2）求平均每次降价的百分率（精确到 0.1%） 【答案】【答案】解： （1）36 （1+80%）=20 元， 这种玩具的进价为每个 20 元。 （2）设平均每次降价的百分率为 x，则 36（1x%）2=25， 解得 x16.7% 平均每次降价的百分率 16.7%。 【考点】【考点】一元二次方程的应用（增长率问题） 。 【分析】【分析】 （1）根据计划每个售价 36 元，能盈利 80
40、%，可求出进价。 （2）设平均每次降价的百分率为 x，根据先后两次降价，售价降为 25 元可列方程求解。 练习题：练习题： 1. （湖南娄底（湖南娄底 3 分）分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行 连续两次降价后为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是【 】 A 289（1x）2=256 B 256（1x）2=289 C 289（12x）=256 D 256（12x）=289 2. （四川（四川成都成都 3 分）分）一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的价格为 121 元，如果每次提价的百分率 都是 x，根据题
41、意，下面列出的方程正确的是【 】 A100（1x）=121 B 100（1x）=121 C 100（1x）2=121 D 100（1x）2=121 3. （广东佛山（广东佛山 3 分）分）某药品原价是 100 元，经连续两次降价后，价格变为 64 元，如果每次降价的百分率 是一样的，那么每次降价的百分率是 4. （福建龙岩（福建龙岩 3 分）分）为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度2011 年该县政 府在这项建设中已投资 3 亿元，预计 2013 年投资 5.88 亿元，则该项投资的年平均增长率为 5. （辽宁丹东辽宁丹东 3 分）分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东
42、连续投资 3 年，2010 年初投资 2 亿 元，年初投资 3 亿元设每年投资的平均增长率为 x，则列出关于 x 的方程为 6.（辽宁阜新辽宁阜新 3 分）分）我市某公司前年缴税 40 万元，今年缴税 48.4 万元该公司缴税的年平均增长率为 7. （山东莱芜（山东莱芜 4 分）分）为落实“两免一补”政策，某市 2011 年投入教育经费 2500 万元，预计 2013 年要 投入教育经费 3600 万元已知 2011 年至 2013 年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则年该 15 市要投入的教育经费为 万元 8. （四川乐山（四川乐山 10 分）分）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5
43、元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目 扩大种植，造成该蔬菜滞销李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的 单价对外批发销售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金 200 元 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由 9. （贵州黔南（贵州黔南 10 分）分）年 3 月 25 日央视每周质量播报报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都 受到不同程度的影响，4 月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的 2 3 ，原来
44、用 60 元买 到的药品下调后可多买 2 盒。4 月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格 4 月底开始 回升，经过两个月后，药品上调为每盒 14.4 元。 （1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？ （2）问 5、6 月份药品价格的月平均增长率是多少？ 10. （广西钦州（广西钦州 8 分）分）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009 年投入 6000 万元， 2011 年投入 8640 万元 （1）求 2009 年至 2011 年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）该县预计年投入教育经费不低于 9500 万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目
45、标能否实现？请 通过计算说明理由 11. （2011 四川自贡四川自贡 4 分）分）龙都电子商场出售A，B，C 三种型号的笔记本电脑，四月份 A 型电脑的销售 额占三种型号总销售额的 56，五月份 B，C 两种型号的电脑销售额比四月份减少了 m，A 型电脑销售 额比四月份增加了 23，已知商场五月份该三种型号电脑的总销售额比四月份增加了 12，则 m= 五、五、销售利润和存贷问题销售利润和存贷问题 解题指导：解题指导： （1）销售利润基本量是：成本（进价） 、销售价（收入） 、利润、利润率。 存贷基本量是：本金、利息、利息税，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。 基本关系：利润=销售价（收入
46、）成本（进价） ，成本（进价）=销售价（收入）利润； 16 利润率= 利 成本（价） 润 进 ，利润=成本（进价） 利润率。 利息=本金 利率 期数； 利息税=利息 税率； 本息和（本利）=本金+利息利息税。 （2）基本类型： 已知进价、售价、求利润率；已知进价、标价及利润率，求标价或原价的折数。 已 知利润率、标价求进价。 （3）在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价 折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。 典型例题：典型例题： 例例 1. （青海省青海省 3 分）分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低 a 元 后，再次下调了 20%，现在收费标准是每分
47、钟 b 元，则原收费标准每分钟是【 】 A 5 a+b 4 元 B 5 ab 4 元 C （a+5b）元 D （a5b）元 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】一元一次方程的应用。 【分析】【分析】设原收费标准每分钟是 x 元，则按原标准每分钟降低 a 元后价格为 xa 元，再次下调 20%后的 价格为（120%） （xa）元，根据收费标准是每分钟 b 元得方程： （120%） （xa）=b，解得 x= 5 a+b 4 。故选 A。 例例 2. （黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 3 分）分）菜种商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获利 l0，则这 种商品每件的进价为【 】 ， A240 元 B250 元 C280 元 D300 元 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】一元一次方程的应用。 【分析】【分析】设这种商品每件的进价为元，根据题意，得 330 80%（1+10%），解得240（元） 。故 选 A。 例例 3. （辽宁锦州辽宁锦州 3 分）分）某品牌自行车
