1、 1 【中考攻略】【中考攻略】专题专题 15：函数关系式的建立方法探讨：函数关系式的建立方法探讨 “模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括： 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量 关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学 习数学的兴趣和应用意识。 ” 这是 课标 关于模型思想模型思想的一段描述。 因此， 各地中考试卷都有“方程 （组） 、 不等式（组） 、函数建模及其应用”类问题，专题 5 和 6 已经对方程（组） 、不等式（组）的建
2、模及其应用 进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用进行探讨。 结合全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨： （1）应用待定系数建 立函数关系式； （2）应用等量关系建立函数关系式； （3）应用几何关系建立函数关系式； （4）应用分段分 析建立函数关系式； （5）应用猜想探索建立函数关系式。 一、应用一、应用待定系数待定系数建立函数关系建立函数关系式式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数 解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函 数建模问题。 确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x 的系数与常数，我们常
3、常先设它们为未知数，根 据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。 这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比 例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx，y=kx+b， k y x 的形式(其中 k、b 为待定系数， 且 k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c 为待定系数)，顶点 式 y=a (xh) 2+k(a、k、h 为待定系数)，交点式 y=a (xx1)(xx2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据 题意(可以
4、是语句形式，也可以是图象形式)，确定出 a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。 典型例题：典型例题： 例例 1： （江苏（江苏南通南通 3 分）分）无论 a 取什么实数，点 P(a1，2a3)都在直线 l 上，Q(m，n)是直线 l 上的 点，则(2mn3)2的值等于 【答案】【答案】16。 【考点】【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。 【分析】【分析】由于 a 不论为何值此点均在直线 l 上， 令 a=0，则 P1（1，3） ；再令 a=1，则 P2（0，1） 。 设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0） ， kb3 b1 ，解得 k2 b1 。
5、 2 直线 l 的解析式为：y=2x1。 Q（m，n）是直线 l 上的点，2m1=n，即 2mn=1。 (2mn3)2=（1+3）2=16。 例例 2： （山东聊城（山东聊城 7 分）分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC=2，求点 C 的坐标 【答案】【答案】解： （1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 直线 AB 过点 A（1，0） 、点 B（0，2） ， kb0 b=2 ，解得 k2 b=2 。 直线 AB 的解析式为 y=2x2。 （2）设点
6、 C 的坐标为（x，y） ， SBOC=2， 1 2 2x=2，解得 x=2。 y=2 22=2。 点 C 的坐标是（2，2） 。 【考点】【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【分析】 （1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0） 、点 B（0，2）分别代入解析式即可组成 方程组，从而得到 AB 的解析式。 （2）设点 C 的坐标为（x，y） ，根据三角形面积公式以及 SBOC=2 求出 C 的横坐标，再代入直线 即可求出 y 的值，从而得到其坐标。 例例 3： （湖南岳阳（湖南岳阳 8 分）分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗
7、过程“排水清 洗灌水”中水量 y（m3）与时间 t（min）之间的函数关系式 （1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量 y（m3）与时间 t（min）的函数解析式； （2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？ 3 【答案】【答案】解： （1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b， 图象经过（0，1500） ， （25，1000） ， b=1500 25k+b=1000 ，解得： k=20 b=1500 。排水阶段解析式为：y=20t+1500。 清洗阶段：y=0。 灌水阶段：设解析式为：y=at+c， 图象经过（195，1000） ， （95，0） ， 195a+c=1000 95a+c=
8、0 ，解得： a=10 b=950 。灌水阶段解析式为：y=10t950。 （2）排水阶段解析式为：y=20t+1500，令 y=0，即 0=20t+1500，解得：t=75。 排水时间为 75 分钟。 清洗时间为：9575=20（分钟） ， 根据图象可以得出游泳池蓄水量为 1500 m3， 1500=10t950，解得：t=245。故灌水所用时间为：24595=150（分钟） 。 【考点】【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分【分析】析】 （1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0 和灌水 阶段解析式即可。 （2）根据（
9、1）中所求解析式，即可得出图象与 x 轴交点坐标，即可得出答案。 例例 4： （湖南娄底（湖南娄底 3 分）分）已知反比例函数的图象经过点（1，2） ，则它的解析式是【 】 A 1 y 2x B 2 y x C 2 y x D 1 y x 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【分析】设反比例函数图象设解析式为 k y x ， 4 将点（1，2）代入 k y x 得，k=1 2=2。则函数解析式为 2 y x 。故选 B。 例例 5： （江苏（江苏连云港连云港 12 分）分）如图，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A、B
10、两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF2， EF3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求ABD 的面积； (3)将AOC 绕点 C 逆时针旋转 90 ，点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由 【答案】【答案】解：(1)四边形 OCEF 为矩形，OF2，EF3， 点 C 的坐标为(0，3)，点 E 的坐标为(2，3) 把 x0，y3；x2，y3 分别代入 yx2bxc，得 c=3 4+2b+c=3 ，解得 b=2 c=3 。 抛物线所对应的函数解析式为
11、yx22x3。 (2)yx22x3(x1)24， 抛物线的顶点坐标为 D(1，4)。ABD 中 AB 边的高为 4。 令 y0，得x22x30，解得 x11，x23。 AB3(1)4。 ABD 的面积 1 2 4 48。 (3)如图， AOC 绕点 C 逆时针旋转 90 ， CO 落在 CE 所在的直线 上，由（1）(2)可知 OA1，OC=3， 点 A 对应点 G 的坐标为(3，2)。 当 x3 时，y322 3302， 点 G 不在该抛物线上。 【考点】【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的 5 性质，旋转的性质。 【分析】【分析】(1
12、)在矩形 OCEF 中，已知 OF、EF 的长，先表示出 C、E 的坐标，然后利用待定系数法确定该函 数的解析式。 (2)根据(1)的函数解析式求出 A、B、D 三点的坐标，以 AB 为底、D 点纵坐标的绝对值为高，可 求出ABD 的面积。 (3)根据旋转条件求出点 A 对应点 G 的坐标，然后将点 G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行 判定即可。 例例 6： （江苏无锡（江苏无锡 2 分）分）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1） ，且经过点 B（1，0） ，则抛物线的函数 关系式为 【答案】【答案】y=x2+4x3。 【考点】【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系
13、。 【分析】【分析】抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1） ，可设抛物线的解析式为 y=a（x2）2+1。 又抛物线 y=a（x2）2+1 经过点 B（1，0） ，（1，0）满足 y=a（x2）2+1。 将点 B（1，0）代入 y=a（x2）2得，0=a（12）2即 a=1。 抛物线的函数关系式为 y=（x2）2+1，即 y=x2+4x3。 例例 7： （浙江（浙江宁波宁波 12 分）分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0） ，交 y 轴于 C（0，2） ，过 A，C 画直线 （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 x 轴正
14、半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长； （3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H 若 M 在 y 轴右侧，且CHMAOC（点 C 与点 A 对应） ，求点 M 的坐标； 若M 的半径为 4 5 5 ，求点 M 的坐标 【答案】【答案】解： （1）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0） 6 设该二次函数的解析式为：y=a（x+1） （x2） ， 将 x=0，y=2 代入，得2=a（0+1） （02） ，解得 a=1。 抛物线的解析式为 y=（x+1） （x2） ，即 y=x2x2。 （2）设 OP=x，则 PC=
15、PA=x+1， 在 RtPOC 中，由勾股定理，得 x2+22=（x+1）2， 解得，x= 3 2 ，即 OP= 3 2 。 （3）CHMAOC，MCH=CAO。 （i）如图 1，当 H 在点 C 下方时， MCH=CAO，CMx 轴，yM=2。 x2x2=2，解得 x1=0（舍去） ，x2=1。 M（1，2） 。 （ii）如图 2，当 H 在点 C 上方时， MCH=CAO，PA=PC。 由（2）得，M为直线 CP 与抛物线的另一交点， 设直线 CM的解析式为 y=kx2， 把 P（ 3 2 ，0）的坐标代入，得 3 2 k2=0，解得 k= 4 3 。 y= 4 3 x2。 由 4 3 x
16、2=x2x2，解得 x1=0（舍去） ，x2= 7 3 。 此时 y= 4710 2= 339 。 M（ 710 39 ，） 。 在 x 轴上取一点 D，如图 3，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE= 4 5 5 ， 在 RtAOC 中，AC= 2222 AO +CO = 1 +2 = 5。 COA=DEA=90 ，OAC=EAD， AEDAOC， ADDE = ACOC ，即 4 5 AD 5 = 25 ，解得 AD=2。 D（1，0）或 D（3，0） 。 7 过点 D 作 DMAC，交抛物线于 M，如图 则直线 DM 的解析式为：y=2x+2 或 y=2x6。 当2x6=x2x2
17、时，即 x2+x+4=0，方程无实数根， 当2x+2=x2x2 时，即 x2+x4=0，解得 12 1171+ 17 xx 22 ，。 点 M 的坐标为（ 117 3+ 17 2 ，）或（ 1+ 17 317 2 ，） 。 练习题：练习题： 1. （上海市上海市 10 分）分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y（万 元/吨）与生产数量 x（吨）的函数关系式如图所示 （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量 （注：总成本=每吨的成本 生产数量） 8 2. （山东（
18、山东菏泽菏泽 7 分）分）如图，一次函数 2 y=x2 3 的图象分别与x轴、y轴交于点 A、B，以线段 AB 为边 在第一象限内作等腰 RtABC，BAC=90 求过 B、C 两点直线的解析式 3.3. （甘肃兰州甘肃兰州 4 分）分）近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为【 】 A 400 y= x B 1 y= 4x C 100 y= x D 1 y= 400 x 4.4. （广东佛山（广东佛山 8 分）分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数 y=ax2bxc 的解析式； y 随 x
19、变化的部分数值规律如下表： 有序数对（1，0） ， （1，4） ， （3，0）满足 y=ax2bxc； 已知函数 y=ax2bxc 的图象的一部分（如图） (2)直接写出二次函数 y=ax2bxc 的三个性质 x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 9 5.5. （山东莱芜（山东莱芜 12 分）分）如图，顶点坐标为(2，1)的抛物线 yax2bxc(a0)与 y 轴交于点 C(0，3)， 与 x 轴交于 A、B 两点 (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求ACD 的面积； (3)点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴
20、的平行线 EF，与抛物线交于点 F问是否存在点 E，使 得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由 6. （山东潍坊（山东潍坊 11 分）分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标 原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、D(0，2)作平行于 x 轴的直线 1 l、 2 l (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切； (3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线 2 l的距离之和等于线段 MN 的长
21、二、应用二、应用等量关系等量关系建立函数关系建立函数关系式式：等量关系法，又可称作方程转化法，即根据等量关系列出 含有两个未知数的等式（二元方程） ，然后整理成函数形式。这种方法适用于“已知了关于变量之间的等 量关系（含公式）”类函数建模题。常用的寻找等等量量关关系系的的方方法法有有： （1 1）从从常常见见的的数数量量关关系系中中找找等等量量关关系系； （2 2）从从关关键键句句中中找找等等量量关关系系； （3 3）从题中反映的（或隐隐蔽蔽的的）基本数量关系确定等量关系。 （有关几何问 题的等量关系我们在下面介绍） 10 典型例题：典型例题： 例例 1. （宁夏区宁夏区 10 分）分）某超市
22、销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶 3 元购进，5 元售出.这种“酸奶”的保 质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理. （1） 该超市某一天购进 20 瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为 x （瓶） ， 销售酸奶的利润为 y （元） ， 写出这一天销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这 20 瓶 酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？ （2）小明在社会调查活动中，了解到近 10 天当中，该超市每天购进酸奶 20 瓶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 根据上表，求该超市这 10 天每
23、天销售酸奶的利润的平均数； （3）小明根据（2）中，10 天酸奶的销售情况统计，计算得出在近 10 天当中，其实每天购进 19 瓶总 获利要比每天购进 20 瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明. 【答案】【答案】解： （1）由题意知，这一天销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式 为 y=5x60 当 5x600 时，x12， 当天至少应售出 12 瓶酸奶超市才不亏本。 （2）在这 10天当中，利润为 25 元的有 1 天，30 元的有 2 天，35 元的有 2 天，40 元的有 5 天， 这 10 天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+30 2+
24、35 2+40 5） 10=35.5 。 （3）小明说的有道理。理由如下： 在这 10 天当中，每天购进 20 瓶获利共计 355 元. 而每天购进 19 瓶销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式为： y=5x57 在 10 天当中，利润为 28 元的有 1 天，33 元的有 2 天，38 元的有 7 天， 总获利为 28+33 2+38 7=360355 。 小明说的有道理。 【考点】【考点】一次函数的应用。 【分析】【分析】 （1）根据此“酸奶”以每瓶 3 元购进，5 元售出，该超市某一天购进 20 瓶酸奶进行销售，即可得出 y 与 x 的函数关系式，再利用 y 大
25、于 0 得出 x 的取值范围。 （2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。 11 （3）利用每天购进 19 瓶销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式，得 出在 10 天当中，利润为 28 元的有 1 天，33 元的有 2 天，8 元的有 7 天，从而得出总利润，比较即可得出 答案。 例例 2. （新疆区新疆区 12 分）分）库尔勒某乡 A，B 两村盛产香梨，A 村有香梨 200 吨，B 村有香梨 300 吨，现将这 些香梨运到 C，D 两个冷藏仓库已知 C 仓库可储存 240 吨，D 仓库可储存 260 吨，从 A 村运往 C，D 两 处的费用分别为每吨 40
26、元和 45 元；从 B 村运往 C，D 两处的费用分别为每吨 25 元和 32 元设从 A 村运 往 C 仓库的香梨为 x 吨，A，B 两村运香梨往两仓库的运输费用分别为 yA元，yB元 （1）请填写下表，并求出 yA，yB与 x 之间的函数关系式； C D 总计 A x 吨 200 吨 B 300 吨 总计 240 吨 260 吨 500 吨 （2）当 x 为何值时，A 村的运费较少？ （3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值 【答案】【答案】解： （1）填表如下： C D 总计 A x 吨 （200 x）吨 200 吨 B （240 x）吨 （60+x）吨 300 吨 总计
27、 240 吨 260 吨 500 吨 由题意得：yA=40 x+45（200 x）=5x+9000； yB=25（240 x）+32（60+x）=7x+7920。 （2）对于 yA=5x+9000（0 x200） ， k=50，此一次函数为减函数， 当 x=200 吨时，yA最小，其最小值为5 200+9000=8000（元） 。 （3）设两村的运费之和为 W（0 x200） ， 则 W=yA+yB=5x+9000+7x+7920=2x+16920， k=20，此一次函数为增函数， 当 x=0 时，W 有最小值，W 最小值为 16920 元。 按如下方案调运，两村的运费之和最小，最小值为 16
28、920 元。 12 C D A 0 吨 200 吨 B 40 吨 240 吨 【考点】【考点】一次函数的应用。 【分析】【分析】 （1） 由A 村共有香梨 200 吨， 从 A 村运往 C 仓库 x 吨， 剩下的运往 D 仓库， 故运往 D 仓库为 （200 x）吨，由 A 村已经运往 C 仓库 x 吨，C 仓库可储存 240 吨，故 B 村应往 C 仓库运（240 x）吨，剩下 的运往 D 仓库，剩下的为 300（240 x） ，化简后即可得到 B 村运往 D 仓库的吨数，填表即可。 由从 A 村运往 C，D 两处的费用分别为每吨 40 元和 45 元；从 B 村运往 C，D 两处的费用分别
29、 为每吨 25 元和 32 元，由表格中的代数式，即可分别列出 yA，yB与 x 之间的函数关系式。 （2）由第一问表示出的 yA与 x 之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据 x 的系数为负数， 得到此一次函数为减函数， 且 0 x200， 故 x 取最大 200 时， yA有最小值， 即为 A 村的运费较少时 x 的值。 （3）设两村的运费之和为 W，W=yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并后得到 W 为 关于 x 的一次函数，且 x 的系数大于 0，可得出此一次函数为增函数，可得出 x=0 时，W 有最小值，将 x=0 代入 W 关于 x 的函数关系式中，即可求出 W
30、的最小值。 例例 3. （甘肃白银甘肃白银 10 分）分）衬衫系列大都采用国家 5.4 标准号、型（通过抽样分析取的平均值） “号”指人的 身高，“型”指人的净胸围，码数指衬衫的领围（领子大小） ，单位均为：厘米下表是男士衬衫的部分号、 型和码数的对应关系： 号/型 170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 码数 38 39 40 41 42 （1）设男士衬衫的码数为 y，净胸围为 x，试探索 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若某人的净胸围为 108 厘米，则该人应买多大码数的衬衫？ 【答案】【答案】解： （1）根据表可以得到号码每增大 1，则净胸围增加 4
31、cm， 则 y 与 x 一定是一次函数关系，函数关系式是：x=84+4（y38） ，即 1 yx 17 4 （2）当 x=108 时， 1 y108 17=44 4 。 若某人的净胸围为 108 厘米，则该人应买 44 码的衬衫。 【考点】【考点】一次函数的应用。 【分析】【分析】 （1）根据表可以得到号码每增大 1，则净胸围增加 4cm，则 y 与 x 一定是一次函数关系，函数关 系式可以求得。 13 （2）把 x=108 代入（1）所求的函数解析式，即可求得码数。 例例 4. （湖北荆门（湖北荆门 3 分）分） 已知： 多项式 x2kx+1 是一个完全平方式， 则反比例函数 k1 y= x
32、 的解析式为 【 】 A 1 y= x B 3 y= x C 1 y= x 或 3 y= x D 2 y= x 或 2 y= x 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。 【分析】【分析】多项式 x2kx+1 是一个完全平方式，k= 2。 把 k= 2 分别代入反比例函数 k1 y= x 的解析式得： 1 y= x 或 3 y= x 。故选 C。 例例 6. （北京（北京市市 7 分）分）已知二次函数 2 3 y(t1)x2(t2)x 2 在x0和x2时的函数值相等。 （1） 求二次函数的解析式； （2） 若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点
33、 A( 3m) ，求 m 和 k 的值； （3） 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B,C（点 B 在点 C 的左侧） ，将二次函数的图象在点 B,C 间 的部分 （含点 B 和点 C） 向左平移n(n0)个单位后得到的图象记为 C， 同时将 （2） 中得到的直线ykx6 向上平移 n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时，n 的取值范围。 【答案】【答案】解： （1）二次函数在x0和x2时的函数值相等，二次函数图象的对称轴为x1。 14 2 t2 1 2 t1 ，解得 3 t 2 。 二次函数解析式为 2 3 yxx 22 1 。 （2）二次函数图象经过 A( 3m)
34、 ，点， 213 m336 22 ，A（3，6） 。 又一次函数ykx6的图象经过 A 点， 3k66 ，解得k4。 （3）由题意可知，二次函数在点 B，C 间的部分图象的解析式为 1 yx3x1 2 ，1x3 ， 则向左平移后得到的图象 C 的解析式为yx3nx1n 2 1 ，n1x3n 。 此时一次函数y4x6的图象平移后的解析式为y4x6n。 平移后的直线与图象 C 有公共点，两个临界的交点为n 1 0 ，与3n 0 ，。 当x=n1时，04n 16n ，即 2 n 3 ； 当x=3n时，04 3n6n，即n6。 2 n6 3 【考点】【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐
35、标与方程的关系，平移的性质。 15 【分析】【分析】 （1）由二次函数在x0和x2时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为 0+2 x=1 2 ，从 而由对称轴公式 b x=1 2a 可求得 3 t 2 ，从而求得二次函数的解析式。 （2）由二次函数图象经过 A( 3m) ，点代入 2 3 yxx 22 1 可求得m 6 ，从而由一次函数 ykx6的图象经过 A 点，代入可求得k4。 （3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象 C 有公共点，求得公共点的坐标即可。 例例 7. （浙江（浙江嘉兴嘉兴、舟山、舟山 12 分）分）某汽车租赁公司拥有 20 辆
36、汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时， 可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800 元设公司每日租出工辆车时，日收益为 y 元 （日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 【答案】【答案】解： （1） 140050 x。 （2）根据题意得： y=x（50 x+1400）4800=50 x2+1400 x4800=50（x14）
37、2+5000。 当 x=14 时，在范围内，y 有最大值 5000。 当日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大值为 5000 元。 （3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0，即：50 （x14）2+5000=0， 解得 x1=24，xz=4， x=24 不合题意，舍去。 当日租出 4 辆时，租赁公司日收益不盈也不亏。 【考点】【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。 【分析】【分析】 （1）某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出， 当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆， 当全部未租出时，每辆租金为：
38、400+20 50=1400 元， 公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为：140050 x。 （2）根据已知得到的二次函数关系应用二次函数的最值求得日收益的最大值即可。 （3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=50 （x-14）2+5000=0，求出 x 即可。 例例 8. （江苏常州（江苏常州 7 分）分）某商场购进一批 L 型服装（数量足够多） ，进价为 40 元/件，以 60 元/件销售，每 16 天销售 20 件。根据市场调研，若每件每降 1 元，则每天销售数量比原来多 3 件。现商场决定对 L 型服装 开展降价促销活动，每件降价 x 元（x 为正整数） 。在促销期间，商场要
39、想每天获得最大销售利润，每件降 价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差） 【答案】【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润 Z=（6040 x） （203x）=3x240 x+400 当 b402 x=6 2a33 时，函数 Z 取得最大值。 x 为正整数，且 22 7666 33 ， 当 x=7 时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为3 7240 7+400=533。 答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价 7 元，每天最大销售毛利润为 533 元。 【考点】【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】【分析】求出二次函
40、数的最值，找出 x 最接近最值点的整数值即可。 例例 9. （江苏盐城（江苏盐城 12 分）分） 知识迁移：知识迁移： 当0a且0 x时，因为 2 () a x x 0,所以2 a xa x 0,从而 a x x 2 a(当 xa时取等号).记函数(0,0) a yxax x ,由上述结论可知： 当xa时,该函数有最小值为2 a. 直接应用：直接应用：已知函数 1 (0)yx x与函数 2 1 (0)yx x , 则当x_时, 12 yy取得最小值 为_. 变形应用：变形应用： 已知函数 1 1(1)yxx 与函数 2 2 (1)4(1)yxx ,求 2 1 y y 的最小值,并指出取得该 最
41、小值时相应的x的值. 实际应用：实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每 千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米, 求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本 最低？最低是多少元？ 【答案】【答案】解：直接应用：直接应用：1；2 。 变形应用：变形应用： 2 2 1 (1)44 (1)(1) 11 yx xx yxx ， 17 2 1 y y 有最小值为2 44。 当14x ，即1x 时取得该最小值。 实实际应用：际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则 2 0.0011.
42、6360360360000 0.0011.60.001() 1.6 xx yxx xxx ， 当360000600 x (千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为0.001 2 3600001.62.8元。 例例 10. （湖北鄂州（湖北鄂州 10 分）分）某私营服装厂根据 2011 年市场分析，决定年调整服装制作方案，准备 每周（按 120 工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共 360 件，且衬衣至少 60 件。已知每件服装的收入和 所需工时如下表： 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件 2 1 3 1 4 1 收入（百元）/件 3 2 1 设每周制作西服 x 件，休闲服
43、y件，衬衣 z 件。 （1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有 x,y 的代数式表示衬衣的件数 z。 18 （2） 求 y 与 x 之间的函数关系式。 （3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】【答案】解： （1）从件数方面：z=360 xy， 从工时数方面：由 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=120 整理得：z=4802x 4 3 y。 （2）由（1）得 360 xy=4802x 4 3 y，整理得：y=3603x。 （3）由题意得总收入 s=3x2yz=3x2（3603x）2x=x720 由题意得 2x60 x0 3603x0
44、 ，解得 30 x120。 由一次函数的性质可知，当 x=30 的时候，s 最大，即当每周生产西服 30 件，休闲服 270 件，衬衣 60 件时，总收入最高，最高总收入是 690 百元。 【考点】【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】【分析】 （1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含 x，y 的关系式表示 z。 （2）由（1）整理得：y=3603x。 （3）由题意得 s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于 x 的一次函数。由题意得 2x60 x0 3603x0 ， 解得 30 x120，从而根据一次函数的性质作答。 练习题：练习题： 1. （青海省青海省
45、8 分）分）夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株 3.5 元，康乃馨每株 5 元如果同一客户 所购的马蹄莲数量多于 1000 株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠 0.5 元现某鲜花店向夏都花卉基地采购 马蹄莲 8001200 株、康乃馨若干株，本次采购共用了 7000 元然后再以马蹄莲每株 4.5 元、康乃馨每株 7 元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？ （注：8001200 株表示采购株数大于或等于 800 株，且小于或等于 1200 株；利润=销售所得金额进货 所需金额） 2. （四川（四川巴中巴中 9 分）分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 6
46、0 元，每个月可卖出 200 件。如果每 件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元） 。设每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数） ，每个月的销售利润为 y 元， （1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 19 3. （辽宁锦州辽宁锦州 1010 分）分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元. 设
47、每件玩具的销售单价上涨 了 x 元时（x 为正整数 ） ，月销售利润为 y 元. （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围. （2）每件玩具的售价 定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价 定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 4. （福建漳州（福建漳州 10 分）分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营 养食品，已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表： 现要配制这种营养食品 20 千克，要求每千克至少含有 480 单位的维生素 C.设购买甲种原料 x 千克 (1)至少需要购买甲种原料多少千克? (2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式并说明购买 甲种原料多少千克时，总费用最少? 5. （湖北十堰（湖北十堰 10 分）分）某工厂计划生产 A、B 两种产品共 50 件，需购买甲、乙两种材料生产一件 A 产品 需甲种材料 30 千克、乙种材料 10 千克；生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 20 千克经测算，购买甲、 乙两种材料各 1 千克共需资金 40 元，购买甲种材料 2 千克和
