1、 - 1 - 与圆有关的位置关系 课前热身课前热身 1.如图，O 的半径为 5，弦 AB8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为（ ） A2 B3 C4 D5 2.已知O 的半径 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，当 dr 时，直线 l 与 O 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D以上都不对 3.如图，已知 AB 是O 的直径，PB 是O 的切线，PA 交 O 于 C，AB3cm，PB4cm，则 BC . 4.已知O1与O2的半径分别为 5cm 和 3cm，圆心距 020=7cm，则两圆的位置关系为（ ） A外离 B外切 C相交 D内切 5.若 1 O与 2 O相切，且
2、 12 5OO ， 1 O的半径 1 2r ，则 2 O的半径 2 r是（ ） A 3 B 5 C 7 D 3 或 7 【参考答案】【参考答案】 1. A 2. B 3.12 5 4.C 5. D 考点聚焦考点聚焦 知识点知识点 直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、 相交弦、切割线定理 大大纲要求纲要求 1.理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系 2.能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题， 这也是本节的 重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点 3.能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半
3、径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两 圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系 考查重点和常考题型考查重点和常考题型 1判断基本概念、基本定理等的正误。在中考题申常以选择题或填空题的形式考查学生对 基本概念和基本定理的正确理解. - 2 - 2考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现， 多见于选择题或 填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。 3证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判 断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。 4论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重
4、点考 查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线 的性质，弦切角等有关圆的基础知识。 备考兵法备考兵法 1 确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系， 涉及点与圆 的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种 可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决 2.判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数； 二是根据圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系 3证明一条直线是圆的切线的方法有两种： （1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心 和这个公共点连结起来，然后
5、证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”； （2）当 直线和圆的公共点没有明确时， 可过圆心作直线的垂线， 再证圆心到直线的距离等于半径， 简称“作垂线，证半径” 考点链接考点链接 1. 1. 点点与圆的位与圆的位置关系置关系共有三种： ， ， ；对应的点到 圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为： d r，d r，d r. 2. 2. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系共有三种： ， ， . 对应的圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系分别为： d r，d r，d r. 3. 3. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系共有五种： ， ， ， ， ；两圆 的圆心距
6、d 和两圆的半径 R、 r （Rr） 之间的数量关系分别为： d Rr， d R r， Rr d Rr，d Rr，d Rr. 4. 4. 圆的切线圆的切线 过切点的半径； 经过 的一端， 并且 这条 的 直线是圆的切线. 5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等. - 3 - 6. 三角形的三个顶点确定 个圆， 这个圆叫做三角形的外接圆， 三角形的外接圆的圆心 叫 心，是三角形 的交点. 7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 . 典例精析典例精析 例例 1 1（山西省太原）（山西省太原）如图AB、AC是O的两条弦，A30，过点C的切线
7、与OB的 延长线交于点D，则D的度数为 【解析】本题考查切线的性质、同弧所对圆周角与圆心角的关系，连接 OC， CD 是切线， OCD90， A30，COD60，所以D30 【答案】30 例例 2(2(辽宁本溪辽宁本溪) )如图所示，AB 是O直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若 AECODB （1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明； （2）当108ABBC，时，求BD的长 【答案】 （1）直线BD和O相切 证明： AECODB，AECABC， ABCODBODBC， 90DBCODB90DBCABC - 4 - 即90DBO直线BD和O相切 （2）连接AC AB 是直径， 90AC
8、B 在RtABC中，108ABBC， 22 6ACABBC 直径10AB， 5OB 由（1） ，BD和O相切， 90OBD90ACBOBD 由（1）得ABCODB， ABCODB ACBC OBBD 68 5BD ，解得 20 3 BD 【点评】圆的切线有三种判定方法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心的 距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线在 证明时一定要根据题目已知条件合理选择 例例 3 3（四川四川凉山州）凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点 1 O的坐标为( 4 0) ，以点 1 O为圆心， 8 为半径的圆与x轴交于A B，两点，过A作直线l
9、与x轴负方向相交成 60的角，且交y 轴于C点，以点 2(135) O，为圆心的圆与x轴相切于点D （1）求直线l的解析式； - 5 - （2） 将 2 O以每秒 1 个单位的速度沿x轴向左平移， 当 2 O第一次与 1 O外切时， 求 2 O 平移的时间 【答案】 （1）解：由题意得| 4|8| 12OA ， A点坐标为( 12 0)， 在RtAOC中，60OAC， tan12 tan6012 3OCOAOAC C点的坐标为(012 3)， 设直线l的解析式为ykxb， 由l过A C、两点， 得 12 3 012 b kb 解得 12 3 3 b k ，直线l的解析式为：312 3yx （2
10、）如图，设 2 O平移t秒后到 3 O处与 1 O第一次外切于点P， 3 O与x轴相切于 1 D 点，连接 1331 OOO D，则 1313 8513OOOPPO ， 31 O Dx轴， O y x C D B A O1 O2 60 l O y x C D B A D1 O1 O2 O3 P 60 l - 6 - 31 5O D， 在 131 RtOO D中 2222 111331 13512ODOOO D 11 4 1317ODOOOD， 1111 17 125DDODOD， 5 5 1 t （秒） ， 2 O平移的时间为 5 秒 【点评】本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角
11、坐标系，解直角三角形以 及解方程（组）的相关知识，综合性极强 例例 4 4（广西河池）（广西河池）如图 1，在O 中，AB 为O 的直径，AC 是弦，4OC ，60OAC （1）求AOC 的度数； （2）在图 1 中，P 为直径 BA 延长线上的一点，当 CP 与O 相切时，求 PO 的长； （3） 如图 2，一动点 M 从 A 点出发，在O 上按逆时针方向运动，当 MAOCAO SS 时， 求动点 M 所经过的弧长 【答案】解： （1） 在ACO 中，60OAC，OCOA ACO 是等边三角形 AOC60 （2） CP 与O 相切，OC 是半径 CPOC P90-AOC30 PO2CO8 .
12、 （3）如图 2， 作点C关于直径AB的对称点 1 M，连结 1 AM，OM1 易得 1 M AOCAO SS ， 1 60AOM - 7 - 1 44 60 1803 AM 当点M运动到 1 M时， MAOCAO SS ， 此时点M经过的弧长为 4 3 过点 1 M作 12 M MAB交O 于点 2 M，连结 2 AM， 2 OM，易得 2 M AOCAO SS 1122 60AOMM OMBOM 2 48 2 33 AM 或 2 48 120 1803 AM 当点M运动到 2 M时， MAOCAO SS ，此时点M经过的弧长为 8 3 过点C作 3 CMAB交O 于点 3 M，连结 3 A
13、M， 3 OM，易得 3 M AOCAO SS 3 60BOM， 23 416 240 1803 AM M 或 23 816 2 33 AM M 当点M运动到 3 M时， MAOCAO SS ，此时点M经过的弧长为 16 3 当点M运动到C时，M 与 C 重合， MAOCAO SS ， 此时点M经过的弧长为 420 300 1803 或 16 420 333 【点评】运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏 迎考精炼迎考精炼 一、一、 选择题选择题 1（湖北十堰）（湖北十堰） 如图， ABC 内接于O， 连结 OA、 OB， 若ABO25， 则C 的度数为 （ ） A55 B60
14、 C65 D70 - 8 - 2 （甘肃白银）（甘肃白银）如图，O 的弦 AB6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则O 的半 径为（ ） A5 B4 C3 D2 3.（浙江绍兴）（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，P 与 x 轴相切于原点 O，平行于 y 轴的直线 交P 于 M,N 两点若点 M 的坐标是(2,-1)，则点 N 的坐标是（ ） A(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5) 4.（湖北湖北襄樊）襄樊）如图，AB 是O 的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于C，若 25A则D等于（ ） A40 B50 C60 D70 5.（浙
15、江浙江台州）台州）大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距 为 10，则这两圆的位置关系为（ ） A外离 B外切 相交 D内含 6.（浙江（浙江嘉兴嘉兴）如图，P 内含于O，O 的弦 AB 切P 于点 C，且 ABOP 若阴影部分的面积为9，则弦 AB 的长为（ ） A3 B4 C6 D9 二、二、 填空题填空题 - 9 - 1.( (四川成都四川成都) )如图，ABC 内接于O，ABBC，ABC120，AD 为O 的直径，AD6， 那么 BD_ A B C D O 2.( (贵州安顺贵州安顺) )如图，O 的半径 OA10cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离 为_
16、cm。 3( (甘肃定西甘肃定西) )如图，在ABC 中，5cmABAC，cosB 3 5 如果O 的半径为10cm， 且经过点 B、C，那么线段 AO cm 4 （ 年湖南怀化）年湖南怀化）如图，PA、PB分别切O于点A、B，点E是O上一点，且 60AEB，则P_ _度 5 （广西广西崇左）崇左）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心.EC为半径的 - 10 - 半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为 6.（山东山东威海）威海）如图，O1和O2的半径为 1 和 3，连接 O1O2，交O2于点 P，O1O2=8，若将 O1绕点P按顺时针方向旋转 360，则O
17、1与O2共相切_次 7.（ 年年黑龙江大兴安岭）黑龙江大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为cm5和cm4，这两个圆的圆心距 是 三、三、 解答题解答题 1.( (四川内江四川内江) )如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E、F 在 AC 上，AB AD，BFCBAD2DFC. 求证： （1）CDDF； （2）BC2CD 2.（湖北仙桃）（湖北仙桃）如图，AB 为O 的直径，D 是O 上的一点，过 O 点作 AB 的垂线交 AD 于点 E，交 BD 的延长线于点 C，F 为 CE 上一点，且 FDFE (1)请探究 FD 与O 的位置关系，并说明理由； (2)若O
18、的半径为 2，BD3，求 BC 的长 D C E B A - 11 - 3.（湖南衡阳）（湖南衡阳）如图，AB 是O 的直径，弦 BC2cm，ABC60 （1）求O 的直径； （2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与O 相切； （3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度 从 B 点出发沿 BC 方向运动， 设运动时间为)20)( tst， 连结 EF， 当t为何值时， BEF 为直角三角形 4 （甘肃甘肃兰州）兰州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点 A
19、.与大圆相交于点B小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB (1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由； (3)若8cm10cmABBC，求大圆与小圆围成的圆 环的面积 （结果保留 ） - 12 - 参考答案：参考答案： 一、选择题一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.A 5.A 6. C 二、填空题二、填空题 1.33 2.6 3.5 4.A 5. 3 5 6.3 7.cm1或cm9 三、解答题三、解答题 1.证： （1）设DFC，则BAD2 在ABD 中，ABAD， ABDADB ABD12（180-BAD）
20、90- 又FCDABD90- FCD+DFC90 CDDF （2）过 F 作 FGBC 于 G 在FGC 和FDC 中 ，FCGADBABDFCD FGCFDC90,FCFC FGCFDC GCCD 且GFCDFC 又BFC2DFC GFBGFC BC2GC， BC2CD. 2.解： （1）FD 与O 相切，理由如下： 连接 OD.OCAB，AOC90，3+A90.FEFD， 12.又23，13，又OAOD，A4. 1+490，FD 与O 相切. （2）O 的半径为 2，OB2，AB4，又AB 是O 的直径， ADB90.OCAB，ADBBOC90，又BB，RtABDRtCBO ABCB BD
21、BO ，即 4 23 CB ， 8 3 3 BC . 3.解： （1）AB 是O 的直径（已知） - 13 - ACB90（直径所对的圆周角是直角） ABC60（已知） BAC180ACBABC 30（三角形的内角和等于 180） AB2BC4cm（直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即O 的直径为 4cm （2）如图（1）CD 切O 于点 C，连结 OC，则 OCOB1/2AB2cm CDCO（圆的切线垂直于经过切点的半径） OCD90（垂直的定义） BAC 30（已求） COD2BAC 60 （在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） D180CODOCD
22、 30（三角形的内角和等于 180） OD2OC4cm（直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半） BDODOB422（cm） 当 BD 长为 2cm，CD 与O 相切 （3）根据题意得： BE（42t）cm，BFtcm； 如图（2）当 EFBC 时，BEF 为直角三角形，此时BEFBAC BE：BABF：BC 即： （42t） ：4t：2 解得：t1 如图 10（3）当 EFBA 时，BEF 为直角三角形，此时BEFBCA BE：BCBF：BA 即： （42t） ：2t：4 解得：t1.6 当 t1s 或 t1.6s 时，BEF 为直角三角形 4.解： （1）BC所在直线与小圆相切， 理由如下：过圆心O作OEBC，垂足为E， AC是小圆的切线，AB经过圆心O， OAAC，又CO平分ACBOEBC，OEOA BC所在直线是小圆的切线 - 14 - （2）AC+AD=BC。理由如下：连接ODAC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E， CECA 在RtOAD与RtOEB中，90OAOEODOBOADOEB ， RtRtOADOEB（HL） ，E B A DBCCEEB， BCACAD （3）90BAC，8106ABBCAC， BCACAD，4ADBCAC 圆环的面积)( 2222 OAODOAODS 又 222 ODOAAD， 22 164cmS
