1、 ? 有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用 爱因斯坦问他： “ 两个人从烟囱里爬出去， 一个满脸烟灰， 一个干干净净， 你认为哪一个该去洗澡？ ” “ 当然是脏的那 个” 学生说 “ 不对脏的那个看见对方干干净净， 以为自己也不会脏， 哪里会去洗澡？ ” 二 次 函 数 内容清单能力要求 用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 能通过画二次函数图象求一元二次 方程的近似解， 能说明二次函数与一 元二次方程的联系与区别 方程、 不等式、 函数的联系 会借助函数思想及图象求不等式的 解集 ?（ ?） 有一次在美国一场关于教育问题的演讲上， 一个数学家讲了个笑话来说明美国数学教育的失败他说： “ 在某
2、个 大学里， 有一次一个橄榄球队员因为学业成绩太差而将被学校退学教练替这个队员向他的数学教授求情， 教练说这 个学生对球队太重要了， 希望教授无论如何也要给这个学生一个补考的机会央求许久之后， 教授勉为其难地答应 了 一、选择题 （ 四川乐山） 二次函数狔犪 狓 犫 狓 （犪 ） 的图象的 顶点在第一象限， 且过点（ ， ）设狋犪犫 ， 则狋值的变 化范围是（） 狋 狋 狋 狋 （ 四川宜宾） 给出定义： 设一条直线与一条抛物线只有 一个公共点， 且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行， 就称 直线与抛物线相切， 这条直线是抛物线的切线有下列命题： 直线狔 是抛物线狔 狓 的切线； 直线狓 与抛
3、物线狔 狓 相切于点（ ，） ； 直线狔狓犫与抛物线狔 狓 相切， 则相切于点（ ，） ； 若直线狔犽 狓 与抛物线狔 狓 相切， 则实数犽槡 其中正确的命题是（） （ 河南） 在平面直角坐标系中， 将抛物线狔狓 先向 右平移个单位， 再向上平移个单位， 得到的抛物线解析式 为（） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） 狔（狓 ） （ 台北） 二次函数狔 狓 狓 的图形如图， 判断方 程 狓 狓 的两根， 下列叙述正确的是（ ） 两根相异， 且均为正根 两根相异， 且只有一个正根 两根相同， 且为正根 两根相同， 且为负根 （ 第题） （ 第题） （ 江苏宿迁） 已知二次函数狔犪 狓 犫 狓犮（
4、犪 ） 的图 象如图， 则下列结论中正确的是（） 犪 当狓 时，狔随狓的增大而增大 犮 是方程犪 狓 犫 狓犮 的一个根 二、填空题 （ 广西北海） 二次函数狔狓 狓的顶点坐标为 （ 浙江义乌） 如图， 已知抛物线狔狓 ， 直线 狔 狓 ， 当狓任取一值时，狓对应的函数值分别为狔，狔 若狔 狔， 取狔，狔中的较小值记为犕； 若狔狔， 记犕狔 狔例如： 当狓 时，狔，狔，狔狔， 此时犕 下 列判断： （ 第题） 当狓 时，狔狔； 当狓 时，狓值越大，犕值越小； 使得犕大于的狓值不存在； 使得犕 的狓值是 或 槡 其中正确的是（ 在横线上填 题号） （ 山东潍坊） 一个狔关于狓的函数同时满足两个条
5、件： 图象过（，） 点；当狓时狔随狓的增大而减小， 这个 函数解析式为（ 写出一个即可） 三、解答题 （ 湖北恩施） 如图， 已知抛物线狔狓 犫 狓犮与一直 线相交于犃（， ） 、犆（，） 两点， 与狔轴交于点犖其顶点 为犇 （ ） 求抛物线及直线犃 犆的函数关系式； （ ） 设点犕（，犿） ， 求使犕犖犕犇的值最小时犿的值 （ 第题） ?（ ?） 补考当天， 教练带着学生到考场教授说： 这次题目非常简单， 如果你答对， 这学期就过了题目是 根号等 于几？你有一个小时的时间作答” 于是， 学生开始埋头计算， 时而望着天花板苦思， 教练则紧张地坐旁边最后， 一个 小时到了， 这个学生颤抖地伸出两
6、只指头， 怯懦地说： “”教授还未回答， 教练就跳起来大喊： “ 再给他一次机会！ ” （ 江西南昌） 如图， 已知二次函数犔：狔狓 狓 与 狓轴交于犃、犅两点（ 点犃在点犅的左边） ， 与狔轴交于点犆 （ ） 写出二次函数犔的开口方向、 对称轴和顶点坐标； （ ） 研究二次函数犔：狔犽 狓 犽 狓 犽（犽 ） 写出二次函数犔与二次函数犔有关图象的两条相同 的性质； 若直线狔 犽与抛物线犔交于犈、犉两点， 问线段犈 犉 的长度是否发生变化？如果不会， 请求出犈 犉的长度； 如果会， 请说明理由 （ 第 题） （ 广东） 如图， 抛物线狔 狓 狓与狓 轴交于 犃、犅两点， 与狔轴交于点犆， 连结
7、犅 犆、犃 犆 （ ） 求犃 犅和犗 犆的长； （ ） 点犈从点犃出发， 沿狓轴向点犅运动（ 点犈与点犃、犅不 重合） ， 过点犈作直线犾平行犅 犆， 交犃 犆于点犇设犃 犈的 长为犿，犃 犇 犈的面积为犛， 求犛关于犿的函数关系式， 并写出自变量犿的取值范围 （ 第 题） （ 山东济宁） 如图， 抛物线狔犪 狓 犫 狓 与狓轴交于 犃（，） 、犅（ ，） 两点， 与狔轴交于点犆， 点犘是线段犃 犅 上一动点（ 端点除外） ， 过点犘作犘 犇犃 犆， 交犅 犆于点犇， 连 结犆 犘 （ ） 求该抛物线的解析式； （ ） 当动点犘运动到何处时，犅 犘 犅 犇犅 犆 （ 第 题） （ 广东汕头）
8、已知抛物线狔 狓 狓 犮与狓轴没有 交点 （ ） 求犮的取值范围； （ ） 试确定直线狔犮 狓 经过的象限， 并说明理由 ?（ ?） 气象学家 提出一篇论文， 名叫 一只蝴蝶在巴西拍一下翅膀会不会在 州引起龙卷风 ， 论述某系统如果 初期条件差一点点， 结果会很不稳定， 他把这种气象戏称作“ 蝴蝶效应” 为何要写这篇论文呢？ 年的某个冬 天， 他如往常一般在办公室操作气象电脑， 平时， 他只需要将温度、 湿度、 压力等气象数据输入， 电脑就会依据三个内建的 微分方程式， 计算出下一刻可能的气象数据， 因此模拟出气象变化图 （ 浙江杭州） 设函数狔犽 狓 （ 犽）狓（犽为实 数） （ ） 写出其
9、中的两个特殊函数， 使它们的图象不全是抛物线， 并在同一直角坐标系中， 用描点法画出这两个特殊函数 的图象； （ ） 根据所画图象， 猜想出： 对任意实数犽， 函数的图象都具 有的特征， 并给予证明； （ ） 对任意负实数犽， 当狓犿时，狔随着狓的增大而增大， 试 求出犿的一个值 （ 浙江义乌） 如图， 一次函数狔 狓的图象与二次函 数狔狓 狓图象的对称轴交于点犅 （ ） 写出点犅的坐标； （ ） 已知点犘是二次函数狔狓 狓图象在狔轴右侧 獉獉 部 分上的一个动点， 将直线狔 狓沿狔轴向上平移， 分别 交狓轴、 狔轴于犆、犇两点若以犆 犇为直角边的犘 犆 犇 与犗 犆 犇相似， 求点犘的坐标
10、（ 第 题） 趋势总揽 通过实践与探索， 让学生参与知识发现和形成的过程， 进一 步体会数学学习中“ 问题情境建立模型解释应用回顾拓 展” 的过程进行数学思想方法的渗透、 学习， 能借助函数的有关 知识， 进行一系列以函数及其图象为主的研究性学习活动， 是新 课标的基本要求预计 年中考将对以下进行考查： 重点考查函数思想和数形结合的思想外， 还会综合考查学 生的阅读理解能力， 收集处理信息的能力， 运用知识的能力， 解 决实际问题的能力， 考察社会活动的能力， 探索、 发现问题的 能力 高分锦囊 会根据二次函数定义确定待定系数及待定系数所含的字 母的值， 并会根据函数的解析式画出该函数的图象；
11、 反之会根据 图象确定相应的函数解析式及待定系数的取值范围 在构建模型时， 选择原点， 建立恰当的直角坐标系是关 键标出图形中各个特殊点的坐标， 用待定系数法可求出此图形 的解析式 常考点清单 一、二次函数的解析式 确定解析式的一般方法为 二次函数的解析式常见 的 三 种 形 式 为 、 和交点式 二、抛物线狔犪 狓 犫 狓犮与狓轴的位置关系 当犫 犪 犮 时， 抛物线与狓轴 当犫 犪 犮 时， 抛物线与狓轴有交点 当犫 犪 犮 时， 抛物线与狓轴有交点 抛物线与狓轴交点的横坐标是方程的根 易混点剖析 由抛物线的开口方向、 对称轴可确定犪，犫的符号， 由抛物 线与狔轴交点的位置可确定犮的符号，
12、 由抛物线与狓轴交点的个 数可确定犫 犪 犮的符号 二次函数只有在其自变量的取值范围内才可以取最大值 或最小值 易错题警示 【 例】 （ 四川资阳） 抛物线狔 狓 狓犿的顶 点在直线狔狓 上， 过点犉（ ， ） 的直线交该抛物线于犕、犖 两点（ 点犕在点犖的左边） ，犕犃狓轴于点犃，犖 犅狓轴于点 犅 （ ） 先通过配方求抛物线的顶点坐标（ 坐标可用含犿的代数 式表示） ， 再求犿的值； （ ） 设点犖的横坐标为犪， 试用含犪的代数式表示点犖的纵 坐标， 并说明犖 犉犖 犅 ?（ ?） 这一天， 想更进一步了解某段纪录的后续变化， 他把某时刻的气象数据重新输入电脑， 让电脑算出更多 的后续结果
13、当时， 电脑处理数据资料的速度不快， 在结果出来之前， 足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵回来后， 结 果出来了， 不过令他目瞪口呆结果和原资讯两相比较， 初期数据还差不多， 越到后期， 数据差异就越大了， 就像是不 同的两笔资讯而问题并不出在电脑， 问题是他输入的数据差了 ， 而这细微的差异却造成天壤之别所以长 期的准确预测天气是不可能的 【 解析】本题考查了二次函数综合题， 在该二次函数综合 题中， 融入了勾股定理、 相似三角形等重点知识 （ ） 利用配方法将二次函数整理成顶点式即可， 再利用点在 直线上的性质得出答案即可 （ ） 过点犉作犉 犆犖 犅于点犆， 首先利用点犖在抛物线上， 得出点
14、犖的坐标， 再利用勾股定理得出犖 犉 犖 犆犉 犆， 进而 得出犖 犉 犖 犅， 即可得出答案 【 答案】（ ）狔 狓 狓犿 （ 狓 ） （ 犿 ） ， 顶点坐标为（ ， 犿 ） 顶点在直线狔狓 上， 犿 犿 （ ）点犖在抛物线上， 点犖的纵坐标为 犪 犪 ， 即点犖 犪， 犪 犪（） 过点犉作犉 犆犖 犅于点犆， 在 犉 犆 犖中， 犉 犆犪 ， 犖 犆犖 犅犆 犅 犪 犪， 犖 犉 犖 犆 犉 犆 犪 （）犪 （犪） 犪 （）犪 （犪 犪） 而犖 犅 犪 犪（） 犪 （）犪 （犪 犪） ， 犖 犉 犖 犅， 即犖 犉犖 犅 【 例】 （ 湖南娄底） 已知二次函数狔狓 （ 犿 ） 狓 犿的图
15、象与狓轴交于点犃（狓，） 和点犅（狓，） ，狓狓， 与狔轴交 于点犆， 且满足 狓 狓 （ ） 求这个二次函数的解析式； （ ） 探究： 在直线狔狓上是否存在一点犘， 使四边形 犘 犃 犆 犅为平行四边形？如果有， 求出点犘的坐标； 如果没有， 请 说明理由 【 解析】（ ） 欲求抛物线的解析式， 关键是求得犿的值根 据题中所给关系式， 利用一元二次方程根与系数的关系， 可以求 得犿的值， 从而问题得到解决注意： 解答中求得两个犿的值， 需 要进行检验， 把不符合题意的犿值舍去 （ ） 利用平行四边形的性质构造全等三角形， 根据全等关系 求得点犘的纵坐标， 进而得到点犘的横坐标， 从而求得点犘
16、的 坐标 【 答案】（ ）二次函数狔狓 （ 犿 ） 狓犿的图象 与狓轴交于点犃（ 狓，） 和点犅（狓，） ，狓狓 令狔 ， 即狓 （ 犿 ） 狓 犿 ， 则有狓 狓犿 ， 狓狓 犿 狓 狓 狓狓 狓狓 犿 犿 化简， 得犿 犿 ， 解得犿 ，犿 当犿 时， 方程为狓 狓 ， 其判别式犫 犪 犮 ， 此时抛物线与狓轴没有交点， 不符合题意， 舍去； 当犿 时， 方程为狓 狓， 其判别式 犫 犪 犮 ， 此时抛物线与狓轴有两个不同的交点， 符合题意 犿 抛物线的解析式为狔狓 狓 （ ） 假设在直线狔狓 上是存在一点犘， 使四边形犘 犃 犆 犅 为平行四边形 如图所示， 连结犘 犃、犘 犅、犃 犆、
17、犅 犆， 过点犘作犘 犇狓轴于点 犇 抛物线狔狓 狓 与狓轴交于犃、犅两点， 与狔轴交 于点犆， 犃（ ，） ， 犅（，） ，犆（，） 犗 犅 ，犗 犆 犘 犃 犆 犅为平行四边形， 犘 犃犅 犆， 犘 犃犅 犆 犘 犃 犇犆 犅 犗 犃 犘 犇犗 犆 犅 在 犘 犃 犇与 犆 犅 犗中， 犘 犃 犇犆 犅 犗， 犘 犃犅 犆， 犃 犘 犇犗 犆 犅 烅 烄 烆， 犘 犃 犇 犆 犅 犗 犘 犇犗 犆 ， 即狔 犘 直线解析式为狔狓 狓犘 犘（ ，） 所以在直线狔狓上存在一点犘， 使四边形犘 犃 犆 犅为平 行四边形， 点犘的坐标为（ ， ） ? 有 个核桃， 要分给 个人， 要求谁也不许分到
18、偶数个你能做到吗？ 答案： 这个问题是不可解的假如 这个数可以分成 个奇数的话， 那么就仿佛说奇数个奇数的和等于 ， 即 等于偶数， 而这当然是不可能的事实上， 我们这里共有 对奇数， 另外还有一个奇数每一对奇数的和是偶数， 对 偶数相加， 它的和也是偶数； 再加上一个奇数， 就又成了奇数因此， 个核桃分给 个人， 每个人都不许分到偶数个 是不可能的 一、选择题 （ 海南省中考数学科模拟） 下列关于二次函数的说法错 误的是（） 抛物线狔 狓 狓 的对称轴是直线狓 点犃（，） 不在抛物线狔狓 狓 的图象上 二次函数狔（狓 ） 的顶点坐标是（ ， ） 函数狔 狓 狓 的图象的最低点是（ ， ） （
19、 江苏盐城地区适应性训练） 已知二次函数的图象 （ 狓 ） 如图所示关于该函数在所给自变量狓的取 值范围内， 下列说法正确的是（） （ 第题） 有最小值， 有最大值 有最小值 ， 有最大值 有最小值 ， 有最大值 有最小值 ， 无最大值 （ 安徽淮北市二模） 函数狔犪 狓 （ 犪）狓的图象 与狓轴只有一个交点， 则犪的值为（） ， ， ， ， 二、填空题 （ 广东河源市第四次质量检测） 开口向下的抛物线狔 （犿 ） 狓 犿 狓 的对称轴经过点（，） ， 则犿 （ 新疆石河子模拟） 已知犪，犫，犮满足犪犮犫，犪犮 犫， 则关于狓的二次函数狔犪 狓 犫 狓犮（犪） 的图象与狓 轴的交点坐标为 （
20、第题） （ 安徽安庆 校联考） 如图， 已 知抛物线狔狓 犫 狓犮经过点（ ， ） ， 请你确定一个犫的值， 使该抛物 线与狓轴的一个交点在（ ，） 和（，） 之间你所确定的犫的值是 （ 写出一个值即可） （ 陕西榆林模拟） 已知关于狓的 函数狔（犿） 狓 狓犿图象与坐标轴有且只有个交 点， 则犿 （ 河南新乡模拟） 已知抛物线狔狓 狓 与狓轴的一 个交点为（犿， ） ， 则代数式犿 犿 的值为 （ 安徽芜湖模拟） 如图， 是二次函数狔犪 狓 犫 狓犮图 象一部分， 其对称轴为狓， 若其与狓轴的一个交点为 犃（，） ， 由图象知， 不等式犪 狓 犫 狓犮 的解集为 （ 第题） 三、解答题 （
21、河南省开封市二中模拟） 已知抛物线狔犪 狓 犫 狓 犮的顶点为（，） ， 且经过点（，） （ ） 求该抛物线对应的函数的解析式； （ ） 将该抛物线向下平移犿（犿 ） 个单位， 设得到的抛物线 的顶点为犃， 与狓轴的两个交点为犅、犆， 若犃 犅 犆为等 边三角形 求犿的值； 设点犃关于狓轴的对称点为点犇， 在抛物线上是否存 在点犘， 使四边形犆 犅 犇 犘为菱形？若存在， 写出点犘 的坐标； 若不存在， 请说明理由 ?（ ?） 一个人， 把一群牛分给他的儿子们给长子的是一头牛又余数的 ， 给次子的是二头牛又余数的 ， 给第三个儿子 三头牛又余数的 ， 给第四个儿子四头牛又余数的 ， 如此类推，
22、 他就这样， 把整个牛群一点不剩地分配给了他的儿子 们， 读者朋友， 你知道他有几个儿子， 有多少头牛吗？ （ 安徽安庆二模） 某市政府大力扶持大学生创业张涛 在政府的扶持下销售一种进价为每件 元的新型节能产 品， 现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销 售 若只在国内销售， 销售价格狔（ 元 件） 与月销售量狓（ 件） 的函 数关系如图所示无论销售多少， 每月还需支出广告费 元， 设月利润为狑内（ 元） （ 利润销售额成本广 告费） 若只在国外销售， 销售价格为 元 件， 受各种不确定因素 影响， 成本（ 含进价） 为犪元 件（ 犪为常数， 犪 ） ， 当月 销量为狓（ 件） 时，
23、每月还需缴纳 狓 元的附加费， 设月利润 为狑外（ 元） （ 利润销售额成本附加费） （ ） 求狔与狓的函数关系式（ 不必写狓的取值范围） （ ） 分别求出狑内，狑外与狓间的函数关系式（ 不必写狓的取 值范围） （ ） 在国内销售时， 每月的销售量在什么范围内， 张涛才不会 亏本？ （ ） 如果某月要将 件产品全部销售完， 请你通过分析 帮公司决策， 选择在国内还是在国外销售才能使所获月 利润较大？ （ 第 题） 如图， 直线狔狓犿和抛物线狔狓 犫 狓犮相交于犃（，） 、 犅（，） 两点， 则不等式狓 犫 狓犮狓犿的解集为，犿 值为 （ 第题） 如图所示， 小明在一次高尔夫球的练习中， 在某处
24、击球， 其飞 行路线满足抛物线， 其中狔（） 是球的飞行高度， 狓（） 是球飞 出的水平距离， 结果球离球洞的水平距离还有 （ ） 请写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （ ） 请求出球飞行的最大水平距离； （ ） 若小明再一次在此处击球， 要想让球飞行的最大高度不 变， 且球刚好进洞， 则球的飞行路线应满足怎样的抛物线？ 求出其关系式 （ 第题） 如图， 在平面直角坐标系中， 二次函数狔犪 狓 犮（犪） 的图 象过正方形犃 犅 犗 犆的三个顶点犃、 犅、犆， 求犪 犮的值 （ 第题） （） 当犮为何值时， 抛物线狔 狓 狓犮与狓轴只有一个交 点？ （ ） 在函数狔犪 狓 犫 狓犮中， 若犪 犮
25、， 则抛物线与狓轴有几 个交点 ？ 二 次 函 数 年考题探究 解析 由题意知犪犫， 且犪， 犫异号， 得出犫为 正， 犪为负又狋 犫， 所以 狋 解析直线狔是狓轴， 抛物线狔 狓 的 顶点在狓轴上， 直线狔 是抛物线狔 狓 的切线故本小题正 确 抛物线狔 狓 的顶点在狓轴上， 开口向上， 直线 狓 与狔轴平行， 直线狓 与抛物线狔 狓 相交故本小题错误 直线狔狓犫与抛物线狔 狓 相切， 狓 狓犫 犫 ， 解得犫 把犫 代入 狓 狓犫 ， 得狓 把狓 代入抛物线解析式得狔 直线狔狓犫与抛物线狔 狓 相切， 且相切于点 （，） ， 故本小题正确 直线狔犽 狓 与抛物线狔 狓 相切， 狓 犽 狓
26、， 即 狓 犽 狓 犽 ， 解得犽 槡 ， 故本小题错误 解析 只要将顶点坐标相应进行平移即可 解析 从图形知抛物线与狓轴正半轴相交， 且两个交 点相异 解析 图象开口向下， 犪 ； 与狔轴正半轴相交，犮； 当狓 时， 狔随狓的增大而减小 （，） 解析 利用顶点坐标公式计算或者进行配方 解析当狓 时， 利用函数图象可以得出 狔狔， 故此选项错误； 当狓时， 根据函数图象可以得出狓值越大，犕值越 大，此选项错误 使得犕大于的狓值不存在， 此选项正确 使得犕 的狓值是 或槡 此选项正确 狔 狓 ， 狔狓，狔狓 等 解析 此题答案不 唯一， 二次函数、 一次函数、 反比例函数均有满足条件的函 数式存
27、在 （） 由抛物线狔狓 犫 狓 犮过点犃（ ，） 、犆（，） ， 得 犫犮 ， 犫犮 ， 犫 ， 犮 故抛物线为狔狓 狓 设直线为狔犽 狓狀， 且过点犃（ ，） 、犆（，） ， 得 犽狀 ， 犽狀 ， 犽 ， 狀 故直线犃 犆为狔狓 （） 作点犖关于直线狓 的对称点犖 ， 则犖 （，） 由（） 得犇（，） ， 故直线犇犖 的函数关系式为狔 狓 当犕（，犿） 在直线犇犖 上时，犕犖犕犇的值最小， 则犿 （） 抛物线狔狓 狓 中，犪 ，犫 ，犮 ， 犫 犪 ， 犪 犮犫 犪 （ 第 题） 二次函数犔 的开口向 上， 对称轴是直线狓， 顶点 坐标为（， ） （）二次函数犔与犔有关 图象的两条相同的性
28、质： 对称轴为狓 或顶点的横坐 标为， 都经过犃（，） 、犅（， ） 两点 线段犈 犉的长度不会发生变 化 直线狔 犽与抛物线犔交于犈、 犉两点 ， 犽 狓 犽 狓 犽 犽 犽 ， 狓 狓 解得狓 ，狓 犈 犉狓狓 线段犈 犉的长度不会发生变化 （）狔 狓 狓 ， 当狓 时， 狔 ， 则犆（， ） ； 当狔 时， 狓 狓 ， 得狓 ，狓 ， 则犃（ ，） ，犅（，） 犃 犅 ，犗 犆 （）犈 犇犅 犆， 犃 犈 犇犃 犅 犆 犛犃 犈 犇 犛犃 犅 犆 犃 犈 （ ） 犃 犅 ， 即 狊 犿 （ ） 狊 犿 （ 犿 ） （） 由题意， 得 犪 犫 ， 犪 犫 ，解得 犪 ， 犫 烅 烄 烆 抛
29、物线的解析式为狔 狓 狓 （） 设点犘运动到点（狓，） 时， 有犅 犘犅 犇犅 犆 令狓 时， 则狔 点犆的坐标为（ ， ） 犘 犇犃 犆， 犅 犘 犇犅 犃 犆 犅 犇 犅 犆 犅 犘 犅 犃 犅 犆犗 犅 犗 犆 槡 槡 槡 ， 犃 犅 ，犅 犘狓（ ）狓 ， 犅 犇犅 犘 犅 犆 犅 犃 槡（狓 ） 槡 （ 狓 ） 犅 犘 犅 犇犅 犆， （狓 ） 槡 （ 狓 ） 槡 解得狓 ，狓 （ 不合题意， 舍去） 点犘 的 坐 标 是 ， （） ，即 当 点犘运 动 到 ， （） 时，犅 犘 犅 犇犅 犆 （）抛物线与狓轴没有交点， ， 即 犮 ， 得犮 （）犮 ， 直线狔犮 狓 中函数值狔随狓
30、的增大而增大 又犫 ， 直线狔犮 狓 经过第一、 二、 三象限 （） 如两个函数为狔狓 ，狔狓 狓 ， 函数图形略； （） 不论犽取何值， 函数狔犽 狓（犽 ）狓 的图象必 过定点（，） ， （ ， ） ， 且与狓轴至少有个交点 证明如下： 由狔犽 狓（犽 ）狓 ， 得犽（狓 狓）（狓狔 ） 当狓 狓 ， 且狓狔 ， 即狓 ， 狔 ， 或狓 ，狔 时， 上式对任意实数犽都成立， 所以函数的图象必过定点 （，） ， （ ， ） 又因为当犽 时， 函数狔狓 的图象与狓轴有一个交 点； 当犽 时， （犽 ） 犽犽 ， 所以函数图象与狓 轴有两个交点 所以函数狔犽 狓（ 犽 ）狓 的图象与狓轴至少有一
31、个 交点 （） 只要写出犿 的数都可以 犽 ， 函数狔犽 狓 （ 犽 ）狓 的图象在对称轴直线狓 犽 犽 的左侧， 狔随狓的增大而增大 根据题意， 得犿 犽 犽 而当犽 时， 犽 犽 犽 犿 （） ， （） （） （，） 、 ， （） 、 ， （） 、 ， （） 年模拟提优 解析 当狓 时，狔 ， 即点犃（ ，） 在抛物线狔狓 狓 的图象上 解析 观察图象知在所给自变量狓的取值范围内函数 有最小值 ， 有最大值， 解析 分函数为二次函数（ 此时 ） 与一次函数两 种情况讨论 解析 由题意知 犿 （犿 ）， 解得犿， 犿 （ 舍去） （ ，） ， （，） 解析 由犪犫犮知函数过点 （ ，） ，
32、由犪 犫犮 知函数过点（ ，） 答案不唯一， 如： ， 解析 答案不惟一， 在 犫 内取值均可 或或 槡 解析 当犿时， 函数为一次函数， 与 狓轴，狔轴各有一个交点； 当犿时， 函数为狔狓 狓， 函数与狓轴有两个交点； 当犿 槡 时， 函数犫 犪 犮 与狓轴和狔轴共有两个交点 解析 依题意知犿 犿 ， 得犿犿 狓 或狓 解析 由对称性知函数与狓轴另一个交 点为（ ，） （） 由题意可得， 犪犫犮 ， 犫 犪 ， 犮 烅 烄 烆 解得 犪 ， 犫 ， 犮 烅 烄 烆 抛物线对应的函数的解析式为狔狓 狓 （）将狔狓 狓 向下平移犿个单位得狔狓 狓 犿（狓 ） 犿， 可知犃（ ，犿） ，犅（槡犿，
33、） ， 犆（ 槡犿，） ，犅 犆 槡犿 由犃 犅 犆为等边三角形， 得槡 槡 犿犿 由犿 ， 解得犿 不存在这样的点犘 点犇与点犃关于狓轴对称， 犇（，） 由， 得犅 犆 槡 要使四边形犆 犅 犇 犘为菱形， 需犇 犘 犅 犆，犇 犘犅 犆由题意， 知点犘的横坐标为槡 ， 当狓 槡 时狔狓 狓犿狓 狓（ 槡 ） （ 槡 ） 槡， 故不存在这样的点犘 （） 设狔与狓的函数关系式为狔犽 狓犫， 由图象得 犫 ， 犽犫 ， 解得 犽 ， 犫 烅 烄 烆 ， 狔 狓 （）狑内狓（ 狔 ） 狓 狓 ， 狑外 狓 （ 犪）狓 （） 令狑内 ， 则 狓 狓 解得狓 ，狓 故每月的销售量至少为 件、 至多为
34、时， 张涛才 不会亏本 （） 当狓 时，狑内 ， 狑外 犪 若狑内狑外， 则犪 ； 若狑内狑外， 则犪 ； 若狑内狑外， 则犪 所以， 当 犪 时， 选择在国外销售； 当犪 时， 在国外和国内销售都一样； 当 犪 时， 选择在国内销售 考情预测 狓 或狓 解析 观察可知当狓 或狓 时， 抛物线的图象位于直线狔狓犿的上方， 所以此时，狓 犫 狓犮狓犿， 把犃（，） 代入狔狓犿得犿 （） 抛物线开口向下， 顶点坐标为， （） 对称轴为直线狓 （） 当狔 时， 有 狓 狓 即得狓 ，狓 抛物线与狓轴两交点坐标为（ ，） 和（，） 球飞行的最大水平距离为 （） 球的最大飞行高度不变即顶点的纵坐标不变
35、设抛物线关系式为狔犪（狓犽） 又击球点到球洞的距离为 （） 该抛物线经过点（ ，） 和（，） 犪（ 犽） ， 犪（ 犽） 烅 烄 烆 ， 解得 犪 ， 犽 烅 烄 烆 抛物线的解析式为狔 （狓 ） 狓 狓（ 狓 ） 易知点犃坐标为（，犮） ， 正方形和抛物线都是轴对称图形， 连结犅 犆， 则犅 犆狔轴， 且犅 犆犗 犃犮设犅 犆交犃 犗于点 犇， 则犆 犇 犃 犗 犮 ，犗 犇犮 所以点犆坐标为 犮 ， 犮 （） 把犆 犮 ， 犮 （） 代入狔犪 狓犮， 得犮 犪 犮 （ ） 犮， 即犮 犪 犮 犮， 显然犮 犪 犮 ， 即犪 犮 （）抛物线与狓轴只有一个交点， 一元二次方程狓 狓犮 有两个相等的实数根， 故 犫 犪 犮 犮 犮 即当犮 时， 抛物线狔 狓 狓犮与狓轴只有一个交 点 （）在函数狔犪 狓犫 狓犮中， 犪 犮 ， 犪 犮 犫 犪 犮 即 一元二次方程犪 狓 犫 狓犮有两个不相等的 实数根 抛物线狔犪 狓 犫 狓 犮与狓轴有两个交点
