1、? 刘徽的杰作 九章算术注 和 海岛算经 是我国最宝贵的数学遗产 九章算术 约成书于东汉之初， 共有 个问题的 解法在几何方面提出了“ 割圆术” ， 即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法他利用割圆术科 学地求出了圆周率 的结果 海岛算经 一书中， 刘徽精心选编了九个测量问题， 这些题目的创造性、 复杂性和富有 代表性， 都在当时为西方所瞩目 整式 内容清单能力要求 单项式、 多项式、 整式的概念 能用字母表示实际意义， 正确解释代 数式的含义 单项式的系数、 次数， 多项式的次数、 项及项数的概 念， 多项式按某个字母进行升幂或降幂排列 会利用概念判断整式、 单项式、
2、多项 式 合并同类项的法则和去括号、 添括号法则 会说出单项式系数、 次数、 多项式项 数以及按幂排列问题 整式的加、 减运算 能掌握同类项概念， 能进行同类项合 并， 能区分去括号与添加括号法则的 差异 整式的乘除法运算 能区分幂的乘方、 积的乘方、 同底数 幂相乘的差异 乘法公式， 因式分解 能利用乘法公式简化整式乘除， 会利 用乘法公式进行因式分解的运算 ? 祖冲之的主要成就在数学、 天文历法和机械制造三个领域， 此外历史记载祖冲之精通音律， 擅长下棋， 还写有小说 述异记祖冲之在数学上的杰出成就是关于圆周率的计算， 他采用刘徽割圆术分割到 边形， 又用刘徽圆周率 不等式得祖冲之著名的圆
3、周率不等式： 祖冲之的这一结果精确到小数点后第位， 直到 一千多年后才由 世纪的阿拉伯数学家阿尔卡西以 位有效数字打破此纪录有些外国数学史家建议把叫做 “ 祖率” 一、选择题 （ 江苏连云港） 下列各式计算正确的是（） （犪 ） 犪 犪 犪 犪 犪 犪 犪 犪 犪 （ 四川广安） 下列运算正确的是（） 犪犪 犪 犪 犪 犪 犪 犪 （犪 ） 犪 （ 福建泉州） （犪 ）的值等于（ ） 犪 犪 犪 犪 （ 河北） 计算（犪 犫） 的结果是（ ） 犪 犫 犪 犫 犪 犫 犪 犫 （ 湖北恩施）犪 犫 犪 犫 犪 犫分解因式正确的是（） 犪 犫（犪 犪 ） 犪 犫（犪 ） （犪 ） 犫（犪 ） 犪
4、犫（犪 ） （ 安徽） 下列多项式中， 能因式分解的是（） 犿 狀 犿 犿 犿 狀犿 犿 （ 台湾台北） 计算狓 （ 狓 ） 除以狓 后， 得商式和余式 分别为（） 商式为， 余式为狓 商式为， 余式为 商式为狓 ， 余式为狓 商式为狓 ， 余式为 （ 台湾） 化简（狓 ） （ 狓） 后， 可得下列哪一个 结果？（） 狓 狓 狓 狓 （ 台湾） 若（狓犪） 狓 犫 狓， 则犪犫之值为 何？（） （ 江西） 下列运算正确的是（） 犪犫犪 犫 犪 犪 犪 犪 犪 犫犫 （ 犪犫） 犪 犪 （ 湖南邵阳） 如果犪 犫犪 犫， 那么内应填代数 式是（） 犪 犫 犪 犫 犪 犪 （ 山东聊城） 下列运算
5、不正确的是（） 犪 犪 犪 （ 犪 ） 犪 犪 犪 犪（犪 犪 ） 犪 犪 （ 内蒙古乌兰察布） 下列运算正确的是（） 犪 犪 犪 犪犪犪 （犪 ） 犪 犪 （ 犪 ）犪 （ 浙江丽水） 下列各式能用完全平方公式进行因式分 解的是（） 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 （ 上海） 计算（犪 ）的结果是（ ） 犪 犪 犪 犪 （ 四川泸州） 化简（ 狓 ） 狓 的结果是（ ） 狓 狓 狓 狓 （ 安徽） 下列运算正确的是（） 犪 犪 犪 （犪） 犪 犪 犪 犪 （犪 ） 犪 二、填空题 （ 内蒙古赤峰） 整式犃与犿犿 狀狀 的和是（ 犿 狀） ， 则犃 （ 山东济宁） 若代数式狓 狓犫可化为（狓犪）
6、， 则犫犪的值是 三、解答题 （ 浙江丽水） 已知犃 狓狔，犅 狓狔， 计算犃 犅 （ 江苏盐城） 化简： （犪犫） 犫（犪犫） ? 爱因斯坦还曾经使用更通俗的语言给人们解释过他的狭义相对论有一次， 一群学生围着爱因斯坦， 请他给相对论 作解释， 爱因斯坦考虑了一下， 风趣地说： “ 我打个比方， 比如你坐在火炉上烤和坐在公园柳荫下与女郎谈情说爱， 那么， 同样的时候你觉得哪个更长？ ” 学生回答： “ 当然觉得坐在火炉上的时间长” 爱因斯坦听罢哈哈大笑， 说： “ 这就是相对论 的内容” 这个故事形象地说明时间和空间的相对性 （ 湖南益阳） 观察下列算式： ； ； ； （ ） 请你按以上规律
7、写出第个算式； （ ） 把这个规律用含字母的式子表示出来 （ ） 你认为（） 式一定成立吗？并说明理由 （ 浙江舟山） 给出三个整式犪 ， 犫 和 犪 犫 （ ） 当犪 ，犫 时， 求犪 犫 犪 犫的值； （ ） 在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法 运算， 使所得的多项式能够因式分解请写出你所选的式 子及因式分解的过程 趋势总揽 对整式的运算及同底数幂乘法法则、 幂的乘方法则、 乘法公 式的运用的考查（ 包括因式分解） ， 年中考预计多数是以填 空题和选择题的形式出现 高分锦囊 了解整数指数幂的意义和基本性质； 了解整式的概念和 有关法则， 会进行简单的整式加、 减、 乘、 除运
8、算； 掌握平方差公 式和完全平方公式， 并了解其几何背景， 会进行简单的计算； 会 用提取公因式法、 公式法进行因式分解 对幂的运算的考查， 要熟练掌握幂的运算公式， 不要 搞混 因式分解的一般方法： 先提取公因式， 然后再考虑是否能 运用公式法 求代数式的值时， 要注意整体代换的思想 寻找规律， 找出各整式之间的特点是解题的关键， 有时将 分式与整式相混淆， 例如 狋 是代数式， 是分式， 但不是整式不是 单项式， 注意区别如果定义掌握不牢， 便会出现上述错误 常考点清单 一、整式的有关概念 整式的分类 整式 ， 如等； ， 如等 整式的概念 单项式与多项式整式 单项式 （ ） 单项式的有关
9、概念： 像狓， 犿 ， 犪 犫 犮， 狉 这样由的乘积组成的代 数式叫做单项式 （ ） 单项式的系数、 次数： 单项式的系数是指单项式中的， 单项式的次数是 指单项式中所有字母的 多项式的次数 多项式中的次数， 就是这个多项式的次数 同类项 所含字母相同， 且的指数也相同的项叫做同类项 二、幂的运算性质 犪 犿 犪 狀（ 犿，狀都是正整数） 犪 犿 犪 狀（ 犪 ，犿，狀都是正整数， 且犿狀） （犪 犿）狀（ 犿，狀都是正整数） （犪 犫） 狀（ 狀是正整数） 犪 （ 犪 ） 三、整式的四则运算 整式的加减 整式的加减的实质为合并同类项， 在合并同类项时， 将同类 项的相加作为结果的系数， 而
10、字母连同它的 不变 整式的乘除 （ ） 整式的乘法 ： ?（ ?） 法国大数学家柯西曾担任法国巴黎科学院的负责人挪威数学家阿贝尔写出了关于椭圆函数研究的十分出色的后来被 誉为具有划时代意义的论文 关于很广一类超越函数的一个一般性质 被送到了巴黎科学院但柯西嫌它太长又难懂， 就把 它搁置一旁了后来， 阿贝尔的主要研究成果在他的朋友创办的 纯粹数学和应用数学杂志 上得以发表比阿贝尔小两岁的 德国数学家雅可比读了阿贝尔的论文后， 十分赞叹雅可比得知阿贝尔的论文受到冷遇时， 非常气愤， 当即向巴黎科学院提 出了抗议 犪单项式与单项式相乘： 犪 犫 （ 犪 犫 犮） 犫单项式与多项式相乘：犿（犪犫犮）
11、犮多项式与多项式相乘： （犪犫） （犮犱） （ ） 整式的除法： 犪单项式与单项式相除： （ 狓 狔 ） （狓 狔） 犫多项式除以单项式： （ 犪 犪 犪）（犪） 四、乘法公式 平方差公式： （犪犫） （犪犫） 完全平方公式： （犪犫） 易混点剖析 单项式的次数： 一个单项式中， 所有字母的指数和叫做这 个单项式的次数； 单独一个数的次数是 多项式的次数： 一个多项式中， 次数最高的项的次数叫做这 个多项式的次数 （犪犫） 狀与（ 犫犪） 狀的关系： 当狀为奇数时， 两者互为相反数； 当狀为偶数时， 两者相等 （犪犫） 狀与犪狀 犫 狀当且仅当狀 时相等 易错题警示 【 例】 （ 江苏无锡）
12、计算： （狓 ） （狓 ） （狓 ） 【 解析】先算乘法， 再合并同类项即可本题最常见错误是 去括号时符号出错 【 答案】原式 狓 （ 狓 ） 狓 狓 【 例】 （ 山西） 先化简， 再求值： （ 狓 ） （狓 ） 狓（狓 ）（狓 ） ， 其中狓槡 【 解析】本题是整式的加减运算， 要灵活运用平方差公式 和完全平方公式， 本题最常见错误是公式记忆错误或不会运用 【 答案】原式 狓 狓 狓狓 狓 狓 当狓槡 时， 原式（槡 ） 一、选择题 （ 山东省德州一模） 下列运算正确的是（） （犪犫） （犪犫）犪 犫 （犪 ） 犪 犪 犪 犪 （ 犪 ） 犪 （ 浙江温州市泰顺模拟） 若实数狓，狔，狕满足
13、（狓狕） （狓狔） （狔狕） ， 则下列式子一定成立的是（） 狓狔狕 狓狔 狕 狔狕 狓 狕狓 狔 （ 年安徽宿州中考一模） 如果狓 狀 狔 犿 与狓犿狔 是同类 项， 则犿和狀的取值是（） 和 和 和 和 （ 安徽安庆长风初中模拟） 已知（狓 ） 狓狔犿 中，狔为负数， 则犿的取值范围是（） 犿 犿 犿 犿 （ 江西九校联考） 某商场 年销售利润为犪， 预计以 后每年比上一年增长犫， 那么 年该商场销售利润狔为 （） 犪（ 犫） 犪（ 犫） 犪犪犫犪犪 犫 二、填空题 （ 河南省鹤壁模拟） 给出个整式：狔 ， 狔 ， 狔狔 ， 任意选择两个整式进行加法运算 （ 上海青浦二模） 化简：犪 犪
14、（ 河南省信阳市二中模拟） 已知犪犫犿，犪 犫， 若 犪 犪 犫 犫 的值为 ， 则犿 （ 浙江杭州义蓬一中一模） 化简 犪 （） 犪 （ 河北模拟） 石家庄市在三年大变样城中村改造中， 计 划在如图所示的三角形地块上种植草皮以美化环境， 已知这 种草皮每平方米售价犪元， 则购买这种草皮至少需要 元 （ 第 题） （ 河南周口模拟） 若犪 犪， 则犪犪 三、解答题 （ 北京市延庆县一诊考试） 化简求值： 当狓 狓 时 ， 求（狓 ） 狓（狓 ） 狓 的值 （ 江苏昆山一模） 计算： 已知狓 ， 求代数式狓（ 狓 ） 狓（狓 狓）狓 的值 （ 福建永春模拟） 先化简， 再求值： （ 狓 ） （狓
15、 ）狓（ 狓） ， 其中狓槡 （ 广东南塘二模） 已知狓槡 槡 ，狔槡 槡 ， 求 狓 狓 狔 狔 的值 已知犪 狓 ，犫 狓 ，犮 狓 ， 那么犪 犫 犮 犪 犫犫 犮犪 犮的值是（） 下列说法中错误的是（） 狓 与 狓 狔 都是整式 多项式狓 的常数项是 单独一个数或一个字母是单项式 狓 狓 是二次三项式 下列多项式属于因式分解的是（） 狓 （ 狓 ） （狓 ） （狓 ） （狓 ） （狓 ） （狓 ） 犪 犫 犪 犫 （） 犪（） 犫 犪（） 犫 犪 犫 犪 狓犫 狓（犪犫） （犪犫）狓（犪犫） 试写出一个系数为 ， 含有犪 ， 犫，犮三个字母的五次单项 式： 分解因式： （ ）狓 狔 ；
16、 （ ）犪 犪 犫 犫 有一串单项式： 狓，狓 ， 狓 ， 狓 ， ， 狓 ， 狓 （ ） 写出第 个单项式； （ ） 写出第狀个， 第狀 个单项式 先化简： 犪 犫 犪 犪 犫 犪 犪 犫犫 （） 犪 ， 当犪， 犫时， 求代数 式的值 请先阅读下面的解题过程， 然后仿照做下面的题： 已知狓 狓 ， 求狓 狓 的值 解： 狓 狓 狓 狓 狓狓 狓 狓（狓 狓 ）狓 狓 如果 狓狓 狓， 求狓狓狓狓 狓 的值 整式 年考题探究 解析 （犪 ） 犪 犪 ，犪 与犪无法合并， 犪 犪 犪 解析犪犪 犪， 犪 犪犪 ， （ 犪 ）犪 解析 （犪 ）犪 犪 解析 （犪 犫） 犪 犫 解析 原式犪 犫（
17、犪 犪 ）犪 犫（犪 ） 解析犿 犿 （犿 ） 解析狓 （ 狓）狓 狓 除以狓商为， 余式为 狓 解析（狓 ） （ 狓）（狓 ） （ ）（狓 ） 狓 解析 （狓犪） 狓 犪 狓犪 狓 犫 狓， 得 犪 ， 犪犫 解得犪 ，犫 ， 所以犪犫 犪 解析犪犫无法合并； 犪 犪 犫犫 无法合并； 犪 犪犪 解析犪 犫 犪 犫犪 解析 （ 犪 ） 犪 犪 解析犪犪 犪； （ 犪 ）犪； 犪 （ 犪 ）犪 犪 解析 整式的幂的运算法则是常考的内容之一， 熟练 掌握这些法则是解题的关键 犿 狀 解析 （犿狀） 犿 狀（犿狀） 解析狓 狓犫（狓犪） 狓 犪 狓犪 ， 则 犪 ， 犫犪 ， 解得 犪 ， 犫 故
18、犫犪 犃 犅（ 狓狔） （ 狓狔） （ 狓狔狓狔） （狓 狔 狓狔） 狓 狔 狓 狔 （犪犫） 犫（ 犪犫）犪 犪 犫犫 犪 犫犫 犪 犫 （） ； （） 答案不唯一， 如： 狀（狀 ）（狀 ） ； （） 一定成立证明：狀（ 狀 ）（狀 ） 狀 狀狀 狀 （） 当犪 ，犫 时，犪 犫 犪 犫 （） 答案不唯一， 例如： 若选犪， 犫 ， 则犪犫（ 犪犫） （犪犫） ； 若选犪，犪 犫， 则犪 犪 犫犪（ 犪 犫） 年模拟提优 解析 （犪犫） （ 犪犫）犪 犪 犫犫 ， （ 犪 ） 犪 犪 ，犪 犪 犪 解析 原式狓 狓 狕狕 狓 狔 狓 狕 狔 狔 狕 （狓狕） 狔（狓狕） 狔 （狓狕） 狔
19、， 即狓狕 狔 解析 由同类项定义知 狀 犿，犿 解析 依题意知 狓 ， 狓狔犿 ， 得狓 狔 犿 当狔 时， 得犿 解析 第一年后即 年利润为犪（ 犫） ， 第二年 后即 年利润为犪（ 犫） 狔 （ 狔 ） 狔 解析 答案不唯一， 只要注意符 号不要出错即可 犪 解析 系数与系数相除， 同底数幂与同底数幂相除 或 解析 犪 犪 犫 犫 ， 犪 犪 犫 犫 犪 犫 ， （犪犫） ， （犿 ） ， （ 犿） ， 犿 或犿 ， 解得犿 或犿 犪 犪 解析 原式犪 犪 （犪 ） （犪 ）犪（犪 ） 犪 犪 犪 解析 由点犆向犅 犃延长线作垂线， 设垂足为点 犇， 则犆 犇 犃 犆 ， 犛犃 犅 犆
20、犃 犅 犆 犇 即至少需 犪元 解析犪 犪 ， 得 犪 犪 ， 犪 犪 ， 犪 犪 （ 犪 犪） （狓 ） 狓（ 狓 ） 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 ， 狓 狓 原式 狓 狓 原式化简后是狓 当狓 时， 原式 原式狓 狓狓 狓 当狓 槡 时， 原式 （槡 ）槡 原式狓 狓 狔 狔 （ 狓狔） 狓 狔 考情预测 解析犪 犫 犮 犪 犫犫 犮犪 犮 （犪 犫 犮 犪 犫 犪 犮 犫 犮） （ 犪犫） （ 犪犮） （ 犫犮） 由条件可知犪犫 ， 犪犮 ，犫犮 犪 犫 犮 犪 犫犫 犮犪 犮 应选 解析 单项式与多项式都是整式的范畴， 选项中 狓 属于分式， 所以错误 解析 把一个多项式分解成几个整式积的形式叫因式 分解， 只有选项符合定义 其中选项左、 右两边不等，选项不是整式范围内分解， 选项分解后， 仍可再提公因式（犪犫） 答案不唯一， 如： 犪 犫 犮， 犪 犫 犮等 （） 原式（狓 狔） （狓 狔） （） 原式（ 犪 ） 犪 犫 （ ） 犫 （ ） 犪 犫 （） 犪犫 （） 犪犫 （） （） 狓 （） （ ） 狀 狀 狓 狀， （ ） 狀 （ 狀 ）狓 狀 原式（ 犪犫） （犪犫） 犪（犪犫） 犪 （ 犪犫） 犪犫 当犪 ， 犫 时， 原式 狓狓 狓狓 狓 （狓狓 狓狓） （狓 狓狓狓） （狓 狓 狓 狓 ） 狓（ 狓狓 狓） 狓 （ 狓狓 狓） 狓 （ 狓狓狓）
