1、三角形全等的条件要点全析三角形全等的条件要点全析 1 1探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件 三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别 对应相等 反过来， 如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等 那 么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等 但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满 足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而 满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等 2 2三角形全等的条件一：“三角形全等的条件一：“SSSSSS”或“边边边”或“边边边” （1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等
2、，简写成“边边边”或“SSS” （2）书写格式：如图 13-2-1 在ABC和ABC中， CBBC CAAC BAAB ABCABC（SSS） （3）书写格式的步骤分三步： 第一步：指出在哪两个三角形中如上边的，在ABC和ABC中 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件如上边的 第三步；写出结论，如上边的，ABCABC（SSS） 【说明】第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“” ，也不能取 消 第二步中， 大括号内的三个条件的书写是有顺序的， 必须与判定条件一致， 并且注意边、角字母的对应一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一 个三角形的对应边、角写在右边 写结论时，注意对应顶点写在
3、对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的 简写，如“SSS”或“边边边” 例如 ： 如图 13-2-2已知ABAC，D为BC中点试说明BC是否成立， 为什么？ 解：解：BC成立D为BC中点， BDCD 在ABD和ACD中， ADAD CDBD ACAB ABDACD（SSS） BC（全等三角形的对应角相等） 【说明】【说明】在本例中使用了证明的格式 在本例中的最后两步中有两个“”符号，前一个“” ，是由前面大括 号内的三个条件得出的后一个“” ，是将前一个“”当成了“” ，然后推 出后一个“” ，这里省略了一步：ABDACD因此，今后在书写中要注 意 3 3三角形全等的条件二：“边角边”或“
4、三角形全等的条件二：“边角边”或“SASSAS” （1） SAS： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， 简记为 “SAS” （2）表达格式为在ABC和DEF中（图 13-2-3） EFBC DEFABC DEAB ABCDEF（SAS） 例如例如：如图 13-2-4 中，AD、BC相交于点OOAOD，OBOC，那么ABDC 是否成立 解：解：AD、BC相交于点O， AOBDOC（对顶角相等） 在AOB和DOC中， （已知） （已证）， （已知）， OCOB DOCAOB ODOA AOBDOC（SAS） ABDC 【说明【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹
5、角 放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹 角放在中间，再推出两个三角形全等 4 4三角形全等的条件三：“角边角”或“三角形全等的条件三：“角边角”或“ASAASA” （1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或 “ASA” （2）表达格式：如图 13-2-5，在ABC和DEF中， DEFB DEAB DA ABCDEF（AAS） 5 5三角形全等的条件四：“角角边”或“三角形全等的条件四：“角角边”或“AASAAS” （1） 有两角和一边对应相等的两个三角形全等， 简写成 “角角边” 或 “AAS” （2）表达格式，如图 13-2-5，在
6、ABC和DEF中， EFBC DA DEFB ABCDEF（AAS） 例如：例如：如图 13-2-6 中，ABCD，AEDF，ABCD求证：AEDF 证明：证明：ABCD， ABCDCB AEDF，AEBDFC 在ABE和DCF中， ， ， （已证）， DFAE DFCAEB DCFABC ABEDCF（AAS） AEDF 6 6直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HLHL” （1）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜 边、直角边”或“HL” （2）表达格式 ： 如图 13-2-7，在ABC中，ADBC于D，ABAC在
7、RtABD 和 RtACD中， ADAD ACAB RtABDRtACD（HL） （3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角 形全等的条件如两条直角边对应相等，可用“SAS” ，一边一锐角对应相等可用 “ASA”或“AAS” 它的特殊条件就是“斜边、直角边” 7 7 “角角角”与“边边角”“角角角”与“边边角” 在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的 SSS，两边一角的 SAS 和 一边两角的 ASA，AAS，那么“AAA”和“SSA”能否成为三角形全等的条件呢？ （1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图 13-2-8，DEBC， 则ADEB，AEDC，
8、AA，ADE与ABC有三角对应相等，但它 们没有重合，所以不全等 （2）如图 13-2-9，在ABC与ABD中，ABAB，ACAD，BB，但 ABC与ABD不完全重合，故不全等也就是有两边和其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全等 8 8证明的意义和步骤证明的意义和步骤 （1）证明的意义 证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正 确的过程，简单地说，证明就是推理过程 （2）证明的步骤 证明一个命题为正确的时候，其步骤如下： 弄清命题的条件和结论，画出图形 根据条件，结合图形，写出已知 根据结论，结合图形、写出求证 写出证明过程 证明一个命题不正确的时候，只需举出
9、一个反例即可 例如：例如：若a2b2，则ab这是一个错误命题，证明如下 证明：证明：（5）25225，而55 若a2b2，则ab，是一个错误命题 9 9证明题目时常用的三种方法证明题目时常用的三种方法 在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题， 如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种： （1）综合法 就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐 步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法” 例如例如：如图 13-2-10，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，分别 交AC、AB于点E、F 求证：BFDE 分析：分析：从已知条
10、件到推出结论，其探索过程如下 CBDFACDF CDBDBCD CDEBABDE BFDDEC（ASA） BFDE（目标） 以上这种由因导果的方法就是综合法 （2）分析法 就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来 寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已 知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法” 如上题，用分析法的探索过程如下： BFDEBFDDEC ACDFCBDF BCDCDBD ABDECDEB （3）分析综合法 在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需 要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发
11、，顺推几步，看可以 得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面 即： 已知中间条件结论 综合法分析法 例如例如：如图 13-2-11，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，E是AD上任一 点，连接EB、EC， 求证：EBEC 分析分析 ： 本题比较复杂， 可用上述的三个方法均可， 现在以分析一综合法为例， 说明分析过程 先用综合：由因导果 CDBDD ADAD ACAB ABDACD ， CDABDA CADBAD 再用分析：执果索因 EBECABEACE AEAE CAEBAE ACAB ABDACD 证明：证明：D是BC的中心，BDCD 在ABD和ACD中 ADAD C
12、DBD ACAB ABDACD（SSS） BADCAD 在ABE和ACE中 AEAE CAEBAE ACAB ABEACE（SAS） BECE（全等三角形的对应边相等） 【说明【说明】本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选BDECDE，方 法同上 本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路 1010判定两个三角形全等方法的选择判定两个三角形全等方法的选择 选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体已知条件而定，见下表： 已知条件 寻找条件 判定方法 一边 SAS 边一角对应相等 一角 SAS 或 AAS 两角对应相等 一边 ASA 或 AAS 一角 SAS 两边对应相等 一边 S
13、SS 1111如何选择三角形判定全等如何选择三角形判定全等 在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题， 而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等如何选择三角形呢？可考虑以下 四个方面： （1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的 全等三角形中，就试着判定两个三角形全等 （2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就 判定它们全等 （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判 定它们全等 （4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等 例如：例如：如图 13-2-12，已知ABAC，BD
14、CD，试判断B与C的关系，并 说明理由 分析：分析：要判断B与C的关系，先看B与C是否在两个全等三角形中， 而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC， 要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？ 若连接AD，则B、C分在左、右两个三角形中，若全等，则BC， 事实上，BC，若连接BC，则B、C分在上、下两个三角形中，根据目 前所学知识还不能确定BC因此，连接AD较为合适 解：解：BC 连接AD， 在ABD和ACD中， ABAC，BDCD，ADAD（公共边） ， ABDACD（SSS） BC 1212探索三角形全等时常作的辅助线探索三角形全等时常作的辅助线
15、 在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题 目本身或图形中挖掘它的隐含条件， 还有的需加上一些辅助线， 为解题铺路搭桥， 起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种： （1）连接图形中的已知点，构造全等形 例如 ： 如图 13-2-13，已知AC、BD相交于O点，且ABCD，ACBD，判断 A与D的关系，并说明理由 解：解：AD连接BC， 在ABC与DCB中， ABDC，ACDB，BCCB， 则ABCDCB（SSS） 因此AD （2）取线段中点构造全等三角形 例如例如 ： 如图 13-2-14，已知在梯形ABCD中，ABDC，AD，试判断ABC 与DCB的关系，并
16、说明理由 解：解：ABCDCB 取AD的中点N，取月C的中点M 连接MN、BN、CN，则ANDN，BMCM，在ABN和DCN中， DCAB DA DNAN ABNDCN， 则ABNDCN，NBNC（全等三角形的对应角、对应边相等） 在BMN和CMN中， MNMN CMBM CNBN BMNCMN， 则MBNMCN（全等三角形的对应角相等） 那么ABNMBNDCNMCN 即ABCDCB 【说明】【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件 （3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形 如图 13-2-15，OC平分AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM
17、 ON，连接PM、PN，那么，PMPN 事实上，在MOP和NOP中， OMON，MOPNOP，OPOP， 则MOPNOP（SSS） 因此有PMPN （4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形 如图 13-2-16，在ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至 E，使AD DE，连接BE，在ACD和EBD中，BDCD，12，ADED，则ACD EBD，因此BEAC 1313利用全等三角形解决实际问题的步骤利用全等三角形解决实际问题的步骤 全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时 可分以下几个步骤： （1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决
18、（2）根据实际问题画出图形 （3）结合图形写出已知和结论 （4）分析已知，找出解决问题的途径 （5）写出解决问题的过程（或探索过程） 例如例如：如图 13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂 线BF上取两点C、D使CDBC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直 线上，这时测得DE的长就是AB的长你能用数学原理说明吗？ 分析：分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答 解：解：已知：ABBF，DEBF，A、C、E三点在一条直线上，BCDC 判断AB与DE是否相等？ 在ABC和DEC中，由于ABBF，DEBF，则ABCEDC90，又A、 C、E三点在一条直线上，则ACBECD（对顶角） 又BCCD，则ABCEDC（ASA） ，因此ABDE
