1、第十一章 线性系统的状态变量分析法11-1 引 言一、 系统的描述方法系统数学模型表示方法可以分为两类：1、 输入输出方程法（IO）法：描述系统输入、输出之间的关系。其结果往往是单变量（高阶）微分或差分方程。例如：其中只有一个方程，但这是一个高阶的方程；其中只含有一个位置的函数或者离散系统的例子： 系统按其输入和输出情况，可以分为以下两类：1） 单输入单输出系统（SISO）2） 多输入多输出系统（MIMO）本课程前面各章的描述，多集中于SISO系统。但是如果是MIMO系统，描述就比较复杂了。例如，一个3阶2输入2输出的系统，就可能要用两个3阶微分（或者差分）方程描述：例如：l 如何求解MIMO
2、系统响应？ 用IO法描述系统，比较简单、直观，方程求解简单； 但是无法了解系统内部状态， 在求解MIMO系统时不方便。2、 状态变量描述法：将系统用状态方程（多个一阶微分或差分构成的方程组）和输出方程描述。 这种方法的优点是：1） 可以了解系统内部各个部分的情况；2） 有利于MIMO系统分析；3） 方程的构成和求解比较规则，有利于计算机辅助分析；4） 可以得到系统的更多的特性，例如可观测性和可控制性等。5） 可以推广到非线性系统。6） 可以用于求解方程的数值解。 这种方法一般适合于大型复杂系统的分析，适合于用计算机求解。对于一般简单的SISO系统分析，有时反而显得比较麻烦。 状态变量方法在自动
3、控制、检测、滤波等多个场合都有很重要的作用。本章中重点介绍系统的状态变量描述法。这里侧重介绍连续时间系统的状态变量描述方法，对于离散时间系统的状态变量描述方法也可以以此类推。11-2 系统的状态变量描述法一、 状态变量与状态方程1、 状态变量状态变量：描述系统在某时刻的内部状态所必须的一组最少的物理量（或函数）称为系统的状态变量。利用这些状态和激励信号在某指定时刻的值以及系统模型可以唯一地确定系统中其它的物理量或函数在该时刻的值。 何谓“描述系统在某时刻的内部状态所必须的一组最少的物理量”？这里是指用状态变量描述法描述系统所必须的物理量，更加具体地说，就是能够建立状态方程和输出方程所需要的物理
4、量。 “确定系统中其它的物理量或函数在该时刻的值。”,这里的“其它物理量”指那些物理量？一般只要包含我们关心的输出物理量就可以了。 状态变量不一定直接是我们关心的输出物理量 状态变量的个数等于系统的阶数。 系统的状态一般和系统的储能有关。例如，电系统中的状态一般是电容上的电压和电感上的电流。2、 状态方程定义：由系统的状态变量、激励和系统参数构成的、决定系统状态随时间（或空间等其他变量）变化规律的一组一阶微分（或差分）方程组。例：在外力作用下一维运动物体的状态方程描述问题。假设物体的质量为，在时刻的位置为，所受的外力为。1）其IO形式的运动方程为：这是一个二阶微分方程。2）状态变量描述状态变量
5、：这里选定两个状态变量：，这里为了表示状态变量方便，省略了。由此可以得到系统的状态方程： 状态方程是一个一阶微分（或差分）方程组。 状态方程的基本要求：1） 每个方程左边是某个状态变量的一阶微分；必须针对每个状态变量的一阶微分列出方程有几个状态变量就应该有几个方程；或：状态方程的个数应该等于系统的阶数。2） 每个方程的右边，只能包含：（1）已知的激励信号（2）状态变量，3） 方程的右边只应该含有有基本函数计算（加减乘除平方开方三角函数等等），不允许有微积分运算（特别对于状态变量而言）。状态方程的基本形式：如果是线性系统，则状态变量的一般表达式为：其中为状态变量;为激励信号;显然,这是一个m输入
6、n阶的MIMO系统。3、 状态矢量状态方程可以通过矩阵表示成为一个简单的形式。l 线性系统状态方程可以用矩阵方程表示为：例如，上面的一维物体运动方程：可以表示为：l 可以用状态变量构成一个随时间变化的向量，称为状态矢量。 定义符号： 状态矢量一阶微分定义激励矢量：则可以将状态方程简单记为：定义参数矩阵：则状态方程又可以记为：l 状态矢量在某个时刻的取值可以用一个多维空间的点表示，这个构成的多维空间被称为状态空间或相空间。l 随着时间的变换，状态矢量在状态空间中的位置也会随之移动变换，由此产生的轨迹称之为状态空间轨迹或者相空间轨迹。二、 输出变量与输出方程1、 输出变量 系统输出的（或者我们具体
7、关心的）物理量称为系统的输出变量。2、 输出方程：描述系统的输出与状态变量、激励之间关系的一组方程。通过它，可以由系统某时刻的状态变量和激励信号的值，计算出系统输出的物理量或函数的值。例如：上面提到的一维运动物体轨迹问题，我们实际需要的（或者直接观测到的）是物体的轨迹，其输出变量即为物体的位置，所以其输出方程为： 如果系统的输出有多个，则其输出方程也有多个。 输出方程的基本要求：1） 每个方程左边是某个输出变量；每个输出变量都应该有一个输出方程。2） 每个方程的右边，只能包含：（1）已知的激励信号（2）状态变量，3） 方程的右边只应该含有有基本函数计算（加减乘除平方开方三角函数等等），不允许有
8、微积分运算（特别对于状态变量而言）。输出方程的基本形式：如果是线性系统，则状态变量的一般表达式为：3、 输出矢量输出方程也可以通过矩阵表示成为一个简单的形式。l 线性系统输出方程可以用矩阵方程表示为：例如，上面的一维运动物体的输出方程：可以表示为：l 定义输出矢量： 参数矩阵：则输出方程又可以记为： 三、 系统的状态变量描述状态方程和输出方程构成了系统状态变量描述法。状态方程：输出方程： 只要能够构成这样的方程，就可以用状态变量法求解系统响应。 只要知道了A、B、C、D矩阵，就可以描述系统。这种表示方法对于计算机而言特别有效。 如果建立系统的状态方程是一个非常重要的问题。下面两节将就这个问题进
9、行详细讨论。11-3 由IO方程求状态方程状态方程的建立一般分为三个步骤：1、 确定状态变量；2、 建立状态方程；3、 建立输出方程。如果已经有了系统IO方程（微分方程），如何列出状态方程？方法很多，这里介绍两种。一、 直接模拟法例：状态方程形式1：设状态变量： ，则可以得到状态方程：输出方程：其中出现了激励的导数，使用时不太方便。状态方程形式2：首先引入中间变量，将微分方程变为：设状态变量：，这种状态变量称为相变量。则可以得到状态方程：输出方程：或：用矩阵方式：其中：，观察原方程：可见，ABCD矩阵与原微分方程系数的对应关系一目了然，可以推广到任意微分方程。在微分方程转移算子分子的次数m小于
10、分母的次数n的条件下，根据微分方程可以直接写出状态方程。l 如果上面等式中，m=n，则。输出方程为：其中有的一阶导数项，不合要求。这时候可以用状态方程中有关的一阶导数的方程带入，可以消去的一阶导数项，得到满足要求的输出方程。例：l 如果mn，情况怎样？ 二、 并联模拟法复杂系统可以通过部分分式分解，转化为多个简单系统的并联。如上例：对于每个简单的一阶系统，有：不妨将每个一阶微分方程的输出y(t)直接看成状态变量，可以得到：状态方程：或：输出方程为：或：更一般地，有：状态方程：输出方程：其它情况可以依此类推。因为A矩阵是对角线矩阵，所以这种状态变量称为对角线变量。三、 状态变量的多样性从上面可以
11、看到，状态变量在同一个系统中可以有不同的选取方法，可以得到不同的状态方程。可以证明：只要存在，状态变量的线性组合一定可以作为另一组状态变量。四、 状态方程的模拟框图如果引入矩阵加法器、矩阵乘法器、向量积分器，就可以构造一阶系统模拟框图。五、 离散时间系统的状态方程通过与连续时间系统相似的方法，可以得到离散时间系统的状态方程。它同样也有直接模拟、并联模拟等多种模拟方法。其基本形式为：状态方程：输出方程：11-4 电系统状态方程本节讨论如何从电原理图建立状态方程。对于电系统，理论上讲可以用下面的方法得到状态方程：电系统IO方程状态方程但是，这时候的状态变量物理含义模糊。所以，不常使用，而是直接KC
12、L或KVL定理得到状态变量描述。一、 状态变量的选取 状态变量应该在电系统的物理量（电压、电流）中选取； 在状态方程中会出现状态变量的导数，所以状态变量的导数最好也是一个物理量，这样可以方便状态方程的建立。电感L和互感M上的电流、和电容C上的电压可以满足这个要求，是可以选取的对象。 每个状态变量同时也必须是相互独立的，不可以用其它状态变量求出；不独立的、和的情况主要有：串联电感、并联电容、纯电感节点、纯电容回路。所以电系统的状态变量的选取法则是：取电路中全部独立的、和。电系统状态变量的个数（系统的阶数）等于其独立的电感、互感和电容数目之和。二、 建立状态方程1、 从电路列状态方程的方法：方法：
13、找出每个含有、和的一阶导数的方程（组）。1） 电感或互感:列含有电感或互感的回路KVL；2） 电容:列含有电容的节点KCL；3） 整理方程，使其满足状态方程的标准形式：a、 每一个方程中只能在右边含有一个状态变量的导数。如果多了，必须设法消去；b、 每个方程中只能含有状态变量和激励，不能含有非状态变量。如果有，也必须设法消去；例：解：1）选取状态变量，这里选取电感电流和电容电压作为状态变量，如图所示。2）列写状态方程：根据含有电感的第二个回路的回路方程，并代入元件参数，则有 根据含有电容的节点P的节点方程，则有 上两式中和不是状态变量，在状态方程中不应该出现，所以要把它们表为状态变量。由第一个
14、回路有 ， 即 由第三个回路有 ， 即 把和分别代入原来两式，并经整理，最后得所求状态方程为或记成矩阵形式三、 建立输出方程：1、 用含有状态变量和激励的方程计算出其它的非状态变量。例如：上题中假设输出为最右边电阻上的电压，则可以得到：例题 写出图示滤波电路它的状态方程。解：1、 确定状态变量。如图。2、 列状态方程：1）列节点或回路方程：回路的回路方程：节点P的节点方程：节点Q的节点方程：2）消去非状态变量后两个方程中含有非状态变量,必须设法消去。把这些关系代入并整理，得3）消去多余的状态变量导数在上面两个等式中都出现了多个状态变量导数，可以通过消元计算消去多余的。其中。这两个等式连同关于的
15、状态方程构成了完整的状态方程：解本题必须注意三点 三个电容电压中只有两个为独立的，所以只能选用其中之二。 为消去写方程时出现的非独立储能元件的电压或电流，就要利用它们和状态变量间的关系 如果等式中出现多个状态变量的导数，可以通过消元计算将其消去。11-5 连续时间系统状态方程的复频域解法对连续时间系统状态方程的求解过程可以分为以下两步：1、 求得状态变量的解；2、 根据状态变量的解和输出方程，求得输出变量的解。连续时间系统状态方程也可以通过对等式两边取LT，用复频域方法求解。一、 矢量（或矩阵）的和矢量（或矩阵）的和，定义为对矢量（或矩阵）的各个元素分别求和。例如：二、 状态变量的求解对状态方
16、程两边同时取LT，求解状态方程：状态方程：从上式，可以看出：对求，就可以得到。例题115 设一系统的状态方程和输出方程为 系统的初始状态为，输入激励为一单位阶跃函数。1) 试求此系统的输出响应。2) 求出此系统的传输函数、状态转移矩阵和状态转移方程。解：将系统的状态方程和输出方程都写成矩阵形式由此二矩阵方程可知，除为零外，其余、矩阵分别为 系统的初始状态为 首先求解系统的响应。先求矩阵通过初等变换法，可以得到 由式(1135)的第二项求系统响应的零状态分量变换式 将以上零输入和零状态两分量进行反变换后相加，即得系统的全响应，即由此得到全响应求解系统的求出此系统的转移函数矩阵、状态过渡矩阵和状态
17、转移方程。根据式（1138），可以得到系统传输矩阵为：因为这个系统是单输入输出系统，所以转移函数矩阵中只有一个元素。由式(1145)，可以得到该系统的状态过渡矩阵为把上面解得的矩阵的每一元素取反变换，得到而状态转移方程为 六、 输出变量的求解：对求，就可以得到。从上式，可以看出：七、 转移函数矩阵与自然频率1、系统的转移函数矩阵系统的零状态响应可以记为： 其中：称为转移函数矩阵。其中的第i行第j列元素表示第j个激励信号对第i个响应的作用。2、 系统的自然频率在IO法中，系统的自然频率是系统转移函数特征方程的根，或者是系统转移函数的极点。在状态变量法中，系统的自然频率是系统转移函数矩阵的极点，也
18、就是使的元素为的s平面上的点。的极点仅与有关，而：当时，的元素为使的s就是的极点矩阵的特征值就是的极点矩阵的特征值就是系统的自然频率。3、 系统的稳定性系统稳定系统所有的极点都处于s平面的坐半平面系统的各个物理量（状态变量和非状态变量）都有限系统一定稳定。l 如果矩阵的特征值的实部不全小于零系统状态变量一定不稳定，。但是其他物理量未必不稳定。这时候：从IO方程上看，系统似乎是稳定的；但是，系统内部有不稳定的因素，实际上是不稳定的。 所以，仅仅从IO方程判断系统是否稳定是不够的，应该全面考虑系统中的所有物理量。只有在矩阵的特征值的实部全部小于零的时候，状态变量稳定，系统才稳定。l 如前所诉，系统的状态方程存在多样性，同一个系统可以有不同的状态方程，相应的矩阵也各不相同。但是，所有这些不同的状态方程将有一样的特征根。 八、 零状态响应与状态过渡矩阵 其中，称为状态过渡矩阵或基本矩阵。它在状态方程中有很重要的意义。
