1、 第 1 页（共 26 页） 2020 年河北省中考数学试卷年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小题，共个小题，共 42 分分110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分在分在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分） （2020河北）如图，在平面内作已知直线 m 的垂线，可作垂线的条数有（ ） A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 2 （3 分） （2020河北）墨迹覆盖了等式“x3xx2（x0） ”中的运算符号，则覆盖 的是（ ） A+ B C D 3 （3
2、 分） （2020河北）对于x3xyx（13y） ，（x+3） （x1）x2+2x3，从左 到右的变形，表述正确的是（ ） A都是因式分解 B都是乘法运算 C是因式分解，是乘法运算 D是乘法运算，是因式分解 4 （3 分） （2020河北）如图的两个几何体分别由 7 个和 6 个相同的小正方体搭成，比较两 个几何体的三视图，正确的是（ ） A仅主视图不同 B仅俯视图不同 C仅左视图不同 D主视图、左视图和俯视图都相同 5 （3 分） （2020河北）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价 是 a 元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则 a（ ） 第 2 页（共 2
3、6 页） A9 B8 C7 D6 6 （3 分） （2020河北）如图 1，已知ABC，用尺规作它的角平分线 如图 2，步骤如下， 第一步：以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BA，BC 于点 D，E； 第二步：分别以 D，E 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧在ABC 内部交于点 P； 第三步：画射线 BP射线 BP 即为所求 下列正确的是（ ） Aa，b 均无限制 Ba0，b 1 2DE 的长 Ca 有最小限制，b 无限制 Da0，b 1 2DE 的长 7 （3 分） （2020河北）若 ab，则下列分式化简正确的是（ ） A:2 :2 = B;2 ;2 = C 2 2 = D
4、1 2 1 2 = 8 （3 分） （2020河北）在如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似 图形是（ ） A四边形 NPMQ B四边形 NPMR C四边形 NHMQ D四边形 NHMR 第 3 页（共 26 页） 9 （3 分） （2020河北）若(9 2;1)(112;1) =81012，则 k（ ） A12 B10 C8 D6 10 （3 分） （2020河北）如图，将ABC 绕边 AC 的中点 O 顺时针旋转 180嘉淇发现， 旋 转 后 的 CDA与 ABC构 成 平 行 四 边 形 ， 并 推 理 如 下 ： 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“CBA
5、D， ”和“四边形”之间作补 充，下列正确的是 （ ） A嘉淇推理严谨，不必补充 B应补充：且 ABCD C应补充：且 ABCD D应补充：且 OAOC 11 （2 分） （2020河北）若 k 为正整数，则( + + + ) 个 =（ ） Ak2k Bk2k+1 C2kk Dk2+k 12 （2 分） （2020河北）如图，从笔直的公路 l 旁一点 P 出发，向西走 6km 到达 l；从 P 出 发向北走 6km 也到达 l下列说法错误的是（ ） A从点 P 向北偏西 45走 3km 到达 l B公路 l 的走向是南偏西 45 第 4 页（共 26 页） C公路 l 的走向是北偏东 45 D
6、从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l 13 （2 分） （2020河北）已知光速为 300000 千米/秒，光经过 t 秒（1t10）传播的距离 用科学记数法表示为 a10n千米，则 n 可能为（ ） A5 B6 C5 或 6 D5 或 6 或 7 14 （2 分） （2020河北）有一题目： “已知：点 O 为ABC 的外心，BOC130，求 A ”嘉嘉的解答为：画ABC 以及它的外接圆 O，连接 OB，OC如图，由BOC2 A130，得A65而淇淇说： “嘉嘉考虑的不周全，A 还应有另一个不同的 值 ”下列判断正确的是（ ） A淇淇说的对，且A 的另一个值是 115 B
7、淇淇说的不对，A 就得 65 C嘉嘉求的结果不对，A 应得 50 D两人都不对，A 应有 3 个不同值 15 （2 分） （2020河北）如图，现要在抛物线 yx（4x）上找点 P（a，b） ，针对 b 的不 同取值，所找点 P 的个数，三人的说法如下， 甲：若 b5，则点 P 的个数为 0； 乙：若 b4，则点 P 的个数为 1； 丙：若 b3，则点 P 的个数为 1 下列判断正确的是（ ） A乙错，丙对 B甲和乙都错 C乙对，丙错 D甲错，丙对 第 5 页（共 26 页） 16 （2 分） （2020河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯” 图案现有五种正方形纸片，
8、面积分别是 1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取） 按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片 的面积分别是（ ） A1，4，5 B2，3，5 C3，4，5 D2，2，4 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 3 个小题，共个小题，共 12 分分1718 小题各小题各 3 分；分；19 小题有小题有 3 个空，每空个空，每空 2 分）分） 17 （3 分） （2020河北）已知：18 2 =a2 2 =b2，则 ab 18 （3 分） （2020河北） 正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍， 则 n 19 （6 分） （2020河北）
9、如图是 8 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个 台阶凸出的角的顶点记作 Tm（m 为 18 的整数） 函数 y= （x0）的图象为曲线 L （1）若 L 过点 T1，则 k ； （2）若 L 过点 T4，则它必定还过另一点 Tm，则 m ； （3）若曲线 L 使得 T1T8这些点分布在它的两侧，每侧各 4 个点，则 k 的整数值有 个 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20 （8 分） （2020河北）已知两个有理数：9 和 5 第 6 页（共 2
10、6 页） （1）计算：(;9):5 2 ； （2）若再添一个负整数 m，且9，5 与 m 这三个数的平均数仍小于 m，求 m 的值 21 （8 分） （2020河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A 区就会自动加上 a2，同 时 B 区就会自动减去 3a，且均显示化简后的结果已知 A，B 两区初始显示的分别是 25 和16，如图 如，第一次按键后，A，B 两区分别显示： （1）从初始状态按 2 次后，分别求 A，B 两区显示的结果； （2）从初始状态按 4 次后，计算 A，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说 明理由 22 （9 分） （2020河北）如图，点 O 为 AB 中
11、点，分别延长 OA 到点 C，OB 到点 D，使 OC OD以点 O 为圆心，分别以 OA，OC 为半径在 CD 上方作两个半圆点 P 为小半圆 上任一点（不与点 A，B 重合） ，连接 OP 并延长交大半圆于点 E，连接 AE，CP （1）求证：AOEPOC； 写出l，2 和C 三者间的数量关系，并说明理由 （2）若 OC2OA2，当C 最大时，直接指出 CP 与小半圆的位置关系，并求此时 S 扇形EOD（答案保留 ） 23 （9 分） （2020河北）用承重指数 w 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量实验室 有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板， 实验发现： 木板承重指数 W 与木板厚度
12、 x （厘 米）的平方成正比，当 x3 时，W3 第 7 页（共 26 页） （1）求 W 与 x 的函数关系式 （2）如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块 板（不计分割损耗） 设薄板的厚度为 x（厘米） ，QW厚W薄 求 Q 与 x 的函数关系式； x 为何值时，Q 是 W薄的 3 倍？注： （1）及（2）中的不必写 x 的取值范围 24 （10 分） （2020河北）表格中的两组对应值满足一次函数 ykx+b，现画出了它的图象 为直线 l，如图而某同学为观察 k，b 对图象的影响，将上面函数中的 k 与 b 交换位置 后得另一个一次函数，设其图象为直
13、线 l x 1 0 y 2 1 （1）求直线 l 的解析式； （2） 请在图上画出直线 l （不要求列表计算） ， 并求直线 l被直线 l 和 y 轴所截线段的长； （3）设直线 ya 与直线 l，l及 y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称， 直接写出 a 的值 第 8 页（共 26 页） 25 （10 分） （2020河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴3 和 5 的位置上，沿 数轴做移动游戏每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正 是反，而后根据所猜结果进行移动 若都对或都错，则甲向东移动 1 个单位，同时乙向西移动 1 个单位； 若甲对乙错，则甲向东
14、移动 4 个单位，同时乙向东移动 2 个单位； 若甲错乙对，则甲向西移动 2 个单位，同时乙向西移动 4 个单位 （1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 P； （2）从如图的位置开始，若完成了 10 次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对 一错设乙猜对 n 次，且他最终停留的位置对应的数为 m，试用含 n 的代数式表示 m， 并求该位置距离原点 O 最近时 n 的值； （3）从如图的位置开始，若进行了 k 次移动游戏后，甲与乙的位置相距 2 个单位，直接 写出 k 的值 26 （12 分） （2020河北）如图 1 和图 2，在ABC 中，ABAC，BC8，tanC= 3
15、 4点 K 在 AC 边上，点 M，N 分别在 AB，BC 上，且 AMCN2点 P 从点 M 出发沿折线 MB BN 匀速移动，到达点 N 时停止；而点 Q 在 AC 边上随 P 移动，且始终保持APQ B （1）当点 P 在 BC 上时，求点 P 与点 A 的最短距离； （2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5 两部分时，求 MP 的长； （3）设点 P 移动的路程为 x，当 0 x3 及 3x9 时，分别求点 P 到直线 AC 的距离 （用含 x 的式子表示） ； （4）在点 P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ 扫描APQ 区域（含边界） ，扫描器 随
16、点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒若 AK= 9 4，请直接写出点 K 被扫描到的总时长 第 9 页（共 26 页） 2020 年河北省中考数学试卷年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小题，共个小题，共 42 分分110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分在分在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分） （2020河北）如图，在平面内作已知直线 m 的垂线，可作垂线的条数有（ ） A0 条 B1 条 C2 条
17、 D无数条 【解答】解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条， 所以作已知直线的垂线，可作无数条 故选：D 2 （3 分） （2020河北）墨迹覆盖了等式“x3xx2（x0） ”中的运算符号，则覆盖 的是（ ） A+ B C D 【解答】解：x3xx2（x0） ， 覆盖的是： 故选：D 3 （3 分） （2020河北）对于x3xyx（13y） ，（x+3） （x1）x2+2x3，从左 到右的变形，表述正确的是（ ） A都是因式分解 B都是乘法运算 C是因式分解，是乘法运算 D是乘法运算，是因式分解 【解答】解：x3xyx（13y） ，从左到右的变形是因式分解； （x+3） （x1）x2+2x
18、3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以是因式分解，是乘法运算 故选：C 4 （3 分） （2020河北）如图的两个几何体分别由 7 个和 6 个相同的小正方体搭成，比较两 个几何体的三视图，正确的是（ ） 第 10 页（共 26 页） A仅主视图不同 B仅俯视图不同 C仅左视图不同 D主视图、左视图和俯视图都相同 【解答】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图 相同； 从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同； 从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同 故选：D 5 （3 分） （2020河北）
19、如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价 是 a 元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则 a（ ） A9 B8 C7 D6 【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是 8， 第四次又买的苹果单价是 a 元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数， a8， 故选：B 6 （3 分） （2020河北）如图 1，已知ABC，用尺规作它的角平分线 如图 2，步骤如下， 第一步：以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BA，BC 于点 D，E； 第二步：分别以 D，E 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧在ABC 内部交于点 P； 第三步：画射线 BP射线 BP 即为所求
20、下列正确的是（ ） 第 11 页（共 26 页） Aa，b 均无限制 Ba0，b 1 2DE 的长 Ca 有最小限制，b 无限制 Da0，b 1 2DE 的长 【解答】解：以 B 为圆心画弧时，半径 a 必须大于 0，分别以 D，E 为圆心，以 b 为半径 画弧时，b 必须大于1 2DE，否则没有交点， 故选：B 7 （3 分） （2020河北）若 ab，则下列分式化简正确的是（ ） A:2 :2 = B;2 ;2 = C 2 2 = D 1 2 1 2 = 【解答】解：ab， :2 :2 ，故选项 A 错误； ;2 ;2 ，故选项 B 错误； 2 2 ，故选项 C 错误； 1 2 1 2 =
21、 ，故选项 D 正确； 故选：D 8 （3 分） （2020河北）在如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似 图形是（ ） A四边形 NPMQ B四边形 NPMR C四边形 NHMQ D四边形 NHMR 第 12 页（共 26 页） 【解答】解：以点 O 为位似中心， 点 C 对应点 M， 设网格中每个小方格的边长为 1， 则 OC= 22+ 12= 5，OM= 42+ 22=25，OD= 2，OB= 32+ 12= 10， OA= 32+ 22= 13，OR= 22+ 12= 5，OQ22，OP= 62+ 22=210， OH= 62+ 32=35，ON= 62+ 4
22、2=213， = 25 5 =2， 点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N， 以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ， 故选：A 9 （3 分） （2020河北）若(9 2;1)(112;1) =81012，则 k（ ） A12 B10 C8 D6 【解答】解：方程两边都乘以 k，得 （921） （1121）81012k， （9+1） （91） （11+1） （111）81012k， 8012081012k， k10 经检验 k10 是原方程的解 故选：B 10 （3 分） （2020河北）如图，将ABC 绕边 AC 的中点 O 顺时针旋转 1
23、80嘉淇发现， 旋 转 后 的 CDA与 ABC构 成 平 行 四 边 形 ， 并 推 理 如 下 ： 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“CBAD， ”和“四边形”之间作补 充，下列正确的是 （ ） 第 13 页（共 26 页） A嘉淇推理严谨，不必补充 B应补充：且 ABCD C应补充：且 ABCD D应补充：且 OAOC 【解答】解：CBAD，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， 故选：B 11 （2 分） （2020河北）若 k 为正整数，则( + + + ) 个 =（ ） Ak2k Bk2k+1 C2kk Dk2+k 【解答】解：( + + + ) 个 =（ （kk）k（
24、k2）kk2k， 故选：A 12 （2 分） （2020河北）如图，从笔直的公路 l 旁一点 P 出发，向西走 6km 到达 l；从 P 出 发向北走 6km 也到达 l下列说法错误的是（ ） A从点 P 向北偏西 45走 3km 到达 l B公路 l 的走向是南偏西 45 C公路 l 的走向是北偏东 45 D从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l 【解答】解：如图， 由题意可得PAB 是腰长 6km 的等腰直角三角形， 则 AB62km， 第 14 页（共 26 页） 则 PC32km， 则从点 P 向北偏西 45走 32km 到达 l，选项 A 错误； 则公路 l 的走向
25、是南偏西 45或北偏东 45，选项 B，C 正确； 则从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l，选项 D 正确 故选：A 13 （2 分） （2020河北）已知光速为 300000 千米/秒，光经过 t 秒（1t10）传播的距离 用科学记数法表示为 a10n千米，则 n 可能为（ ） A5 B6 C5 或 6 D5 或 6 或 7 【解答】 解： 当 t1 时， 光传播的距离为 13000003000003105（千米） ， 则 n5； 当 t10 时，光传播的距离为 1030000030000003106（千米） ，则 n6 因为 1 t10，所以 n 可能为 5 或 6，
26、故选：C 14 （2 分） （2020河北）有一题目： “已知：点 O 为ABC 的外心，BOC130，求 A ”嘉嘉的解答为：画ABC 以及它的外接圆 O，连接 OB，OC如图，由BOC2 A130，得A65而淇淇说： “嘉嘉考虑的不周全，A 还应有另一个不同的 值 ”下列判断正确的是（ ） A淇淇说的对，且A 的另一个值是 115 B淇淇说的不对，A 就得 65 C嘉嘉求的结果不对，A 应得 50 D两人都不对，A 应有 3 个不同值 【解答】解：如图所示：A 还应有另一个不同的值A与A 互补 故A18065115 第 15 页（共 26 页） 故选：A 15 （2 分） （2020河北）
27、如图，现要在抛物线 yx（4x）上找点 P（a，b） ，针对 b 的不 同取值，所找点 P 的个数，三人的说法如下， 甲：若 b5，则点 P 的个数为 0； 乙：若 b4，则点 P 的个数为 1； 丙：若 b3，则点 P 的个数为 1 下列判断正确的是（ ） A乙错，丙对 B甲和乙都错 C乙对，丙错 D甲错，丙对 【解答】解：yx（4x）x2+4x（x2）2+4， 抛物线的顶点坐标为（2，4） ， 在抛物线上的点 P 的纵坐标最大为 4， 甲、乙的说法正确； 若 b3，则抛物线上纵坐标为 3 的点有 2 个， 丙的说法不正确； 故选：C 16 （2 分） （2020河北）如图是用三块正方形纸片
28、以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯” 图案现有五种正方形纸片，面积分别是 1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取） 按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片 的面积分别是（ ） 第 16 页（共 26 页） A1，4，5 B2，3，5 C3，4，5 D2，2，4 【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是 1，4，5 时，围成的直角三角形的面积是 14 2 = 4 2 ， 当选取的三块纸片的面积分别是 2，3，5 时，围成的直角三角形的面积是23 2 = 6 2 ； 当选取的三块纸片的面积分别是 3，4，5 时，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块
29、纸片的面积分别是 2，2，4 时，围成的直角三角形的面积是22 2 = 4 2 ， 6 2 4 2 ， 所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是 2，3，5， 故选：B 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 3 个小题，共个小题，共 12 分分1718 小题各小题各 3 分；分；19 小题有小题有 3 个空，每空个空，每空 2 分）分） 17 （3 分） （2020河北）已知：18 2 =a2 2 =b2，则 ab 6 【解答】解：原式32 2 =a2 2 =b2， 故 a3，b2， 则 ab6 故答案为：6 18 （3 分） （2020河北）正六边形的一个内角是
30、正 n 边形一个外角的 4 倍，则 n 12 【解答】解：正六边形的一个内角为：(6;2)180 6 = 120， 正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍， 正 n 边形一个外角为：120430， n3603012 故答案为：12 第 17 页（共 26 页） 19 （6 分） （2020河北）如图是 8 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个 台阶凸出的角的顶点记作 Tm（m 为 18 的整数） 函数 y= （x0）的图象为曲线 L （1）若 L 过点 T1，则 k 16 ； （2）若 L 过点 T4，则它必定还过另一点 Tm，则 m 5 ； （3）若曲线 L
31、使得 T1T8这些点分布在它的两侧，每侧各 4 个点，则 k 的整数值有 7 个 【解答】解： （1）每个台阶的高和宽分别是 1 和 2， T1（16，1） ，T2（14，2） ，T3（12，3） ，T4（10，4） ，T5（8，5） ，T6（6， 6） ，T7（4，7） ，T8（2，8） ， L 过点 T1， k16116， 故答案为：16； （2）L 过点 T4， k10440， 反比例函数解析式为：y= 40 ， 当 x8 时，y5， T5在反比例函数图象上， m5， 故答案为：5； （3）若曲线 L 过点 T1（16，1） ，T8（2，8）时，k16， 若曲线 L 过点 T2（14，2
32、） ，T7（4，7）时，k14228， 若曲线 L 过点 T3（12，3） ，T5（8，5）时，k12336， 第 18 页（共 26 页） 若曲线 L 过点 T4（10，4） ，T5（8，5）时，k40， 曲线 L 使得 T1T8这些点分布在它的两侧，每侧各 4 个点， 36k28， 整数 k35，34，33，32，31，30，29 共 7 个， 答案为：7 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20 （8 分） （2020河北）已知两个有理数：9 和 5 （1）计算：(
33、;9):5 2 ； （2）若再添一个负整数 m，且9，5 与 m 这三个数的平均数仍小于 m，求 m 的值 【解答】解： （1）(;9):5 2 = ;4 2 = 2； （2）根据题意得， ;9:5: 3 m， 4+m3m， m3m4， 2m4， m2， m 是负整数， m1 21 （8 分） （2020河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A 区就会自动加上 a2，同 时 B 区就会自动减去 3a，且均显示化简后的结果已知 A，B 两区初始显示的分别是 25 和16，如图 如，第一次按键后，A，B 两区分别显示： （1）从初始状态按 2 次后，分别求 A，B 两区显示的结果； （2）从初
34、始状态按 4 次后，计算 A，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说 明理由 第 19 页（共 26 页） 【解答】解： （1）A 区显示的结果为：25+2a2，B 区显示的结果为：166a； （2）这个和不能为负数， 理由：根据题意得，25+4a2+（1612a）25+4a21612a4a212a+9； （2a3）20， 这个和不能为负数 22 （9 分） （2020河北）如图，点 O 为 AB 中点，分别延长 OA 到点 C，OB 到点 D，使 OC OD以点 O 为圆心，分别以 OA，OC 为半径在 CD 上方作两个半圆点 P 为小半圆 上任一点（不与点 A，B 重合） ，连接
35、OP 并延长交大半圆于点 E，连接 AE，CP （1）求证：AOEPOC； 写出l，2 和C 三者间的数量关系，并说明理由 （2）若 OC2OA2，当C 最大时，直接指出 CP 与小半圆的位置关系，并求此时 S 扇形EOD（答案保留 ） 【解答】解： （1）在AOE 和POC 中， = = = ， AOEPOC（SAS） ； AOEPOC， EC， 1+E2， 1+C2； （2）当C 最大时，CP 与小半圆相切， 如图， 第 20 页（共 26 页） OC2OA2， OC2OP， CP 与小半圆相切， OPC90， OCP30， DOEOPC+OCP120， 扇形= 12022 360 = 4
36、 3 23 （9 分） （2020河北）用承重指数 w 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量实验室 有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板， 实验发现： 木板承重指数 W 与木板厚度 x （厘 米）的平方成正比，当 x3 时，W3 （1）求 W 与 x 的函数关系式 （2）如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块 板（不计分割损耗） 设薄板的厚度为 x（厘米） ，QW厚W薄 求 Q 与 x 的函数关系式； x 为何值时，Q 是 W薄的 3 倍？注： （1）及（2）中的不必写 x 的取值范围 【解答】解： （1）设 Wkx2（k0） 当 x3 时，W3， 39k
37、，解得 k= 1 3， W 与 x 的函数关系式为 W= 1 3x 2； 第 21 页（共 26 页） （2）设薄板的厚度为 x 厘米，则厚板的厚度为（6x）厘米， QW厚W薄= 1 3（6x） 21 3x 24x+12， 即 Q 与 x 的函数关系式为 Q4x+12； Q 是 W薄的 3 倍， 4x+123 1 3x 2， 整理得，x2+4x120， 解得，x12，x26（不合题意舍去） ， 故 x 为 2 时，Q 是 W薄的 3 倍 24 （10 分） （2020河北）表格中的两组对应值满足一次函数 ykx+b，现画出了它的图象 为直线 l，如图而某同学为观察 k，b 对图象的影响，将上面
38、函数中的 k 与 b 交换位置 后得另一个一次函数，设其图象为直线 l x 1 0 y 2 1 （1）求直线 l 的解析式； （2） 请在图上画出直线 l （不要求列表计算） ， 并求直线 l被直线 l 和 y 轴所截线段的长； （3）设直线 ya 与直线 l，l及 y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称， 直接写出 a 的值 第 22 页（共 26 页） 【解答】解： （1）直线 l：ykx+b 中，当 x1 时，y2；当 x0 时，y1， + = 2 = 1 ，解得 = 3 = 1， 直线 l 的解析式为 y3x+1； 直线 l的解析式为 yx+3； （2）如图，解 = + 3
39、= 3 + 1得 = 1 = 4， 两直线的交点为（1，4） ， 直线 l：yx+3 与 y 轴的交点为（0，3） ， 直线 l被直线 l 和 y 轴所截线段的长为：12+ (4 3)2= 2； （3）把 ya 代入 y3x+1 得，a3x+1，解得 x= 1 3 ； 把 ya 代入 yx+3 得，ax+3，解得 xa3； 当 a3+ 1 3 =0 时，a= 5 2， 当1 2（a3+0）= 1 3 时，a7， 当1 2（ ;1 3 +0）a3 时，a= 17 5 ， 直线 ya 与直线 l，l及 y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则 a 的值为5 2或 7 或 17 5 25
40、 （10 分） （2020河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴3 和 5 的位置上，沿 数轴做移动游戏每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正 是反，而后根据所猜结果进行移动 第 23 页（共 26 页） 若都对或都错，则甲向东移动 1 个单位，同时乙向西移动 1 个单位； 若甲对乙错，则甲向东移动 4 个单位，同时乙向东移动 2 个单位； 若甲错乙对，则甲向西移动 2 个单位，同时乙向西移动 4 个单位 （1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 P； （2）从如图的位置开始，若完成了 10 次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对 一错设乙猜对 n
41、 次，且他最终停留的位置对应的数为 m，试用含 n 的代数式表示 m， 并求该位置距离原点 O 最近时 n 的值； （3）从如图的位置开始，若进行了 k 次移动游戏后，甲与乙的位置相距 2 个单位，直接 写出 k 的值 【解答】解： （1）经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上， 必须甲对乙错， 因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对， P甲对乙错= 1 4 （2）由题意 m54n+2（10n）256n n4 时，离原点最近 （3）不妨设甲连续 k 次正确后两人相距 2 个单位， 则有|8+2k4k|2，解得 k3 或 5 如果 k 次中，有 1 次两人都对都错，则有|6+2（
42、k1）4（k1）|2，解得 k3 或 5， 如果 k 次中，有 2 次两人都对都错，则有|4+2（k2）4（k2）|2，解得 k3 或 5， ， 综上所述，满足条件的 k 的值为 3 或 5 26 （12 分） （2020河北）如图 1 和图 2，在ABC 中，ABAC，BC8，tanC= 3 4点 K 在 AC 边上，点 M，N 分别在 AB，BC 上，且 AMCN2点 P 从点 M 出发沿折线 MB BN 匀速移动，到达点 N 时停止；而点 Q 在 AC 边上随 P 移动，且始终保持APQ B （1）当点 P 在 BC 上时，求点 P 与点 A 的最短距离； 第 24 页（共 26 页）
43、（2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5 两部分时，求 MP 的长； （3）设点 P 移动的路程为 x，当 0 x3 及 3x9 时，分别求点 P 到直线 AC 的距离 （用含 x 的式子表示） ； （4）在点 P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ 扫描APQ 区域（含边界） ，扫描器 随点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒若 AK= 9 4，请直接写出点 K 被扫描到的总时长 【解答】解： （1）如图 1 中，过点 A 作 AHBC 于 H ABAC，AHBC， BHCH4，BC， tanBtanC= = 3 4， AH3，ABAC= 2+ 2
44、= 32+ 42=5 当点 P 在 BC 上时，点 P 到 A 的最短距离为 3 （2）如图 1 中，APQB， PQBC， APQABC， PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5， =（ ） 2=4 9， = 2 3， AP= 10 3 ， 第 25 页（共 26 页） PMAPAM= 10 3 2= 4 3 （3）当 0 x3 时，如图 11 中，过点 P 作 PJCA 交 CA 的延长线于 J PQBC， = ，AQPC， :2 5 = 8 ， PQ= 8 5（x+2） ， sinAQPsinC= 3 5， PJPQsinAQP= 24 25（x+2） 当 3x9 时，如图 2 中，过点
45、 P 作 PJAC 于 J 同法可得 PJPCsinC= 3 5（11x） （4）由题意点 P 的运动速度= 9 36 = 1 4单位长度/秒 当 3x9 时，设 CQy APCB+BAPAPQ+CPQ，APQB， BAPCPQ， BC， 第 26 页（共 26 页） ABPPCQ， = ， 5 11; = ;3 ， y= 1 5（x7） 2+16 5 ， 1 5 0， x7 时，y 有最大值，最大值= 16 5 ， AK= 9 4， CK5 9 4 = 11 4 16 5 当 y= 11 4 时，11 4 = 1 5（x7） 2+16 5 ， 解得 x73 2， 点 K 被扫描到的总时长（11 4 +63） 1 4 =23 秒 方法二：点 P 在 AB 上的时候，有 11/4 个单位长度都能扫描到点 K； 在 BN 阶段，当 x 在 35.5（即 71.5）的过程，是能扫到 K 点的，在 5.58.5（即 7+1.5）的过程是扫不到点 K 的，但在 8.59（即点 M 到 N 全部的路程）能扫到点 K所 以扫到的时间是（98.5）+（5.53）+ 11 4 1 4 =23（秒）
