1、 1 高二年级第二学期第一次月考数学试题（理） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1. 下列求导运算正确的是 A211)1( xxx ?B xxxx sin2)cos( 2 ? C exx 3log3)3( ? D 2ln1)(log2 xx ?2. 一点沿直线运动，如果由起点起经过 t 秒后距离 3211 2132s t t t? ? ? ?，那么速度为零的时刻是 A 1秒末 B 2 秒末 C 3 秒末 D 4 秒末 3. 用反证法证明 “ 若 3? cba ，则 a ， b ， c 中至少有 一个小于 1” 时， “ 假设 ” 应为（ ） A假设 a ， b ，
2、c 至少有一个大于 1 B假设 a ， b ， c 都大于 1 C假设 a， b， c 至少有两个大于 1 D假设 a， b， c都不小于 1 4. 1 1()e x dxx? ? A 2e B 2 12e? C 2 12e? D 2 32e? 5. 函数 14ln)( ? xxxf 的递减区间为 A（ 0， 41 ） B（ 0， 4） C（ ， 41 ） D（ 41 ， + ） 6. 设函数 ?fx的导函数为 ?fx? ，且 ? ? ? ?2 21f x x x f ? ? ?，则 ?0f? 等于 A 0 B 4? C 2? D 2 7. 已知 32( ) ( 6 ) 1f x x a x
3、a x? ? ? ? ?有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 A 12a? ? ? B 36a? ? ? C 12aa? ?或 D 36aa? ?或 8. 函数 xxxf cos)( ? 在 ,0 ? 上的 A最小值为 0，最大值为 2? B最小值为 0，最大值为 12? C最小值为 1，最大值为 2? D最小值为 1，最大值为 1? 9.若函数 axxxf ? 3)( 3 有 3个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 A（ 2， 2） B 2， 2 C（ ， 1） D（ 1， + ） 10. 设函数 )(xf 在 R 上可导，其导函数为 )(xf? ，且函数 )(xf 在 2?x 处取得极
4、小值，2 则 函数 )(xfxy ? 的图象可能是（ ） A. B . C. D. 11. 设函数 3 2 2( ) 3 ( 1) 1f x k x k x k? ? ? ? ?在区间 (0,4) 上是减函数，则 k 的取值范围是 A 13k? B 10 3k? C 10 3k? D 13k? 12. 设函数 )(xf? 是奇函数 )( Rxxf ? f（ x）的导函数， 0)2( ?f ，当 0?x 时，0)()( ? xfxfx ，则使得 0)( ?xf 成立的 x 的取值范围是 A （ ， 2） （ 0， 2） B（ 2， 0） （ 2， + ） C（ ， 2） （ 2， 0） D（ 0
5、， 2） （ 2， + ） 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分） 13. 曲线 xexy ?sin 在点（ 0， 1）处的切线方程是 14. 曲线 2xy? 与直线 xy? 所围成图形的面积为 15. 一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2倍），则第8行中的第 3个数是 _ 第 1行 1 第 2行 2 3 第 3行 4 5 6 7 ? ? 16. 已知函数 xexxf )3()( 2 ? ， 现给出下列结论： f （ x）有极小值，但无最小值 f （ x）有极大值，但无最大值 若方程 f（ x） =b恰有一个实数根，则 b 6e 3 若方程
6、f（ x） =b恰有三个不同实数根，则 0 b 6e 3 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题（本大题共 6个小题，满分 70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 3 17.（本小题 10分） 求过点 (1， 1)的曲线 3( ) 2f x x x?的切线方程 18.（本小题 12分） 已知函数 )()( 223 Rbaabxaxxxf ? 、 （ 1）若函数 )(xf 在 1?x 处有极值为 10，求 b 的值； （ 2）若 )(,4 xfa ? 在 2,0?x 上单调递增，求 b 的最小值 19.（本小题 12分） 已知函数 axxxxf ? 629)( 23 （ 1）对任
7、意实数 x ， mxf ? )( 恒成立，求 m 的最大值； （ 2）若函数 )(xf 恰有一个零点，求 a的取值范围 4 20.（本小题 12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米 /小时）的函数解析式可以表示为：313 8 ( 0 120)128000 80y x x x? ? ? ? ?已知甲、乙两地相距 100千米 . （ ）当汽车以 40千米 /小时的速度匀速 行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （ ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 21.（本小题 12分） 设函数 2)( ? axexf x . （
8、）求 )(xf 的单调区间； （ ）若 1?a ， k 为整数，且当 0?x 时， 01)()( ? xxfkx ，求 k 的最大 值 22.（本小题 12分） 已知 x xxgexxaxxf ln)(,0(,ln)( ? ，其中 e 是自然常数， .aR? （ 1）讨论 1?a 时 , ()fx的单调性、极值； （ 2）求证：在（ ）的条件下， 1( ) ( ) 2f x g x?; （ 3）是否存在实数 a ，使 ()fx的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 . 高二数学月考试题答案（理科） 一 选择题： 1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.D
9、 9.A 10.C 11.D 12.A 二填空题： 13.2x y+1=0 14. 15.130 16. 三解答题： 17解： 设 P(x0， y0)为切点，则切线的斜率为 f( x0) 3x20 2.-2分 故切线方程为 y y0 (3x20 2)(x x0)， -4分 5 即 y (x30 2x0) (3x20 2)(x x0)，又知切线过点 (1， 1)，代入上述方程， 得 1 (x30 2x0) (3x20 2)(1 x0)-6 分 解得 x0 1或 x0 12， -8分 故所求的切线方程为 y 1 x 1或 y 1 54(x 1) 即 x y 2 0或 5x 4y 1 0. -10分
10、 18.解：（ 1）由题 f（ x） =ax3+bx+c，可得 f （ x） =3ax2+b， -1分 又函数在点 x=2处取得极值 c 16 ，即 ， -3分 化简得 解得 a=1， b= 12-4分 （ 2）由（ I）知 f（ x） =x3 12x+c， f （ x） =3x2 12=3（ x+2）（ x 2） 令 f （ x） =3x2 12=3（ x+2）（ x 2） =0，解得 x1= 2， x2=2-5分 当 x （ ， 2）时， f （ x） 0，故 f（ x）在 （ ， 2）上为增函数； 当 x （ 2， 2）时， f （ x） 0，故 f（ x）在（ 2， 2）上为减函数；
11、当 x （ 2， + ）时， f （ x） 0，故 f（ x）在（ 2， + ）上为增函数； -7分 由此可知 f（ x）在 x1= 2处取得极大值 f（ 2） =16+c， f（ x）在 x2=2处取得极小值 f（ 2） =c 16， -9分 由题设条件 知 16+c=28 得， c=12-10 分 此时 f（ 3） =9+c=21， f（ 3） = 9+c=3， f（ 2） = 16+c= 4-11分 因此 f（ x）在 3， 3上的最小值 f（ 2） = 4 -12 分 19.解：（ 1） f （ x） =3x2 9x+6-1分 =3（ x ） 2 ， -2分 对任意实数 x， f（ x
12、） m 恒成立，可得 mf （ x）的最小值， -3分 即有 m ，可得 m的最大值为 ； -4分 （ 2） f （ x） =3x2 9x+6=3（ x 1）（ x 2）， -5分 f（ x） 0?x 2或 x 1； f（ x） 0?1 x 2， -7分 f （ x）在（ ， 1）和（ 2， + ）上单增，在（ 1， 2）上单减， 6 ， -9分 函数 f（ x）恰有一个零点，可得 a 0或 2 a 0， -10分 解得 a 2或 a 可得 a的取值范围是（ ， 2） （ ， + ） -12分 20.解 ： （ ）当40?时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.5?小时， ?2 分 要耗油313
13、( 40 40 8 ) 2.5 17.5128000 80? ? ? ? ? ?4 分 答当汽车以 40千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油 17.5升 ?5 分 （ ）当速度为x千米 /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设油耗为()hx升， 依题意得31 3 100( ) ( 8 )128000 80h x x x x? ? ?21 800 151280 4x x? ?（0 120x?） ?7 分 方法一则3322800 80() 640 640xxhx xx? ? ? ?（0 120x） ?8 分 令( ) 0hx? ?，解得80x?，列表得 （ 0， 80） 80
14、（ 80， 120 ()? 0 ?10 分 所以当80x?时，hx有最小值(80) 11.25h ? ?11 分 答：当汽车以 80 千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少 ,最少为 11.25升 ?12 分 21.解：（ I）函数 f（ x） =ex ax 2的定义域是 R， f （ x） =ex a， ?1 分 若 a 0，则 f （ x） =ex a0 ，所以函数 f（ x） =ex ax 2在（ ， + ）上单调递增 ?3分 若 a 0，则当 x （ ， lna）时， f （ x） =ex a 0； 当 x （ lna， + ）时， f （ x） =ex a 0； 7 所以，
15、f（ x）在（ ， lna）单调递减，在（ lna， + ）上单调递增 ?5 分 （ II）由于 a=1，所以，（ x k） f（ x） +x+1=（ x k） （ ex 1） +x+1 故当 x 0时，（ x k） f（ x） +x+1 0等价于 k （ x 0） ?7 分 令 g（ x） = ，则 g （ x） = ?8 分 由（ I）知，当 a=1时，函数 h（ x） =ex x 2在（ 0， + ）上单调递增， 而 h（ 1） 0， h（ 2） 0， ?9 分 所以 h（ x） =ex x 2 在（ 0， + ）上存在唯一的零点， 故 g （ x）在（ 0， + ）上存在唯一的零点，设
16、此零点为 ，则有 （ 1， 2） 当 x （ 0， ）时， g （ x） 0；当 x （ ， + ）时， g （ x） 0； 所以 g（ x）在（ 0， + ）上的最小值为 g（ ） ?10 分 又由 g （ ） =0，可得 e =+2 所以 g（ ） =+1 （ 2， 3） 由于 式等价于 k g（ ），故整数 k的最大值为 2 ?12 分 22.解：（ ） ? xxxf ln)( ? ， xxxxf 111)( ? ?1 分 当 10 ?x 时， /( ) 0fx? ，此时 ()fx单调递减 当 ex?1 时， /( ) 0fx? ，此时 ()fx单调递增 ?3 分 ()fx的极小值为 1)1( ?
