1、1第四章第四章 导数的应用导数的应用 导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本定理作为桥梁.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.4.1 中值定理中值定理定理定理1 1 (罗尔定理)设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间 a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)(a)=(b);罗尔罗尔(Rolle)定理定理2()0.f 则在(a,b)内至少存在一点,使得boxABy=f(x)ay罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义:函数(x)在a,b上的图形是连续曲线弧 AB,如果除端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且
2、在闭区间a,b的两个端点a与b处的纵坐标相同,即(a)=(b);此时弦 3 显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得,由此启发了我们的证明思路.AB平行于 x 轴;则在弧 AB 上至少能找到一点C(),使曲线在点 C 处的切线平行于弦AB,即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为()0.f boxABy=f(x)ay12证证 因(x)在闭区间a,b上连续,故由第二章定理16知:4(x)在 a,b上必有最大值 M 和最小值 m.下面分两种情形讨论:(1)若M=m,则(x)在a,b上恒为常数.从而(,),()0.xa bfx 恒恒有有oyxy=M5故在(a,b)内的每一点都可取作 .定理显然成
3、立.(2)若 ,而(a)=(b)Mm(),Mf a()0.f ()()0 (,)fxfxa b ()()0 (1)fxfx ()()0 (2)fxfx 从而在区间(a,b)内至少存在一点.使得()=M则数 M 与 m 中至少有一个不等于端点的数值,不妨设下面证明因()=M,则不论x0或x 0时,有当x 0时,有6而(x)在(a,b)内可导,则().f存在0()()()()lim0 xfxfffx 0()()()()lim0 xfxfffx 故必有()0.f 则对式(1)和式(2)取极限有()()()().ffff 且且存存在在7注注1 1.罗尔定理中的三个条件是充分条件罗尔定理中的三个条件是充
4、分条件,缺一不可缺一不可.否否则结论不一定成立则结论不一定成立.(.(一般地说结论正确就需证明一般地说结论正确就需证明;否则否则,只须举反例即可只须举反例即可)用下列各图形分别说明用下列各图形分别说明:oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)()()f af b(x)在a,b内有间断点(x)在(a,b)内有不可导点(尖点)注注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如如83sin 04()35cos 44xxfxxx 2此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在 和 =,使oxy=f(x)y2 ()()0.2ff
5、9例1.验证函数 在区间 1,21,2 上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的 值.32()4710f xxxx 注注3 3.罗尔定理是定性的结果罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在它只肯定了至少存在一个一个,而不能肯定而不能肯定 的个数的个数,也没有指出实际计算也没有指出实际计算 的值的方法的值的方法.但对某些简单情形但对某些简单情形,可从方程中解出可从方程中解出 .10解 因(x)是一初等函数,其定义域为(,).则(x)在 1,2 上连续,在(1,2)内存在,即(x)在(1,2）可导.2()387fxxx ()0fx 4373 则满足题意的点为4373x 23870 xx 而(1)
6、=(2)=0.即(x)在 1,2上满足罗尔定理的条件.由4373 而舍去而舍去11例2.不求函数(x)=(x1)(x2)(x3)x 的导数,说明方程 有几个实根?并指出它们所在区间.()0,1,()1,2,()2,3;f xCf xCf xC 解解()0fx ()(0,1),()(1,2),()(2,3)f xDf xDf xD (0)(1)(2)(3)ffff 且且123()0 ,;fx 故故方方程程有有三三个个不不相相等等的的根根123(0,1),(1,2),(2,3).且且 12例3.设(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且(a)=(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点,使得
7、()()ff ()()xF xf x e 令令()()0 ff 于于是是显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有证证则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即满足罗尔定理的条件.则在(a,b)内至少存在一点 ,使得()()()0 (,b)Fffea ()()(,b)ffa 故故13二.拉格朗日(Lagrange)中值定理定理定理2 2 拉格朗日(Lagrange)中值定理)设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;则在(a,b)内至少存在一点 ,使得()()()f bf afba oxyy=f(x)aAbB1
8、2C或 也称微分中值定理.()()()()f bf afba 几何意义:如果在连续曲线弧AB上,除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,又因弦AB的斜率为 则在弧AB上至少()(),f bf aba D14oxy y=f(x)aAbB12既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面利用分析的方法来构造辅助函数.要证()()()()f bf afba 故只须令 F(x)=(b)(a)(xa)(x)(a)(ba)C能找到一点C,使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB.()()()()0f bf afba 移项得移项得()()()()()()0 xf bf axaf xf aba 从而只需验证 F(
9、x)满足罗尔定理的条件即可.易验证这个函数的连续性、可导性以及端点条件.注注:在在 a,b 内的任意闭区间内的任意闭区间 上上,拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理均成立均成立.12,xxD15特别地,若 x 与 x+x为区间(a,b)内的任意两点,则有()()()(01)yf xxf xf xxx 由于当x为有限时,上式是y的准确表达式.因而也把上式称为有限增量公式.而函数的微分 仅是y的近似表达式,因而有限增量公式在理论上十分有用.()dyfx dx 16例4.验证函数(x)=ln x在1,e上满足拉格朗日中值定理.若满足求出.解 因(x)在 1,e上连续,在(1,e)内可导.即(x)在 1,
10、e上满足拉格朗日中值定理.而1()fxx 1lnln1(1)xeex 则由拉格朗日中值公式有11(1)1.ee 17推论推论1.1.(,),()0 xa bfx (,),().xa bf xC 几何意义：斜率处处为 0 的曲线,一定是平行于 x 轴的直线.推论推论2.(,),()()xa bf xg x (,),()().xa b f xg xC 下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式.例例5.证明22sincos1 (R)xxx 证 22()sincosfxxx 令令()2sincos2cos(sin)0fxxxxx ()(,)f xCxa b 22sincos1xx 22 0,(0)si
11、n 0cos 01xfC 特特殊殊地地取取有有18 例6.证明不等式ln (0)babbaabbaa 分析:因 0 a 1时,证明不等式.xeex 最后特殊取点(2)根据不等式的特点选取适当的函数(x)及对应区间a,b,使其满足定理的条件,便有再根据 a 0,试证在(a,b)内方程 至少存在一个根.222 ()()()()x f bf abafx 证证 因222 ()()()()x f bf abafx 可可以以改改222()()()()2()fxfxf bf axxba 而 在a,b上满足柯西中值定理的条件.2(),f xx所以在(a,b)内至少存在一点 ,使得22()()()2ff bf
12、aba 222 ()()()()f bf abaf 故在(a,b)内方程至少存在一个根 .22结论结论:拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广;柯西柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广中值定理又是拉格朗日中值定理的推广.柯西中值柯西中值定理的特殊情形为拉格朗日中值定理定理的特殊情形为拉格朗日中值定理,拉格朗日中拉格朗日中值定理的特殊情形为罗尔定理值定理的特殊情形为罗尔定理.CRL(a)=(b)g(x)=x23 多项式对数值计算和理论分析都十分方便,所以在研究某些复杂函数时,常常希望将它们表示为一个多项式.假设(x)在 内能够表示为一个多项式 ,问题:00()xN x
13、的的某某邻邻域域()nP x()()nf xP x()nP x(1)多项式 的系数应如何确定呢?(2)又为多少呢?四.泰勒(Taylor)中值定理24(1)若(x)为一个关于x的多项式,即01()nnf xbb xb x 00()xN x的某邻域0 xx(),nP x0100()()()nnnP xaa xxaxx 因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边求x的1至n阶导数,有11200()2()()nnnP xaaxxnaxx ()()(1)3 2 1nnnPxn na 22300()23 2()(1)()nnnP xaaxxn naxx 假设(x)在 内表示为 的多项式即下面对(x
14、)分两种情形来讨论以上问题.25在上列各式中,令 ,则得0 xx()0()(0,1,2,)!knkPxaknk 由()0()()(),(0,1,2,)!knkfxP xf xaknk 则则从而()20000000()()()()()()()()()2!nnnfxfxf xP xf xf xx xx xx xn 26并记(x)与 之误差为 从而有()nP x(),nRx()()().nnf xP xR x ()nRx()nP x()20000000()()()()()()()()2!nnfxfxf xf xf xx xx xx xn (x),即有当 很小且在允许的误差范围之内时,就可用 去近似代
15、替(2)若(x)不是多项式,而是一个在 内具有直到(n+1)阶导数的一般函数,则我们可仿照上式构造一个关于x的多项式00()xN x 的的某某 域域()20000000()()()()()()()()2!nnnfxfxP xf xf xx xx xx xn 27()nRx定理定理4.(泰勒Taylor中值定理)若函数(x)在 内具有直到(n+1)阶导数,则 均有00(,)xU x 的的某某邻邻域域(,),xa b ()20000000()()()()()()()()()2!nnnfxfxf xf xf xxxxxxxR xn (1)100()()()().(1)!nnnfR xxxxxn 介介
16、于于与与之之其中那么,误差 如何确定呢?28则F(t)在区间 上连续且可导,并有00,x xxx或或(1)()(1)10()()()()()()()!kknnkknkftftftF txtk xtxtkkn 1()(),nG tx t ()()20()()()()()()()()()()()()2!nknnkkf tftftF tf xf tf t x tx tx tf xx tnk 理论证明可不讲.(证明提示)作辅助函数令则F(t)和G(t)满足柯西中值定理的条件,故在290 xx 与与之之至少存在一点 ,使得(1)00()()()11()()()()()!(1)()nnnF xF xFfx
17、G xG xGnnx (1)01()()()(1)!nnR xfG xn (1)1()(1)!nfn 0()()0,()()nF xG xF xRx 而而(1)100()()()(1)!nnfxxxxn 在在与与之之间间30为函数(x)在 处的 n 阶泰勒多项式.称而式称为函数(x)在 处的 n 阶拉格朗日余项.注注2.2.若(x)满足定理的条件,则,其误差可由来估计.注注1.1.将()20000000()()()()()()()()()2!nnnf xfxf xf xf x x xx xx xR xn 称为函数(x)在处的 n 阶泰勒公式或泰勒展开式.0 xx()20000000()()()
18、()()()()()2!nnnfxfxP xf xf xx xx xx xn 0 xx 0 xx(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn ()()nf xP x(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn 31注注4.4.在泰勒公式中令 则又可得到马克劳林(Maclaurin)公式或马克劳林(Maclaurin)展开式.即为因此,泰勒公式是拉格朗日公式的推广.注注3.3.在泰勒公式中令 n=0,则又可得到拉格朗日公式00000()()()()()()()f xf xfxxxxfxxR x 在在 与与 之之间间).其其中中00 x ()2(0)(0)()(0)(0)()2!nnnff
19、f xffxxxR xn 11()()(1)!nnnfRxxxn 其其中中在在0 0与与 之之间间).11()()(01)(1)!nnnfxRxxn 或或 32例9.写出 的n阶马克劳林展开式.注注:在上式中令x=1,则得无理数e的近似值()xf xe()1()()()()nnxf xfxfxfxe 解解()(0)(0)(0)1nfff 且且 1()(0 1)nxfxe 而而 ()xf xe 则则的的马马克克劳劳林林展展开开式式为为2111()2!xnnexxxRxn(1)1()()(01)(1)!nnnfxR xxn 其其中中11112!en 此时所产生的误差为3(1)!(1)!neRnn
20、102.718282.ne-6-6当时,可计算出 其误差不超过10当时,可计算出 其误差不超过1033注注:泰勒中值定理可用来近似求函数值泰勒中值定理可用来近似求函数值,并且并且 n 取得越大取得越大近似程度越好近似程度越好.解例10.写出函数(x)=ln(1+x)在 n=2 时的马克劳林展开式.123()(1),()(1),()2!(1)fxxfxxfxx 3(0)1,(0)1!,()2!(1)fff 且且()1ln(1)fxx 则则的的 2 2阶阶 马马 克克 劳劳 林林 展展 开开 式式 为为22(0)(0)ln(1)(0)()1!2!ffxfxxRx 221()2xxRx 3323()()(0)3!3(1)fxRxxx 其其中中 介介于于 与与 之之间间
