1、 1 山西省太原市 2016-2017 学年高二数学 3 月阶段性测试试题 理 一、选择题（每 小题 4 分 ,共 40 分 ,每小题只有一个正确答案） 1.曲线 1? xxey 在点 )1,1( 处切线的斜率等于 （ ） A e2 B 22e C 2 D 1 2.函数 23( ) ( 1) 2f x x? ? ?的极值点是（ ） A . 1?x B. 1?x 或 1?x 或 0?x C. 0?x D. 1?x 或 1?x 3.已知函数 )(xf 的导数为 ()fx? ， 且满足关系式 2( ) 3 ( 2 ) lnf x x xf x? ? ?，则 (2)f? 的值等于（ ） A. 2? B
2、.2 C. 94? D. 94 4.函数 s i n c o s , ( , )y x x x x ? ? ? ?的单调递增区间是（ ） A.( , )2? 和 (0, )2? B.( ,0)2? 和 (0, )2? C.( , )2? 和 ( , )2? D. ( ,0)2? 和 ( , )2? 5.函数0( ) ( 4)xf x t t dt?在 1,5? 上 （ ） A.有最大值 0 ，无最小值 B.有最大值 0 ，最小值 323? C.最小值 323? ，无最大值 D.既无最大值，也无 最小值 6.若 函数 ( ), ( )f x g x 满足 11 ( ) ( ) 0f x g x
3、dx? ?，则称 ( ), ( )f x g x 为区间 1,1? 的一组正交函数给出三组函数： 11(1 ) ( ) s i n , ( ) c o s ;22f x x g x x? ( 2 ) ( ) 1, ( ) 1;f x x g x x? ? ? ? 2(3) ( ) , ( ) .f x x g x x?其中为区间 1,1? 上的正交函数的组数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 7.设 ()fx? 是函数 )(xf 的导函数，将 ()y f x? 和 ()y f x? 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 2 8. 定积分 1 20 ( 2 )x x x dx
4、?等于（ ） A. 24? B. 12? C. 14? D. 12? 9. 直线 ym? 分别与曲线 2 ( 1), lny x y x x? ? ? ?交于点 ,AB， 则 AB 的最小值为（ ） A 324B 2 C 3 D 32 10. 设 函数 ( ) ( 2 1)xf x e x ax a? ? ? ?，其中 1a? ，若存在唯一的整数 0x 使得 0( ) 0fx? ，则 a 的取值范围是 （ ） A 3 ,1)2e? B 33 , )24e? C 33 , )24e D 3 ,1)2e 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11.定积分 10 (2 )xx e dx?. 1
5、2.已知函数 32( ) 3f x x x?的图象如图所示，求图中阴影部分的面积 . 13.若函数 324y x ax? ? ? 在 (0,2) 内单调递减，则实数 a 的取值范围是 . 14.已知函数 lny x x? 在点 (1,1) 处的切线与曲线 2 ( 2) 1y ax a x? ? ? ?相切，则 a? . 15.已知 函数 ()fx 满足 (0) 1f ? 其导函数 ()fx? 满足 ( ) 1f x k? ? ，则下列结论正确的1,3,5 3 是 . （ 1） 11)1( ?kkf ；（ 2） 11)11( ? kkf ；（ 3） 12)11( ? k kkf ；（ 4） )1
6、1()1( ? kfkf 三、 解答题（每小题 10 分，共 40 分） 16. 已知函数 Rxxxxf ? ,56)( 3 （ 1） 求 ()fx的单调区间和极值； （ 2） 若直线 ya? 与 ()y f x? 的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围 17. 求抛物线 2 43y x x? ? ?及其在点 (1,0)A 和点 (3,0)B 处的切线所围成图形的面积 18. 设 2( ) ( 3)xf x e ax?，其中 a 是实数； （ 1）当 1a? 时 ，求 ()fx的极值； （ 2）若 ()fx为区间 1,2 上的单调函数，求 a 的取值范围 19. 已知函数 ( ) lnx
7、f x e a x a? ? ?，其中常数 0a? ，若 ()fx有两个零点 1 2 1 2, (0 )x x x x?，求证：121 1x x aa ? ? ? ? 4 2017/3 月考答案 BCCABCDADD 10.解 ： 由 1a? ， 易知存在整数 0 0 0 00 , : ( 2 1 ) .x st e x x a x a? ? ? ?设 ( ) ( 2 1 ) , ( ) ,xg x e x h x a x a? ? ? ?则 ( ) (2 1),xg x e x? ?可得 ()gx在 1( , )2? 上单调递减 ， 在 1( , )2? ? 上单调递增 ， 作出 g(x)与
8、h(x)的大致图象如图所示 ， 若存在唯一整数 000, : ( ) 0,x st f x?还须满足 (0) (0)( 1) ( 1)hg? ? ? ?即 1 32aa e? ? 3 12 ae? .故选 D. 11. e 12. 274 13. 3a? 解析 232y x ax?，由题意知 23 2 0x ax?在区间 (0,2)内恒成立， 即 32ax? 在区间 (0,2)上恒成立， 3a? 14.8 解析：由 lny x x? 得 11y x? ，所以曲线 lny x x? 在 (1， 1)处的切线的斜率 k 2，故切线方程为 21yx?， 21yx?与曲线 2 ( 2) 1y ax a
9、 x? ? ? ?相切，联立 ， 消去 y 得 2 20ax ax? ? ? 则 0a? 且2 4 ( 2 ) 0 , 8 .a a a? ? ? ? ? ? 15.(1)(2)(4) 5 16. 已知函数 Rxxxxf ? ,56)( 3 （ 1） 求 ()fx的单调区间和极值； （ 2） 若直线 ya? 与 ()y f x? 的图象有三个不同的交点，求实数a 的取值范围 解 :（ 1） 2,2,0)(),2(3)( 212 ? xxxfxxf 得令 ? 1 分 当 2 2 ( ) 0 ; 2 2 , ( ) 0x x f x x f x? ? ? ? ? ? ? ?或 时 , 当 时， ?
10、 2 分 )(xf 的单调递增区间是 ( , 2 ) ( 2 , )? ? ?和 ，单调递减区间是 )2,2(? ? 3 分 当 245)(,2 ? 有极大值xfx ；当 245)(,2 ? 有极小值xfx .? 4 分 （ 2） 由 （ 1） 得 5 4 2 5 4 2a? ? ? ?. 17. 求抛物线 2 43y x x? ? ?及其在点 (1,0)A 和点 (3,0)B 处的切线所围成图形的面积 解析 如图所示，因为 132 4 , 2 , 2xxy x y y? ? ? ? ? ? ? ?， 两切线方程为2 ( 1), 2 ( 3 )y x y x? ? ? ? ? 由 2( 1)2
11、( 3)yx? ? ?， 得 2x? . 所以 23 22122322123 2 2 3 2 312 2 ( 1 ) ( 4 3 ) 2 ( 3 ) ( 4 3 ) ( 2 1 ) ( 6 9 )1 1 2( ) ( 3 9 )3 3 3S x x x d x x x x d xx x d x x x d xx x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 18. 设 2( ) ( 3)xf x e ax?，其中 a 是 实数； （ 1）当 1a? 时，求 ()fx的极值； （ 2）若 ()fx为区间 1,2 上的单调函数
12、，求 a 的取值范围 (1）当 1a? 时，有 2( ) ( 3)xf x e x? ? ?， 2( ) ( 2 3 ) ( 3 ) ( 1 )xxf x e x x e x x? ? ? ? ? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ，即 ( 3)( 1) 0xe x x? ? ? ?， ( 3)( 1) 0xx? ? ?，即 31x? ? ? ， ()fx在 ( 3,1)? 上递增， ( ,3)? 和 (1, )? 上递减， 当 3x? 时， ()fx有极小值 3( 3) 6fe? ? ， 当 1x? 时， ()fx有极大值 (1) 2fe? （ 2）要使 ()fx在区间 ? ?1,2 上单
13、调， 则 2( ) ( 2 3 ) 0xf x e a x a x? ? ? ?或 2( ) ( 2 3 ) 0xf x e a x a x? ? ? ?恒成立， 即 2 2 3 0ax ax? ? ?或 2 2 3 0ax ax? ? ?在区间 ? ?1,2 上恒成立， max2 3()2a xx? ? 38?或m in2 3( ) 12a xx? ? ? 综上， ()fx在 ? ?1,2 上单调，则 1a? 或 38a? 19. 已知函数 ( ) lnxf x e a x a? ? ?，其中常数 0a? ，若 ()fx有两个零点 1 2 1 2, (0 )x x x x?，求证：121 1
14、x x aa ? ? ? ? 【分析】若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证 ? ?1 10ffa? ?且? ? ? ?10f f a ? ， 即只需判断 ? ? ? ?1 , 1 ,f f f aa?的符号，可先由 ?fx存在两个零点判断出的取值范围为ae? ，从 而 ? ?10f e a? ? ?，只需将 ? ?1 ,f f aa?视为关于的函数，再利用函数性质证明均大于零即可 【解析】由 ? ? ln 0xf x e a x a? ? ? ?得 1ln 1xeaxxe? ?，令7 ? ? ? ? ? ? 21l n 1,.l n 1 l n 1xx exe xxxx x?
15、 ? ?设 ? ? 1ln 1g x x x? ? ?，可得 ?gx为增函数且 ?10g ? ， 110, ,1xee? ? ? ? ? ? ? ? ? ?时， ? ? ? ?00g x x? ? ?， ? ?1,? ? 时， ? ? ? ?00g x x? ? ?， ? ?x? 在 110, , ,1ee? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 单调递减，在 ? ?1,? 单调递增，在 1,xe? ?， ? ? ? ?m in 1xe?， ? ?fx 有两个零点，ae?， ? ?10f e a? ? ? ?， ? ? lnaf a e a a a? ? ?， ? ? ln 2af a e a?
16、 ? ? ?， ? ? 1 1 1 0a a ef a e e ea e e? ? ? ? ? ? ?， ? ?fa? 在 ? ?,e? 单调递增， ? ? ? ? ? ?23 3 0 ,ef a f e e e f a? ? ? ? ? ? ? ?在 ? ?,e? 单调递增，? ? ? ? ? ?22 2 2 0 .ef a f e e e e e e e? ? ? ? ? ? ? ? ? 而 ?10f ? ， ? ? ? ?10f f a?， ? ?2 1,xa? ? ，使得 ? ?2 0fx? 即 21 xa? 另一方面： ? ?1 1 111 l n l n l n 1a a af e a a e a a a e a aaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ae? ln 1 0a? ? ? ， 1 0f a? ，而 ?10f ? ， ? ? 110ffa?， 1 1 ,1x a? ?，使得 ? ?1 0fx? 即 11 1xa? 综上所述：121 1x x aa ? ? ? ? -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 8 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便 宜下载精品资料的好地方！
