1、 1 高二普通班第二学期开学考试数学试题（理科） 第卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 . 1.在锐角ABC中，3, 4AB AC?，其面积33ABCS ?，则BC?（ ） A 5 B13或37C37D132.关于实数x的不等式2 0x bx c? ? ? ?的解集是? ?| 3 2x x x? ? ?或，则关于x的不等式2 10cx bx? ? ?的解集是（ ） A11,23?B? ?2,3C11,23? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D? ? ? ?, 2 3,? ? ?
2、3.过抛物线2: 12y x?的焦点作直线交 于? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y两点，若126xx?，则AB?（ ） A 16 B 12 C 10 D 8 4已知命题 p： ? x R， 2x2+2x+21 0)上有一点 M，其横坐标为 -9， 它到焦点的距离为 10，则点 M的坐标为 _. 14过椭圆 22154xy?的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆 3 交于 A， B两点， O为坐标原点，则 OAB的面积为 _ 15.已知离心率为e的双曲线和离心 率为22的椭圆有相同的焦点12,FF，P是两曲线的一个公共点，若1260FPF? ? ?，则e?. 16.如图，边长
3、为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于G，已知ADE（A?面ABC）是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题： 平面FG?平面； BC面ADE； 三棱锥A EF?的体积最大值为3164a； 动点 在平面上的射影在线段AF上； 二面角 DE F?的平面角的取值范围是? ?0,90?. 其中正确的命题是 （写出所有正确命题的编号） . 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 10分）已知命题2: 8 20 0p k k? ? ?，命题:q方程22141xykk?表示焦点在x轴上的双曲线 . 命题q为真命题，求
4、实数k的取值范围； 若命题“pq?”为真，命题“?”为假，求实数k的取值范围 . 18（本小题满分 12分）已知等差数 列?na的前n项和为S，3 15?，且1 2 41, 1, 1a a a?成等比数列，公比不为 1. 求数 列?a的通项公式； 设1nnb S?，求数列nb的前n项和T. 19.（ 12分）如图（ 1），在平行四边形11ABBA中，1160 4 2A B B A B A A? ? ? ? ?， ，C，14 分别为 AB，11的中点，现把平行四边形11AACC沿1CC折起，如 图（ 2）所示，连结1 1 1 1 BC B A B A， ，. （）求证：AB CC?； （）若1
5、6AB?，求二面角11C AB A?的余弦值 . 20.（ 12分）如图，边长为 4的正方形 ABCD所在平面与正三角形 PAD所在平面互相垂直， M，Q分别为 PC， AD 的中点 （ 1）求证： PA平面 MBD； （ 2）求二面角 P BD A的余弦值 21、（ 12 分）已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为12，以 E的四个顶点为顶点的四边形的面积为 4 3.( )求椭圆 E的方程； ( )设 A， B分别为椭圆 E的左、右顶点， P是直线 x 4上不同于点 (4， 0)的任意一点，若直线 AP， BP分别与椭圆相交于异于 A， B的点 M、 N，试探究，点 B是否
6、在以 MN为直径的圆内？证明你的结论 22.（本小题满分 12分）已知抛物线? ?2 20y px p?的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点21, 2?. 求抛物 线的方程； 5 过 点F是否存在直线与椭圆C交于,MN两点，且以 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由 . 参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B D C B A C A C B D 二、 填 空题 13. （ -9,6）或（ -9， -6） 14. 35 15.6216. 17.10k? ? ?
7、21或4 10k?18.21nan? ?3 1 1 14 2 1 2nT nn? ? ? ?19、（ 12 分）证明：（）由已知可得，四边形11ACCA均为边长为 2的菱形， 且1 1 1 60ACC B C C? ? ? ? ?. 在图（ 1）中，取1CC中点O，连结11 O BO AC， ， 故1ACC是等边三角形， 所以1AO CC?， 6 同理可得11BO CC?， 又因为1A BO O?， 所以CC AOB?平 面， 又因 为B ?平 面，所以A CC?. （）由已知得，113 6O A O B A B? ? ?， 所以2 2 211OA OB AB?，故1OB?， 如图（ 2），分
8、别以11 B C OA， ，为x轴，y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系， 得? ? ? ? ? ?10 1 0 3 0 0 0 0 3C B A?， ， ， ， ， ， ， ，? ?1 0 2 3A ， ，. 设平面1CAB的法向量? ?1 1 1 m x y z? ， ， ? ?1 3 0 3AB ?， ，0 1AC ? ? ?， ， 由1 00mAC m? ? ?得3 3 030xzyz? ? ? ?， 令1 1x?，得1z，3y?， 所以平面1CAB的一个法向量? ?1 3 1m ， ，. 设平面11AAB的法向量? ?2 2 2 n x y z? ， ， ? ?1 3 0 3AB
9、， ，?1 0 2 0AA ? ， ， 由100AB nA n? ?得2223 3 020y? ?， 令2 1x?，得2z，y0， 7 所以平面11AAB的一个法向量为? ?1 0 1n? ， ，. 于是2 10c os 552mnmn mn? ? ? ? ?， 因为二面角11C AB A?的平面角为钝角， 所以二面角 的余弦值为105?. 20.证明：（ 1）连接 AC、 BD 交于点 O，连接 OM 则 AO=OC，又 PM=MC， PA OM PA?平面 BMD， OM?平面 BMD， PA平面 BMD 解：（ 2）以 A为原点， AB为 x轴， AD 为 y轴，过 A作平面 ABCD的
10、垂线为 z轴， 建立空间直角坐标系， 则 P（ 0， 2， 2 ）， B（ 4， 0， 0）， D（ 0， 4， 0）， =（ 4， 2， 2 ）， =（ 4， 4， 0）， 设平面 BPD的法向量 =（ x， y， z）， 则 ， 取 x=1，得 =（ 1， 1， ）， 平面 ABD的法向量 =（ 0， 0， 1）， 设二面角 P BD A的平面角为， 则 cos = = = 二面角 P BD A的余弦值为 8 21.【解析】 ( )依题意得 ca 12， 12 2a 2b 4 3，又 a2 b2 c2，由此解得 a 2， b 3.所以椭圆 E的方程为 x24y23 1. ( )点 B在以
11、MN 为直径的圆内证明如下： 方法 1：由 ( )得 A( 2， 0)， B(2， 0)设 M(x0， y0) M点在椭圆上， y02 34(4 x02) 又点 M异于顶点 A、 B， 20， BM BP 0，于是 MBP为锐角，从而 MBN为钝角， 故点 B在以 MN为直径的圆内 方法 2：由 ( )得 A( 2， 0)， B(2， 0)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 9 则 2x12， 2x22，又 MN的中点 Q的坐标为 ? ?x1 x22 ， y1 y22 ， 依题意，计算点 B 到圆心 Q的距离与半径的差 |BQ|2 14|MN|2 ? ?x1 x22 22 ? ?y
12、1 y222 14(x1 x2)2 (y1 y2)2 (x1 2) (x2 2) y1y2 直线 AP 的方程为 y y1x1 2(x 2)，直线 BP 的方程为 y y2x2 2(x 2)， 而两直线 AP 与 BP 的交点 P在直线 x 4上， 6y1x1 2 2y2x2 2，即 y2 3（ x2 2） y1x1 2 又点 M在椭圆上，则 x124y123 1， 即 y12 34(4 x12) 于是将、代入，化简后可得 |BQ|2 14|MN|2 54(2 x1)(x2 2)0. 从而点 B在以 MN 为直径的圆内 22.4yx? 若垂直于x轴，不符合 . 设正方形第三个顶点坐标为? ?
13、? ? ? ?0 1 1 2 20 , , , , ,P y M x y N x y令? ? ?: 1 0l y k x k? ? ?，代入2 4?得 ? ?2 2 2 22 4 0k x k k? ? ? ?所以21 2 1 2224 ,1kx x x xk ? ? ?则线段MN的中垂线方程为22 1 2 1k k k? ? ? ? ?所以3320,P kk?. 因为0PM PN?，得? ? ?1 2 1 0 2 0 0x x y y y y? ? ? ?即2004 30yyk? ? ?，由0 3y ?代入得 ? ? ?42 43 4 1 0 3k k k? ? ? ? ?10 所以直线方程为? ?4 13yx? ?. -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
