1、 1 1 1222正 视 图侧 视 图俯 视 图成都龙泉中学 2016 2017学年度下学期入学考试 高二数学（理科）试卷 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷，共 4页，满分分，考试时间分钟 注意事项： 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上 2考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 3答案使用 0 5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（选择题答案使用 2B铅 笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号） 4保持答题纸纸面清洁，不破损考试结束后，将本试卷自行保存，答题
2、纸交回 第 I卷（选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若集合 ? ?2| 2 0A x x x? ? ? ?，且 A B A? ，则集合 B可能是 A. ? ?0,1 B. ? ?|2xx? C. ? ?| 2 1xx? ? ? D.R 2.已知命题 p： ? x0 R ， x20 10 B p： ? x R ， x2 10 C p： ? x R ， x2 1 0 D p： ? x R ， x2 1 0 3.点 P 在边长为 1的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到顶点 A 的距离 1|
3、 ?PA 的概率为 A 41 B 21 C 4? D ? 4.设数列 ?na 的通项公式 cos 3n nan ?，其 前 n 项和为 nS ，则 2016S ? A. 2016 B.1680 C. 1344 D.1008 5. 已知一个几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 A 233B 433C 3 D 2 3 2 6. 已知 ? ? ? ? ? ?2 ,1 , , 3 , 1, 2a b k c? ? ? ? ?，若 ? ?2a b c?，则 b? A 35 B 32 C 25 D 10 7. 已知 ,AB分别为双曲 线 ? ?2222: 1 0 , 0xyC a bab? ? ?
4、 ?的左、右顶点， P 是 C 上一点，且直线,APBP 的斜率之积为 2 ，则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 8. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是 A求数列 1n 的前 10项和 *()nN? B求数列 12n 的前 10项和 *()nN? C求数列 1n 的前 11项和 *()nN? D求数列 12n 的前 11项和 *()nN? 开 始S = 0k 1 0输 出 S结 束是否n = 2k = 11SSn?n = n + 2k = k + 19.设球的半径为时间 t的函数 ?Rt，若球的体积以均匀速度 c增长，则球的表面积的增 长速度与球半径 A. 成
5、正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C C.成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C 10.在四棱锥 P ABCD? 中，底面是边长为 2 的菱形， 60DAB?,对角线 AC 与 BD 相交于点O,PO? 平面 ABCD ， PB与平面 ABCD 所成 角为 45 ，若 E是 PB的中点，则异面直线 DE 与 PA所成角的余弦值为 A. 31020B. 1020C. 255D. 553 11. 已知定义在 R 上的函数 ? ? 21xmfx ?（ m 为实数）为偶函数，记? ? ? ?221( lo g ) , lo g 5 , 23a f b f c f m?
6、? ? ，则 ,abc 的大小关系为 A abc? B a c b? C c a b? D c b a? 12.过抛物线 ? ?2 20y px p?的焦点 F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点 M,N，过弦MN的中点 P作抛物线准线的垂线 PQ,垂足为 Q，则 PQMN的最大值为 A. 1 B. 12 C. 22D. 33第卷 非选择题（ 共 90分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20 分） 13. 已知向量 ? ? ? ? ? ?3 ,1 , 1, 3 , , 2a b c k? ? ? ?，若 ()ac? b ，则 k? 14. 若正数 x ， y 满足 2
7、 3 0xy? ? ? ，则 21xy? 的最小值为 _. 15.人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆设地球半径为 R ，卫 星近地 点、远地点离地面的距离分别为 12,rr，则卫星轨道的离心率 (请用 12,Rrr 表示 ) 16. 设 12,FF分别是双曲线 ? ?2222: 1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?的 左、右焦点， A为双曲线的左顶点，以线段 12,FF为直径的圆 O与双曲线的一个交点为 P,与 y 轴交于 B,D两点，且与双曲线的一条渐近线交 于M,N两点，则下列命题正确的是 .（写出所有正确的命题编号） 线段 BD是双曲线的虚轴； 12PFF? 的面积
8、为 2b ； 若 120MAN?，则双曲线 C的离心率为 213； 12PFF? 的内切圆的圆心到 y 轴的距离为 a . 4 三、解答题（本部分共计 6 小题，满分 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分） 17（本小题满分 10 分） 在 ABC? 中 ,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且 2a? , 4cos 5B? . (1)若 3b? ,求 sinA 的值； (2)若 ABC? 的面积 3ABCS? ? ,求 b ,c 的值 . 18.（本题满分 12分） 设数列 na 满足： 11?a , 121 ? nn aa .
9、 （ 1）证明 :数列 1na? 为等比数列，并求出数列 na 的通项公式； （ 2）求数列 ? ? ?1? nan 的前 n 项和 nT . 19.（本小题满分 12分） 已知双曲线 C 与椭圆 22125 9xy?共焦点，且它们的离心率之和为 245 ，求双曲线 C 的标准方程及其渐进线方程 5 20. （本题满分 12分） 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为： 50,60)， 60,70)， 70,80)， 80,90)， 90,100，并绘制出频率分布直方图，如图所示 （）求频率分布直方图中a的值；从
10、该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率； （）设 A， B， C三名学生的考试成绩在区间 80,90)内， M， N两名学生的考试成绩在区间 60,70)内，现从这 5名学生中任选两人参加座谈会，求学生 M， N 至少有一人被选中的概率； （）试估计样本的中位数与平均数。 （注：将频率视为相应的概 率） 21.（本小题满分 12分） 如图，在 四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ， 2AP AB?，22BC? ， ,EF分别是 ,ADPC 的中点 (1)证明： PC 平面 BEF ； (2)求平面 BEF 与平面 BAP 所成
11、的锐二面角的余弦值 PBAFEDC22.（本小题满分 12分） 已知椭圆 C : )0(12222 ? babyax 的离 心率为 12 ，左顶点 ? ?20A,? （）求椭圆 C 的标准方程； 6 （）设直线 l ： ? ?x my t t a? ? ? ?与椭圆 C 交于不同两点 B,C ,且满足 AB AC? 求证：直线 l恒过定点，并求出定点 M 的坐标； （）在 （）的条件下，过 A 作 AD l? ，垂足为 D ，求 D 的轨迹方程 7 成都龙泉中学 2016 2017学年度下学期入学考试 高二数学（理科）试卷参考答案 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60 分在
12、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 6 ACCDBA 7 12 BBDBCC 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20 分） 13.12 14. 解析： 2 1 1 2 1 1 2 2( 2 ) ( ) ( 5 ) 333 xyxyx y x y y x? ? ? ? ? ? ? ?，当且仅当 1xy?时取等号。 所以 21xy? 的最小值为 3. 15. 21122rrR r r? 16. 三、解答题（本部分共计 6 小题，满分 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分 ） 17.解 :(1)因为 4cos 5B?
13、,又 0 B ? , 所以2 3s in 1 c o s 5BB? ? ? ? 2分 由正弦定理 ,得 sin 2sin 5aBA b? ? 5 分 (2)因为 1 sin 32ABCS ac B? ?, 所以 132325c? ? ? . 所以 5c? ? 7分 由余弦定理 ,得 2 2 2 2 cosb a c ac B? ? ? 22 42 5 2 2 5 5? ? ? ? ? ?13? . 所以 13b? ? 10分 18.解析：（ 1）证明： ? ? ? ?1 1 2 1 1 2 1n n na a a? ? ? ? ? ? ? 于是 ? ?1 1 2*1nna nNa ? ? ?
14、? 4分 即数列 1na? 是以 2 为公比的等比数列 . 因为 ? ? 111 1 2 2nnnaa ? ? ? ? ?，所以 21nna ? ? 6分 （ 2） 1 2 31 2 2 2 3 2 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 2nT? 2 3 11 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 ? 得 1 2 3 11 2 1 2 1 2 1 2 2nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 12(1 2 ) 212n nn ? ? ? 12 ( 1) 2nn ? ? ? ? ? 故 1( 1) 2
15、 2nnTn ? ? ? ? ? 12 分 19.解： 椭圆 2219 25xy?的焦点为 ? ?4,0? ，离心率为 45 ， ? 2分 故 双曲线 C 的 焦点为 ? ?4,0? ，离心率为 4， ? 4分 设 双曲线 :C 2222 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?，则 4c? ， 1a? ，所以 15b? ， 故 双曲线 C ： 22 115yx ?， ? 8分 其渐进线方程为： 15yx? 或 15yx? ? 12分 20. 解（ I） 0 .1 ( 0 .0 3 0 .0 2 5 0 .0 2 0 .0 1 ) 0 .0 1 5a ? ? ? ? ? ?估计这名学生
16、参加考试的成绩低于 90分的概率为 0.85 ( ) 从这 5 名 学 生 代 表 中 任 选 两 人 的 所 有 选 法 共 有 10 种 , 分别为 :AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN,代表 M,N 至少有一人被选中的选法共 7 种 ,分别为 :AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN 设”学生代表 M,N至少一人被选中”为事件 D,P(D)=710 学生代表 M,N至少一人被选中的概率为 710 ( )样本的中位数为2303，平均数为 76.5. 21.(1)法一： 22PB BC?,且 F 为 PC 的中点 , PC BF ? 3分 连结 ,PEEC , 6PE EC?，且 F 为 PC 的中点 , PC EF PC 平面 BEF ? 6分 法二：证明：如图，以 A为 坐标原点， AB， AD， AP所在直线分别为 x， y， z轴建 立空间直角坐标系 9 PBAFE DCxyz AP AB 2， BC AD 2 2，四边形 ABCD是矩形， A， B， C， D， P的坐标为 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2 2， 0)， D(0,2 2， 0)， P(0,0,2) 又 E， F分别是 AD， PC 的中点， E(0， 2， 0)， F(1， 2， 1)? 2分 PC (2,2 2， 2)， BF
