1、公众号:有一点数学 1 最值系列之费马点 皮耶 德 费马,17 世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不 够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡 献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等 据说费马在提出“费马大定理”时,在笔记本上写道:我已经想到了一个绝妙的证明方法,但 是这个地方不够写,我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的,然后,直到 1995 年, 才由英国数学家怀尔斯证明出,而距离费马逝世,已经过去了 330 年 果然,数学搞得好的都是装 x 的一把好手 言归正传,今天的问题不是费马
2、提出来的,是他解决的,故而叫费马点 问题:在ABC 内找一点 P,使得 PA+PB+PC 最小 A B C P 【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线 的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等 阿哈哈哈,此处一个也用不上! 其实理论还是上面的理论, 本题难点在于有 3 条线段, 我们需要对这三条线段作一 些位置上的变化,如果能变换成在一条直线上,问题就能解决了! 算了算了,不墨迹了,直接报答案了: 若点 P 满足PAB=BPC=CPA=120 ,则 PA+PB+PC 值最小,P 点称为该三角 形的费马点 接下来讨论 3 个问题: (1)
3、如何作三角形的费马点? (2)为什么是这个点? (3)费马点怎么考? 公众号:有一点数学 2 一、如何作费马点 问题要从初一学到的全等说起: (1)如图,分别以ABC 中的 AB、AC 为边,作等边ABD、等边ACE (2)连接 CD、BE,即有一组手拉手全等:ADCABE (3)记 CD、BE 交点为 P,点 P 即为费马点 (到这一步其实就可以了) (4) 以 BC 为边作等边BCF, 连接 AF, 必过点 P, 有PAB=BPC=CPA=120 F P P A BC D E E D CB A B A C A BC D E 在图三的模型里有结论: (1)BPD=60 ; (2)连接 AP,
4、AP 平分DPE 有这两个结论便足以说明PAB=BPC=CPA=120 原来在“手拉手全等”就已经 见过了呀,只是相逢何必曾相识! 但是在这里有个小小的要求,细心的同学会发现,这个图成立的一个必要条件是 BACBE 还剩下第 3 个问题!如果说费马点以前还算是课外的拓展内容,那现在,已经有人 把它搬上了中考舞台! 三、费马点怎么考? 直接考,要不然还能怎么考? 看看今年 2019 武汉中考填空最后一题: 问题背景:如图 1,将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到ADE,DE 与 BC 交于点 P,可 推出结论:PA+PC=PE 问题解决:如图 2,在MNG 中,MN=6,M=75,MG=4
5、2,点 O 是MNG 内一点, 则点 O 到MNG 三个顶点的距离和的最小值是_ O M NG 图2图1 A BC D E P 【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造 60的旋转,当然如果已经了解 了费马点问题,直接来解决就好了! 如图,以 MG 为边作等边MGH,连接 NH,则 NH 的值即为所求的点 O 到MNG 三个顶 点的距离和的最小值 (此处不再证明) H GN M 公众号:有一点数学 5 过点 H 作 HQNM 交 NM 延长线于 Q 点, 根据NMG=75,GMH=60,可得HMQ=45, MHQ 是等腰直角三角形, MQ=HQ=4, NH= 22 100 162 2
6、9NQHQ 4 6 4 Q H GN M 【练习】如图,在ABC 中,ACB=90,AB=AC=1,P 是ABC 内一点,求 PA+PB+PC 的最小值 A BC P 【分析】如图,以 AD 为边构造等边ACD,连接 BD,BD 的长即为 PA+PB+PC 的最小值至于点 P 的位置?这不重要! A BC D 如何求 BD?考虑到ABC 和ACD 都是特殊的三角形, 过点 D 作 DHBA 交 BA 的延长线于 H 点,根据勾股定理, 222 BDBHDH即可得出结果 H D CB A 公众号:有一点数学 6 【练习】如图,已知矩形 ABCD,AB=4,BC=6,点 M 为矩形内一点,点 E 为 BC 边上任意 一点,则 MA+MD+ME 的最小值为_ A BC D M E 【分析】依然构造 60旋转,将三条折线段转化为一条直线段 分别以 AD、AM 为边构造等边ADF、等边AMG,连接 FG, F G E M D CB A 易证AMDAGF,MD=GF ME+MA+MD=ME+EG+GF 过 F 作 FHBC 交 BC 于 H 点,线段 FH 的长即为所求的最小值 H F G E M D CB A