1、 - 1 - 广东省江门市普通高中 2017-2018学年高二数学下学期 4 月月考试题 120分钟 满分： 150分 一、 选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60 分） 1、 在复平面内，复数 ii211? 对应的点位于第（ ）象限 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2、点 M 的极坐标为 ? 35?，下列所给出的四个坐标中能表示点 M的坐标是（ ） A. 3， ? ?B. 5 4，?C. 5 23， ? ?D. ? ? 355 ?，3、 给出下面类比推理命题（其中 Q为有理数集， R为实数集， C为复数集）： “若 a,b babaR ? 0,则 ”类比推出“若 a,
2、b babaC ? 0,则 ”； “ 若 a,b,c,d dbcadicbiaR ? , 则复数 ” 类比推出 “ 若 a,b,c,d ,Q? 则dbcadcba ? ,22 ” ； “若 a,b babaR ? 0,则 ” 类比推出“ 若 a,b babaC ? 0,则 ”； 其中类比结论正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 4、若复数 iaaa )1()23( 2 ? 是纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A、 1 B、 2 C、 1或 2 D、 1? 5、 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查，数据如下表： 则学生的性别与作业量的大小有关系的把握大约为( ) A 9
3、9% B 95% C 90% D无充分根据 6、观察下列各式： 5 =3125， 65 =15625， 75 =78125， ? ，则 20115 的末四位数字为 （ ） A 3125 B 5625 C 0625 D 8125 7、 不等式 23 1 3x x a a? ? ? ? ?对 xR? 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （ ） A ( , 1 4, )? ? ? B ( , 2 5, )? ? ? .C 1,2 D ( ,1 2, )? ? 8、 曲线 C的极坐标方程为 222123 cos 4 sin? ? ?， P（ yx, ）是 曲线 C上的一动点则 yx 2?的最大值 为 A
4、 3 B 4 C 6 D 2 9、若回归直线方程中的回归系数 0b? ，则相关系数 r 满足 （ ） A =1r B =1r ? C =0r D无法确定 认为作业量大 认为作业量不大 总数 男生 18 9 27 女 生 8 15 23 总数 26 24 50 - 2 - 10、 设 0 , 0 ,1 xyxyA xy? ? ? ?, 11B xy?，则 ,AB的大小关系是 （ ） A AB? B AB? C AB? D AB? 11、 设 0a b ，则 ? ?2 11aab a a b? ?的最小值是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12、 若 0, 0, 2a b a b? ? ?
5、 ?，则下列不等式对一切满足条件的 ,ab恒成立的是 (写出所有正确命题的编号 )_ 1ab? ； 2ab?； 222ab?； 333ab?； 112ab? A B C D 二、 填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20 分） 13、已知直线? ? ? ty tx 42 21（ t 为参数）与曲线 22( 2) 1yx? ? ?相交于 AB，点 M（ -1， 2）到弦 AB的中点的距离为 _. 14、对 大 于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式： 22 1 3? 23 1 3 5? ? ? 24 1 3 5 7? ? ? ? 32 3 5? 33 7 9 11? ? ?
6、 34 13 15 17 19? ? ? ? 根据上述分解规律，则 25 1 3 5 7 9? ? ? ? ?, 若 3*()m m N? 的分解中最小的数是 73，则 m 的值为 _. 15、 已知圆锥曲线 2cos3sinxy?(? 是参数 )和定点 A(0， 3 )， F1、 F2是圆锥曲线的左、右焦点 ,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 AF2 的极坐标方程为 _. 16、 已知 aR? ，若关于 x 的方程 2 1 04x x a a? ? ? ? ?有实根，则 a 的取值范围是_. 三、 解答题（共 6小题，满分 70分） 17、 （本题 10分） 设函
7、数 1() 2fx x? ? ,a 、 b R? ， （）用分析法证明： 2( ) ( ) 3abffba?； （）设 4ab? ，求证： ( ), ( )af b bf a 中至少有一个大于 12 . - 3 - 18、（本题 12分） 已知函数 )(xf =|x-2| |? x-5| （ I）证明： 3? )(xf 3 ； （ II）求不等式 )(xf x2 8? x+15的解集 19、（本题 12分） 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨 )与相应的生产能耗 y (吨标准煤 )的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出 上
8、表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? ?y bx a?； (3)已知该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准煤试根据 (2)求出的线性 回归方程，预测生产 100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 ? 21、（本题 12分）已知 A（ 1， 0）、 B（ 1， 0） ,P 为圆 22( 3) ( 4) 4xy? ? ? ? 上的一点 ,求 22PA PB? 的最大值和最小值以及对应 P点的坐标 . 22、（本题 12分）如图， A 是以 BC 为直径的 O 上一点， AD BC? 于点 D ，过点 B 作 O- 4
9、- 的切线，与 CA 的延长线相交于点 EG， 是 AD 的中点，连结 CG 并 延长与 BE 相交于点 F ，延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . （）求证： BF EF? ； （）求证： PA 是 O 的切线； （）若 FG BF? ，且 O 的半径长为 32，求 BD 和 FG 的长度 . 答案 一、选择题： CDCB BD ABCBDA （）欲证 2( ) ( ) 3abffba? 即证 22 2 3baa b b a? 2分 只要证 22 422 2 5 3a b aba b ab? ? a 、 b R? ， 只要证 3（ 224a b ab? ） 222(2 2 5 )a
10、 b ab? ? ? 即 222a b ab? ， 4分 因为 222a b ab? 显然成立，故原不等式成立。 5分 （）假设 11( ) , ( )2 2 2 2aba f b b f aba? ? ? ?, 6分 由于 a 、 b R? , 2 2 , 2 2b a a b? ? ? ?, 两式相加得 : 4 2 2a b a b? ? ? ?,即 4ab? , 与条件 4ab? 矛盾 , 故 ( ), ( )af b bf a 中至少有一个大于 12 . 10分 - 5 - 18、（本题 10分） 已知函数 )(xf =|x-2| |? x-5| （ I）证明： 3? )(xf 3 ；
11、 （ II）求不等式 )(xf x2 8? x+15的解集 3 , 2 ,( ) | 2 | | 5 | 2 7 , 2 5 ,3 , 5 .xf x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? 当 2 5 , 3 2 7 3 .xx? ? ? ? ? ?时 所以 3 ( ) 3.fx? ? ? ?5 分 （ II）由（ I）可知， 当 22 , ( ) 8 1 5x f x x x? ? ? ?时 的解集为空集； 当 22 5 , ( ) 8 1 5 | 5 3 5 x f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?时 的 解 集 为； 当 25 , ( ) 8 1 5 | 5 6
12、 x f x x x x x? ? ? ? ? ?时 的 解 集 为. 综上，不等式 2( ) 8 1 5 | 5 3 6 .f x x x x x? ? ? ? ? ?的 解 集 为 ?1 2分 19、（本题 12分） 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨 )与相应的生产能耗 y (吨标准煤 )的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? ?y bx a?； (3)已知该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准煤试根据 (2
13、)求出的线性 回归方程，预测生产 100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 ? 解： (1)如下图 - 6 - (2) yxini i?1=3? 2.5+4? 3+5? 4+6? 4.5=66.5 x = 4 6543 ? =4.5， y = 4 5.4435.2 ? =3.5， ?ni xi12 =32 +42 +52 +62 =86 26 6 .5 4 4 .5 3 .5 6 6 .5 6 3? 0 .78 6 4 4 .5 8 6 8 1b ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 3 .5 0 .7 4 .5 0 .3 5a Y b X? ? ? ? ? ? 故线性回归方程为 y=
14、0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测，现在生产 100吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7? 100+0.35=70.35 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨 ) 20、（本题 12分） 已知集合 A=? ?1?zz ， （ 1）求集合 A 中复数 yixz ? 所对应的复平面内动点坐标 ),( yx 满足的关系？并在复平面内画出图形。 （ 2）若 Az? ，求 z 取值时， )1( iz ? 取得最大值、最小值，并求 )1( iz ? 的最大值、最小值。 （ 3）若 B=? ?2?aizz ，且 BA? ，求实数 a 的取值范围。 解：（ 1） 122 ?yx ? 6分 （
15、其中图 1分） （ 2）当 iz 2222 ? ， )1( iz ? 最小值 = 12? ? 9分 xyo ?- 7 - 当 iz 2222 ? ， )1( iz ? 最大值 = 12? ? 12分 （ 3）当 11 ? a 时， BA? ? 16分 21、（本题 12分）已知 A（ 1， 0）、 B（ 1， 0） ,P 为圆 22( 3) ( 4) 4xy? ? ? ? 上的一点 ,求 22PA PB? 的最大值和最小值以及对应 P点的坐标 . 解 : C 的参数方程为 3 2cos4 2sinxy ? ?(? 为参数 ), 22PA PB? = 2 2 2 2( 4 2 c o s ) (
16、 4 2 s i n ) ( 2 2 c o s ) ( 4 2 s i n )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 6 0 8 ( 3 c o s 4 s in ) 6 0 4 0 s in ( )? ? ? ? ? ? ? ? 其中 4cos 5? ,. 3sin 5? 当 sin( ) 1?时 , 22PA PB? 有最大值 100. sin( ) 1?,cos( ) 0? 3c o s c o s ( ) c o s ( ) c o s s i n ( ) s i n 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4s i n s i n ( ) s i
17、n ( ) c o s c o s ( ) s i n 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P点的坐标为 (2128,55). 当 sin( ) 1? ? , 22PA PB? 有最小值 20. sin( ) 1? ? ,cos( ) 0? , 22 ? ? k 53s i n)22co s ()co s (co s ? ? k 54co s)22s i n ()s i n (s i n ? ? k, P点的坐标为 (912,55). 22、（本题 12分）如图， A 是以 BC 为直径的 O 上一点， AD BC? 于点 D ，过点 B 作 O的切线， 与 CA 的延长线相交于点 EG， 是 AD 的中点，连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F ，延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P . （）求证： BF EF? ；（）求证： PA 是 O 的切线； （）若 FG BF? ，且 O 的半径长为 32，求 BD 和 FG 的长度 . - 8 -
