1、概率论概率论 第一节 随机变量随机变量概念的产生引入随机变量的意义随机变量的分类概率论概率论 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念表示，由此就产生了随机变量的概念.概率论概率论 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；四月份哈尔滨的最高温度；四月份哈尔滨的最高温度；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；概率论概率论 2、在
2、有些试验中，试验结果看来与数值无关，但、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就也就是说，是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的名字而叫号员的名字而叫号码一样，二者建码一样，二者建立了一种对应关立了一种对应关系系.概率论概率论 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数单值函数.e.X(e)sR这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！数不一样！概率论概率论（
3、1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率也有一定的概率.称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数X=X(e)为为随随量量机机变变简记为简记为 r.v.概率论概率论 而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字
4、母一般采用小写字母 x,y,z,w,n等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示概率论概率论 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 概率论概率论 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的
5、产生是概率论发展史上的重大事件大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律概率论概率论 我们将研究两类随机变量：我们将研究两类随机变量：如如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中，实际中常遇到的常遇到的“测量误差
6、测量误差”等等.三、随机变量的分类三、随机变量的分类概率论概率论 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点同，又有其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自的特点和描述方法.概率论概率论 解：分析解：分析例例1 一报童卖报，每份一报童卖报，每份0.15元，其成本为元，其成本为0.10元元.报馆每天给报童报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不份报，并规
7、定他不得把卖不出的报纸退回出的报纸退回.设设X为报童每天卖出的报纸份数，为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作X().概率论概率论 例8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P X m 0.95 的最小的m.进货数销售数概率论
8、概率论 求满足P X m 0.95 的最小的m.查泊松分布表得,032.0!5105kkkePXm 0.05也即068.0!595kkke于是得 m+1=10,1505.0!5mkkkem=9件或概率论概率论 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说 这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、小结概率论概率论 练习题二二.设在设在 15 只同类型零件中有只同类型零件中有 2 只是次品，只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽在其中
9、取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以样，以 X 表示取出次品的只数，表示取出次品的只数，（1）求）求 X 的的分布律，分布律，（2）画出分布律的图形。）画出分布律的图形。一一.一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为 1、2、3、4、在其中同时取三只，以、在其中同时取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分的分布律布律概率论概率论 三、一篮球运动员的投篮命中率为三、一篮球运动员的投篮命中率为 45%，以以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出写出 X 的分布律，并计算的分
10、布律，并计算 X 取偶数的概率。取偶数的概率。四、一大楼装有四、一大楼装有 5 个同类型的供水设备，个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率每个设备使用的概率为为 0.1，问在同一时刻，问在同一时刻（1）恰有）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？个设备被使用的概率是多少？（2）至少有）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？个设备被使用的概率是多少？（3）至多有）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少）至少有一个设备被使用的概率是多少？概率论概率论 解：解：4,3 XX的的所所有有可可能能取取
11、值值为为：3 XP341C 41 4 XP3423CC 43 一一.一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为 1、2、3、4、在其中同时取三只，以、在其中同时取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分的分布律布律概率论概率论 二二.设在设在 15 只同类型零件中有只同类型零件中有 2 只是次品，只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以样，以 X 表示取出次品的只数，表示取出次品的只数，（1）求）求 X 的的分布律，分布律，（2）画出分布律的图形。）画出分布律的图
12、形。解：解：2,1,0 XX的的所所有有可可能能取取值值为为：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522113CCC 351 概率论概率论 三、一篮球运动员的投篮命中率为三、一篮球运动员的投篮命中率为 45%，以以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出写出 X 的分布律，并计算的分布律，并计算 X 取偶数的概率。取偶数的概率。解：解：,2,1 XX的的所所有有可可能能取取值值为为：,2,1 iiAi次投篮命中，次投篮命中，表示第表示第kXP)(121kkAAAAP )()()()(121kkAPAPA
13、PAP ,2,1%45)(iAPi，则则相相互互独独立立，且且kkAAAA121 ,2,1%45%551 kk，概率论概率论 取偶数取偶数XP 12kkXP 112%45%55kk3111 概率论概率论 四、一大楼装有四、一大楼装有 5 个同类型的供水设备，个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率每个设备使用的概率为为 0.1，问在同一时刻，问在同一时刻（1）恰有）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？个设备被使用的概率是多少？（2）至少有）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？个设备被使用的概率是多少？（3）至多有）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？
14、个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少）至少有一个设备被使用的概率是多少？解：解：被被使使用用的的个个数数表表示示同同一一时时刻刻供供水水设设备备X)1.0,5(X则则kXP 5,1,09.01.055 kCkkk2 X3 X3 X1 X概率论概率论)1(2 XP 252259.01.0 C0729.0)2(3 XP543 XPXPXP00856.0)3(3 XP31 XP541 XPXP99954.0)4(1 XP11 XP01 XP40951.0 概率论概率论 第三节 随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义分布函数的性质小结 布置作业概率论概率论 一、分布函数的
15、定义 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示 X落在区间 内的,(x概率.xoxX 设 X 是一个 r.v，称)()(xXPxF)(x为 X 的分布函数,记作 F(x).概率论概率论(1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量.(2)F(x)是r.v X取值不大于 x 的概率.(3)对任意实数 x1x2，随机点落在区间(x1,x2 内的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.=P X x2 -P X x1=F(x2)-F(x1)1x2xox X概率论概率论 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可
16、以用高等数学的工具来研究随机变量.xxXPxF),()(xoxX概率论概率论 当 x0 时，X x =，故 F(x)=0例1设 随机变量 X 的分布律为当 0 x 1 时，F(x)=PX x=P(X=0)=31F(x)=P(X x)解0 x12 x Xkp0121 31 61 2求 X 的分布函数 F(x).概率论概率论 当 1 x 2 时，F(x)=PX=0+PX=1=+=316121当 x 2 时，F(x)=PX=0+PX=1+PX=2=10 x12 xx概率论概率论 故注意右连续下面我们从图形上来看一下.2,121,2110,310,0)(xxxxxF概率论概率论 31211202161
17、OOO1)(xF的分布函数图xy概率论概率论 设离散型 r.v X 的分布律是P X=xk =pk ,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=xxkkp即F(x)是 X 取xk 的诸值 的概率之和.x则其分布函数概率论概率论 二、分布函数的性质 ,上上是是一一个个不不减减函函数数在在 xF(1);,212121xFxFxxxx 都都有有且且即即对对 21F xF x1x2xox X 120P xXx概率论概率论 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数.也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)右连续，即)()(li
18、m00 xFxFxx(2)xoXx()F limxF x limxF x()F 0 1 概率论概率论 试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.例2 设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF 解 注意到函数 F(x)在 上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,2不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.或者0)(lim)(xFFx概率论概率论 第四节第四节 连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质概率密度的性质三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量小结小结 布
19、置作业布置作业概率论概率论 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间,对这对这种类型的随机变量种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样不能象离散型随机变量那样,以指定以指定它取每个值概率的方式它取每个值概率的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给而是通过给出所谓出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.概率论概率论 则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量,称称 f(x)为为 X 的的概率密概率密度度函数函数，简称为，简称为概率密度概率密度.一、一
20、、连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义 xF xf t dt 有有,使得对任意实数使得对任意实数 ,x 对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f(x),x P Xx连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续R概率论概率论 二、概率密度的性质二、概率密度的性质1 o0)(xf2 o1)(dxxf f(x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件概率论概率论 利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随
21、机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1,x2,(x1 x2),32112()xxP xXxf x dx 若若 f(x)在点在点 x 处连续处连续,则有则有4()().Fxf x 概率论概率论 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，的高度，并不反映并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa概率论概率论(1)连续型连
22、续型r.v取任一指定实数值取任一指定实数值a 的概率均为的概率均为0.即即这是因为这是因为请注意请注意:xaFaFaXxaPaXP 0 0.P Xa0,x 当当 时时得到得到 0.P Xa概率论概率论 注意 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如有 PaXbPaXb=PaX。在这里，事件X=a)并非不可能事件，但有PXa=0这就是说，若A是不可能事件，则有P(A)=0；反之，若P(A)0，并不一定意味着A是不可能事件。以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者，当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散型时指的
23、是它的分布律。概率论概率论 1.均匀分布均匀分布则称则称X在区间在区间(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布，X U(a,b)(xfab其它,0,1)(bxaabxf三、三种重要的连续型随机变量三、三种重要的连续型随机变量若若 r.v X的概率密度为：的概率密度为：记作记作概率论概率论 abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc 1,),(.1),(有有为的区间为的区间对于长度对于长度若若 bxbxaabaxaxxXPxFX1,0)(.2的分布函数为：的分布函数为：概率论概率论 均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五
24、入，小数点后某入，小数点后某一位小数引入的误差；一位小数引入的误差；概率论概率论 例例2 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班分钟来一班车，即车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的之间的均匀随机变量均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解解依题意，依题意，X U(0,30)以以7:00为起点为起点0，以分为单位，以分为单位其它,0300,301)(xxf概率论概率论 为使候车时间为使候车时间
25、X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，概率论概率论 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命寿命.2.指数分布指数分布 若若 r.v X具有概
26、率密度具有概率密度 1,0,0,x exfx 其其它它,0 其其中中为常数为常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.概率论概率论 其它其它,00,1)(/xexXPxFx 若若X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布,则其则其分布函数分布函数为为事实上事实上,xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 0 xdt 0 x 当当 时时,0 x 当当 时时,xF xf t dt 00dt 01txedt 概率论概率论 3.正态分布正态分布 若连续型若连续型 r.v X 的的概率密度为概率密度为 xexfx,21)(222)(记作记作其中其中 和和 (0)
27、都是常数都是常数,则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布.2(,)XN 概率论概率论 :具有下述性质具有下述性质xf ;12 dxxf ;01 xf事实上事实上,22212x fx dxedx 22212x edx 222022x edx 1概率论概率论,2xt 令令则有则有 dxxfdtet202 122 曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称；fx 3 P hX P Xh 0h 202tedt 概率论概率论 xexfx,21)(222)(函数函数 在在 上单调增加上单调增加,在在 上上 fx 4(,)单调减少单调减少,在在 取得最大值；取得最大值；x 2
28、2()23,2x xfxex x=为为 f(x)的两个拐点的横坐标；的两个拐点的横坐标；5 22()2223(),2x xfxex 概率论概率论 当当x 时，时，f(x)0.xexfx,21)(222)(f(x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 6 根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图的概率密度曲线图.概率论概率论 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N概率论概率论 设设 X ,),(2NX 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分
29、布 的分布函数的分布函数),(2N 2 22()21,2txF xedtx 概率论概率论 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定，当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布概率论概率论 1,0的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准正态分布标准正态分布3 221,2txxedtx 221,2x xex 概率论概率论)(x)(x 概率论概率论 的性质的性质:;2101
30、 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事实上事实上 ,221()2txxedtx 概率论概率论 22112uxedu x 1 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布.定理定理1 .1,0,2NXZNX 则则若若2212uxutedu 概率论概率论 .1,0,2NXZNX 则则若若证证Z Z 的分布函数为的分布函数为 dtexXPxXPxZPxt 22221,tu令令则有则有 duexZPxu 2221 x 概
31、率论概率论 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布函数制只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.1,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是概率论概率论 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时,(x)的值的值.4概率论概率论),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)
32、()(abXYN(0,1)则则概率论概率论 由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974 3 3 准则准则5概率论概率论 将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.
33、0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”.XYN(0,1)时，时，2(,)XN 概率论概率论 标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 0,1,XN设设若数若数 满足条件满足条件z ,01P Xz则称点则称点 为为z标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点.)(x 1 zz zz 11P Xz 1 P Xz P Xz 6概率论概率论 解解P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h.看一个应用正态分布的例子看一
34、个应用正态分布的例子:例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求概率论概率论 因为因为 XN(170,62),),故故 P(X0.996170h因而因而 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.)1,0(6170NX 所以所以 .17017066XhP 1706h 概率论概率论 这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布布.即均匀分布、指数分布、正态分布即均匀分布、指数分布、正态分布.其中正态分布其中正态分布的应的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.四、小结四、小结
