1、天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2/8 天津一中 2016-2017-2 高二年级数学学科（理科）模块质量调查试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共100 分，考试用时 90 分钟。第I 卷 1 页，第II 卷 至 2 页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在 试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利! 一、选择题： 1设i 是虚数单位，则复数 3 2 i i - A i - B 3i - Ci D3i 2已知函数 ( ) f x 的导函数为 ( ) f x ，且满足 ( ) 2 (1) ln f x xf x = + ，则 (1) f = A e -
2、B1 C 1 - De 3设命题 p ： 2 , 2 n n N n $ ，则 p 为 A 2 , 2 n n N n “ B 2 , 2 n n N n $ C 2 , 2 n n N n “ D 2 , 2 n n N n $ 4“ 1 a ”是“函数 ( ) cos f x a x x = + 在R 上单调递增”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5用数学归纳法证明“ ( 1)( 2) ( ) 2 1 3 (2 1) n n n n n n + + + = - L L ”，从“ k 到 1 k + ”左端需增乘的代数式为 A2 1 k + B2
3、(2 1) k + C 1 1 2 + + k k D 1 3 2 + + k k 6设函数 2 ( ) ln f x x x = + ，则 A 1 2 x = 为函数 ( ) f x 的极大值点 B 1 2 x = 为函数 ( ) f x 的极小值点 C 2 x = 为函数 ( ) f x 的极大值点 D 2 x = 为函数 ( ) f x 的极小值点 7函数 3 2 ( ) f x x bx cx d = + + + 图象如图，则函数 2 2 2 log ( ) 3 3 c y x bx = + + 的单调递减区 间为 A( , 2) - - B 1 ( , )2 - C 1 ( 2, )
4、2 - D 1( ,2 +） 8已知函数 3 2 1 ( ) 5 3 f x x x ax = - + - 在区间 1,2 - 上不单调，则实数a 的取值范围是 A( , 3 - - B( ) 3,1 - C ) 1,+ D( ) , 3 1, - - + 9已知 3 ( ) 3 f x x x m = - + 在区间 0,2 上任取三个数 , , a b c ，均存在以 ( ), ( ), ( ) f a f b f c 为边长的三角形，则m 的取值范围是 A 2 m B 4 m C 6 m D 8 m 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3/8 10已知函数 ( ) 2 x f x
5、= ， 2 ( ) , g x x ax a R = + ，对于不相等的实数 1 2 , x x ，设 1 2 1 2 ( ) ( ) f x f x m x x - = - ， 1 2 1 2 ( ) ( ) g x g x n x x - = - ，现有如下命题 对于任意不相等的实数 1 2 , x x ，都有 0 m 对于任意的a 及任意不相等的实数 1 2 , x x ，都有 0 n 对于任意的a ，存在不相等的实数 1 2 , x x ，使得m n = 对于任意的a ，存在不相等的实数 1 2 , x x ，使得m n = - 其中真命题为 A B C D 二、填空题： 11观察下列
6、各式： 0 0 1 4 C = 0 1 1 3 3 4 C C + = 0 1 2 2 5 5 5 4 ? C C C + + = 0 1 2 3 3 7 7 7 7 4 C C C C + + + = 照此规律，当n N * 时， 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n C C C C - - - - - + + + + = L _ 12已知二次函数 2 ( ) 4 f x x = - + ，则它与 x 轴所围成的图形面积为_ 13已知 ( )( ) : 4 4, : 2 3 0 p a x a q x x - ，在( ) 0,2 上有极值，则实数a 的取值范围
7、是_ 15已知函数 ( ) f x 的定义域为R ， ( 1) 2 f - = ，对于任意的 , ( ) 2 x R f x ，则 ( ) 2 4 f x x + 的解集为_ 16若不等式 2 2 ( ) ( ln ) x a x a m - + - 对于任意的 ( ) , 0, x R a + 恒成立，则实数m 的取值范围是_ 三、解答题： 17设数列 n a 满足 1 2 3 a = - ，其前n 项和为 n S ，满足 1 1 ,( 2) 2 n n S n S - = - + （）求 1 2 3 4 , , , S S S S 的值； （）猜想 n S 的表达式并用数学归纳法证明。天津
8、市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4/8 18已知函数 x x a x x f ln ) ( + + = ，a R . （）若 ( ) f x 在 1 x = 处取得极值，求a 的值； （）若 ) (x f 在区间 ) 2 , 1 ( 上单调递增, 求a 的取值范围； （）讨论函数 ( ) ( ) a g x f x x = - 的单调性。 19函数 3 ln( 1), 0 ( ) 1 , 0 3 a x x f x x ax x + = - 时，求函数 ( ) f x 的单调区间和极值； （）当a 在 R 上变化时，讨论函数 ( ) f x 与 ( ) g x 的图象公共点的个数。 20
9、已知函数 ln ( ) 1 x x f x x = + 和直线 : ( 1) l y m x = - （）当曲线 ( ) y f x = 在点(1, (1) f 处的切线与直线l 垂直时，求直线l 的方程； （）若对于任意的 ) 1, , ( ) ( 1) x f x m x + - 恒成立，求m 的取值范围； （）求证： 4 2 1 ln 2 1 4 1 n i i n i = + 15( 1, ) - + 16 1, 2 - 三、解答题： 17解： 3 2 1 1 - = = a S 4 3 2 3 2 1 2 - = + - - = S 5 4 2 4 3 1 3 - = + - - =
10、 S 6 5 2 5 4 1 4 - = + - - = S 猜想： ) ( 2 1 * N n n n S n + + - = 证明：n=1 时 3 2 1 - = S 符合 假设 n=k 时结论成立 2 1 + + - = k k S k 当 n=k+1 时 3 2 2 1 1 + + - = + - = + k k S S k k 由知： 2 1 + + - = n n S n天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6/8 18解： （1） x x a x f 1 1 ) ( 2 + - = 0 1 1 ) 1 ( = + - = a f a=2 （2） 0 1 1 ) ( 2 + -
11、 = x x a x f 在（1，2）上恒成立 x x a + 2 2 a （3） x a x x a x g - + - = 1 1 ) ( 2 2 2 ) 1 ( ) ( x a x a x x g - - + = 3 2 2 2 1 ) ( x a x a x x g + + - = 0 2 ) 1 ( ) ( 3 = + - = x a x a x g a a x - = 1 2 1 a 时 0 ) ( x g ) (x g 在 ) , 0 ( + 上单调增 0 a 时 0 ) ( ， ( ) 0 1 a f x x = + ， ( ) f x 在0 ) + ， 递增 当 0 x ，
12、， ，f (x)递增； 故 ( ) f x 在( ) a - - ， ，0 ) + ， 递增，( 0) a - ， 递减，（不必说明连续性） 故 2 ( ) (0) 0 ( ) ( ) 3 f x f f x f a a a = = = - = 极小值 极大值 ， 4 分 ()解：即讨论 ( ) ( ) ( ) h x g x f x = - 的零点的个数， (0) 0 h = ，故必有一个零点为 0 x = . 当 0 x 时， ( ) ( ) ( ) 1 ln( 1) x h x g x f x e a x = - = - - + ， ( ) 1 x a h x e x = - + x )
13、 1 2 0 ( a a ， - a a - 1 2 ) , 1 2 ( + - a a ) ( x g ) (x g + - 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7/8 ()若 a1，则 1 1 x a e x ， ( ) h x 在(0, ) + 递增， ( ) (0) 0 h x h = ，故此时 ( ) h x 在(0, ) + 无零点；5 分 ()若 a 1， ( ) 1 x a h x e x = - + 在(0, ) + 递增， ( ) (0) 1 h x h a = - ，1 0 a - 对 0 x = ， ( ) h x 在( 0) -， 无零点；8 分 ()若1 0
14、a + ，即 1 a - ，则 0 ( 0) x $ -， 使 0 ( ) 0 h x = ， 进而 ( ) h x 在 0 ( ) x -， 递减，在 0 ( 0) x ， 递增， 0 ( ) (0) 0 h x h 时有三个公 共点11 分 20解： （） 2 1 ln ( ) ( 1) x x f x x + + = + 2 分 1 (1) 2 f = ，于是 2 m = - ， 直线 l 的方程为 2 2 0 x y + - = 3 分 （） ln 1 ( ) , 1, ), ( ) ( 1), ln ( ) 1 x x f x x f x m x x m x x x = “ + -
15、- + 即 ， 设 1 ( ) ln ( ) g x x m x x = - - ，即 1, ), ( ) 0 x g x “ + 2 2 2 1 1 ( ) (1 ) mx x m g x m x x x - + - = - + = 6 分 0 m ，存在 x 使 ( ) 0 g x ， ( ) (1) 0 g x g = ，这与题设 ( ) 0 g x 矛盾7 分 若 0 m ，方程 2 0 mx x m - + - = 的判别式 2 1 4m D = - ， 当 0 D ，即 1 2 m 时， ( ) 0 g x ， ( ) g x 在(1, ) + 上单调递减， ( ) (1) 0 g x g = ，即不等式成立8 分 当 1 0 2 m 单调递增， ( ) (1) 0 g x g = 与题设矛盾， 综上所述， 1 2 m 10 分 （）由（）知，当 1 x 时， 1 2 m = 时， 1 1 ln ( ) 2 x x x - 成立 不妨令 2 1 ,( ) 2 1 k x k k * + = - N ， 所以 2 2 1 1 2 1 2 1 4 ( ) 2 1 2 2 1 2 1 4 1 k k k k k k k k + + - - = - - + - ， 2 1 4 ln(2 1) ln(2 1) ,( ) 4 4 1 k k k k k * + - - - N
