1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（B） 第第 14 单元单元 选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一一、简答题简答题 1在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方
2、程是 2cos sin x y （是参数） 以原点O为极点， 以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程是 sin()2 3 （1）求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若,P Q分别为 1 C， 2 C上的动点，求PQ的最小值 2已知圆C的圆心坐标为( ,2) a，半径为4，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()1 3 （1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程； （2）若圆C与直线l交于,M N两点，且4MN ，求实数a的值 3已知直线l的参数方程为 4 3 xt yta （t为参数） ，
3、在直角坐标系xOy中，以O点为极点，x轴 的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为 2 4 cos5 （1）求圆M的直角坐标方程； （2）若直线l截圆M所得弦长为4 2，求实数a的值 4已知曲线C的参数方程为 12cos 22sin x y (为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半 轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为(2cossin )1，求直线l被曲线C截得的弦长 5若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的 极坐标方程是 2 9cos =
4、sin （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l的参数方程为 1 1 2 3 2 xt yt （t为参数） ，(1,0)P，当直线l与曲线C相交于,A B两点， 求 2 | | AB PA PB 6在极坐标系中，圆C的极坐标方程为 2 2 (cos3sin )8若以极点O为原点，极轴所 在直线为x轴正半轴，两种坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系 （1）求圆C的参数方程； （2）在直角坐标系中，点( , )P x y是圆C上动点，试求x y 的最大值，并求出此时点P的直角坐 标 7在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 2 2 2 33 1
5、4 1 t x t t y t （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 6 sin2cos （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）过曲线C上的任意一点M作与l夹角为 3 的直线，交直线l于点N，求MN的最大值与最小 值 8在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ，直线l与曲线 C： 22 21xy交于A，B两点 （1）求AB的长； （2）若点P的坐标为( 1,2)，求点P到线段AB中点M的距离 9在极坐标系中，射线 :(0) 3 l与圆:2C交于点A（不与极点O重合） ，
6、椭圆Q的极 坐标方程为 2 2 36 45sin ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，两种 坐标系中取相同的长度单位 （1）求点A的直角坐标和椭圆Q的参数方程； （2）若E为椭圆Q的右顶点，F为椭圆Q上任意一点，求AE AF 的取值范围 10在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 12 22 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点， 以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2sin() 4 （1）求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C， 2 C交于,A B两点，P点的坐标为(3,4)，求 11 PAPB 的
7、值 高三数学卷（B） 第第 14 单元单元 选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 答答 案案 一一、简答题简答题 1 【答案】 （1） 2 2 1: 1 4 x Cy， 2: 3 40Cxy； （2） 13 2 2 【解析】 （1）由曲线 1 C的参数方程是 2cos sin x y （是参数） ， 可得 cos 2 sin x y ，两式两边平方相加可得 2 2 1 4 x y， 即曲线 1 C的普通方程为 2 2 1 4 x y 由曲线 2 C的极坐标方程是 1 sin() 32 ，可得 13 ( sincos )2 22 ， 将cosx，siny代入，得到曲线 2 C的直角
8、坐标方程 340 xy （2）由题意知，PQ的最小值即为曲线 1 C上的动点P到曲线 2 C的距离的最小值 设曲线 1 C上的动点(2cos ,sin)P， 则点P到直线 2: 3 40Cxy的距离为： 2 3cossin413cos()4 22 d ，其中 3 tan 6 即当cos()1 时， min 41313 2 22 d ， 故PQ的最小值为 13 2 2 2 【答案】 （1） 4cos : 24sin xa C y （为参数） ，:320lxy； （2）4a 【解析】 （1）圆C的圆心坐标为( ,2)a，半径为4， 圆C的参数方程为 4cos 24sin xa y （为参数） ，
9、直线l的极坐标方程为 sin()1 3 ，可得 13 sincos1 22 ， 直线l的直角坐标方程为320 xy （2）由题意知，圆心( ,2)a到直线l的距离为 3223 22 aa d ， 4MN ， 2 222 3 ()16412 42 MNa dr，解得4a 3 【答案】 （1） 22 (2)9xy； （2） 1 4 a 或 11 4 a 【解析】 （1） 22222 4 cos545(2)9xyxxy， 圆M的直角坐标方程为 22 (2)9xy （2）把直线l的参数方程 4 3 xt yta （t为参数）化为普通方程得3440 xya， 直线l截圆M所得弦长为4 2， 则圆M的圆心
10、(2,0)M到直线l的距离 22 |64 |1 3(2 2)1 54 a da 或 11 4 a 4 【答案】 （1） 2 2 cos4 sin10 ； （2） 2 95 5 【解析】 （1）曲线C的参数方程为 12cos 22sin x y (为参数)， 曲线C的普通方程为 22 (1)(2)4xy， 将 cos sin x y 代入并化简得 2 2 cos4 sin10 即曲线C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin10 （2）将 cos sin x y 代入直线l的极坐标方程,可得l的直角坐标方程为2 10 xy ， 圆心( 1,2)C 到直线l的距离为 | 22 1|5 55 d ，
11、 直线l被曲线C截得的弦长为 12 95 2 4 55 5 【答案】 （1） 2 9yx，该曲线是以 9 ( ,0) 4 为焦点，开口向右的抛物线； （2）7 【解析】 （1） 2 9cos = sin ， 22 sin9 cos， 曲线C的直角坐标方程为 2 9yx 该曲线是以 9 ( ,0) 4 为焦点，开口向右的抛物线 （2）将直线l的参数方程 1 1 2 3 2 xt yt 代入 2 9yx，可得 2 6120tt 设关于t的一元二次方程 2 6120tt的两根为1 2 ,t t，则 12 6tt ， 1 2 12t t ， 222 12121 2 |()()484ABttttt t，
12、 1 2 | | | 12PAPBt t， 2 |84 7 |12 AB PA PB 6 【答案】 （1） 12cos 32sin x y （为参数） ； （2）当 4 时，即点P的直角坐标为(2, 2)时， xy 取到最大值为0 【解析】 （1） 2 2 (cos3sin )8，且cos ,sinxy， 22 268xyxy，即 22 (1)(3)2xy为圆C的直角坐标方程， 圆C的参数方程为 12cos 32sin x y （为参数） （2）由（1）可得 22cos2sin22sin() 4 xy ， 当 4 时，即点P的直角坐标为(2, 2)时，xy取到最大值为0 7 【答案】 （1）
13、22 :1(3) 94 xy Cx ，: 2100l xy； （2） 最大值为2 15， 最小值为 2 15 3 【解析】 （1） 2 2 2 1 31 : 2 21 xt t C yt t ，平方相加后得 22 1 94 xy ， 又 2 22 3 36 3( 3,3 11 t x tt ， 即曲线C的普通方程为 22 1(3) 94 xy x ， 直线l的极坐标方程为 10 2sincos ，即cos2 sin10， 直线l的直角坐标方程为2100 xy （2）点M曲线C上的任意一点，设点M的坐标为(3cos ,2sin)， 则点M到直线l的距离为 5 3cos4sin10 5 d ， 过
14、点M作与l夹角为 3 的直线，交直线l于点N， 2 15 5sin() 10 15 sin 3 d MN，其中 3 tan 4 当sin()1时，MN取到最小值为 2 15 3 ， 当sin()1 时，MN取到最大值为2 15 8 【答案】 （1）2 34； （2）5 2 【解析】 （1）直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ， 代入曲线C的方程得 2 10 2160tt 设点A，B对应的参数分别为 12 tt，则 12 10 2tt， 1 2 16t t ， 2 12121 2 | |()42 34ABtttttt （2）点P在直线l上，且对应的参数 3 0t
15、 ，而AB中点M对应参数为 12 5 2 2 tt ， 由参数t的几何意义，可得点P到线段AB中点M的距离| 5 2PM 9 【答案】 （1）(1, 3)， 3cos 2sin x y （为参数） ； （2）1 4 3,14 3 【解析】 （1）射线 :(0) 3 l与圆:2C交于点 (2,) 3 A， 点A的直角坐标(1, 3)， 椭圆Q的极坐标方程为 2 2 36 45sin ，直角坐标方程为 22 1 94 xy ， 参数方程为 3cos 2sin x y （为参数） （2）设(3cos ,2sin )F， (3,0)E，(2,3)AE ，(3cos1,2sin3)AF， 2(3cos1
16、)3(2sin3)4 3cos() 1 6 AE AF， AE AF 的取值范围是1 4 3,14 3 10 【答案】 （1） 1: 10Cxy ， 22 2: 220Cxyxy； （2） 7 2 23 【解析】 （1）曲线 1 C的参数方程为 12 22 xt yt （t为参数） ， 消去参数t可得普通方程10 xy ， 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2sin() 4 ，可得 2 2 sin2 cos， 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 220 xyxy （2）P点的坐标为(3,4)，且将其代入直线 1 C的普通方程，可得3 4 1 0 ， P点在直线 1: 10Cxy 上， 可将直线 1 C的参数方程化为标准方程 2 3 2 2 4 2 xt yt （ t 为参数） ， 将其代入曲线 2 C的直角坐标方程可得 2 7 2230tt ， 12 7 2tt ， 12 23t t ， 即 1212 12 1212 11117 2 23 tttt PAPB t tttt t
