1、第第 十十 四四 章章 压压 杆杆 稳稳 定定 14 1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 14 2 两端绞支细长压杆的临界压力两端绞支细长压杆的临界压力 14 3 其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力 14 4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围?经验公式经验公式 14 5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核 14 6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 14 1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 第二章中，轴向拉，压杆的强度条件为第二章中，轴向拉，压杆的强度条件为 Nmax?max?A例例：一长为：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为的钢板尺，横截面尺寸为 20mm
2、?1mm。钢的许用应力为钢的许用应力为?=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴向压力为承受的轴向压力为 P=Nmax=A?=3.92 KN 实际，当压力不到实际，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见，时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度 ，而是与，而是与 受压时变弯受压时变弯 有关。有关。结论结论：要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆的要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆的 抗弯抗弯 刚度。刚度。原因原因：压杆在制作时其轴线存在初曲率；压杆在制作时其轴线存在初曲率；作用在压杆上的
3、外力作用线不可能毫无偏差的与杆的作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的 轴线相重合；轴线相重合；压杆的材料不可避免地存在不均匀性。压杆的材料不可避免地存在不均匀性。将这些因素都用外加压力的偏心来模拟。受偏心压将这些因素都用外加压力的偏心来模拟。受偏心压 力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的次要变形力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的次要变形 弯曲变形弯曲变形 将随压力的增大而加速增长，将随压力的增大而加速增长，并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。中心受压直杆：中心受压直杆：杆由均貭材料制成，轴线为直线，杆由均貭材料制成，轴线为直线
4、，外力的作用线与压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲外力的作用线与压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲 的初始因素）的初始因素）研究方法：研究方法：在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯 曲变形，然后撤去横向力曲变形，然后撤去横向力。P P?PcrQ P(a)P?Pcr(b)当当 P小于某一临界值小于某一临界值 Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复，撤去横向力后，杆的轴线将恢复 其原来的直线平衡形态（图其原来的直线平衡形态（图 b），压杆在直线形态下的平），压杆在直线形态下
5、的平 衡是衡是 稳定平衡稳定平衡。P P?PcrP?PcrQ P(a)P?PcrP?Pcr(b)(c)当当 P增大到一定的临界值增大到一定的临界值 Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持，撤去横向力后，杆的轴线将保持 弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图 c），），压杆在原来直线形态下的平衡是压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡不稳定平衡。14 2 两端绞支细长压杆的临界压力两端绞支细长压杆的临界压力 两端两端 球形绞支球形绞支，长为，长为 l 的等截面的等截面 细长细长 中心受压直杆中心受压直杆 x PcrA y ly l2P
6、crm m M(x)?Pcrym y B x x m y B y 压杆任一压杆任一 x 截面沿截面沿 y 方向的方向的 位移为位移为 y=f(x)m M(x)?Pcryx B m 该截面的弯矩为该截面的弯矩为 y M(x)?Pcry杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为 EIy?M(x)?Pcryy EIy?M(x)?PcryM(x)?Pcry其中其中 I 为压杆横截面的为压杆横截面的 m x B m 最小形心主惯性矩。最小形心主惯性矩。y 令令 Pcr2?kEI则有二阶常系数线性微分方程则有二阶常系数线性微分方程 y?ky?02y?ky?0Pcr?2kEI其通解为其通解为 2x P
7、cry?Asin kx?Bcos kxA，B，k 三个待定常数由该挠三个待定常数由该挠 曲线的三个边界条件确定。曲线的三个边界条件确定。y ll2y?Asin kx?Bcos kx边界条件：边界条件：x Pcrx?olx?2y?0y?y ll2得得 B=0 A?klsin2y?Asinkx?klsin2sinkxx Pcr边界条件：边界条件：x?ly?0ll2kl0?sinkl?2 coskl2sin2y kl0?sinkl?2 coskl2sin2要想压杆在微弯状态下要想压杆在微弯状态下 平衡只有平衡只有 x Pcrklcos?02y ll2kln?(n?1,3,5?)22kln?(n?1,
8、3,5?)22其最小解为其最小解为 n=1 的解的解 x PcrPcr?k2EIll2k?l?Pcr?l?EIy k?l?即得即得 Pcr?l?EIx PcrEI?Pcr?2l这就是两端绞支等截面细长中心这就是两端绞支等截面细长中心 受压直杆临界力的计算公式受压直杆临界力的计算公式 （欧拉公式）（欧拉公式）y 2ll2EI?Pcr?2l2y?klsin2sinkx当当 kl?时，时，klsin?sin?122y?sin挠曲线方程为挠曲线方程为?xl挠曲线为半波正弦曲线。挠曲线为半波正弦曲线。14 3 其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力 1 两端绞支两端绞支 Pcr
9、EI?l22Pcr2 一端固定另绞支端一端固定另绞支端 B C 为拐点为拐点 lA 0.7 lEI?Pcr?2(0.7 l)2c 3 两端固定两端固定 PcrC，D 为拐点为拐点 B D EIPcr?2(0.5 l)2lA 0.5 lc 4 一端固定另端自由一端固定另端自由 PcrPcrEIPcr?2(2 l)2l2l表表14 1 各种支承约束条件下等截面细长压杆各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式 支承情况支承情况 两端绞支两端绞支 一端固定另绞支端一端固定另绞支端 两端固定两端固定 临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式 PcrEI?2l2长度系数长度系数?PcrE
10、I?2(0.7l)2EIPcr?2(0.5l)2一端固定另端自由一端固定另端自由 PcrEI?2(2l)2支承情况支承情况 两端绞支两端绞支 一端固定另绞支端一端固定另绞支端 两端固定两端固定 临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式 Pcr2EI?2l长度系数长度系数?=1?=0.7?=0.5 PcrEI?2(0.7l)2EIPcr?2(0.5l)2一端固定另端自由一端固定另端自由 PcrEI?2(2l)2?=2 欧拉公式欧拉公式 的统一形式的统一形式 EIPcr?2(l)2?为压杆的长度系数为压杆的长度系数 EIPcr?2(l)2?为长度系数为长度系数?l 为相当长度为相当长度 讨论讨论（1）相当
11、长度）相当长度?l 的物理意义的物理意义 1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当 长度长度?l。2?l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于 半波正弦曲线的一段长度半波正弦曲线的一段长度 EIPcr?2(l)2?为长度系数为长度系数?l 为相当长度为相当长度（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。应取最小的形心主惯
12、性矩。取取 Iy，x y z Iz 中小的一个计算临界力。中小的一个计算临界力。EIPcr?2(l)2?为长度系数为长度系数?l 为相当长度为相当长度 2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别 计算杆在不同方向失稳时的临界力。计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对为其相应的对 中性轴的惯性矩。中性轴的惯性矩。x y z 分别用分别用 Iy，Iz 计算出两个临界力。最后取小的一个作为压计算出两个临界力。最后取小的一个作为压 杆的临界力。杆的临界力。例题例题：由由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。钢加工成的工字型截面杆，
13、两端为柱形绞。在在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，?z=1，长度为长度为 l1。在。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定定?y=0.6，长度为，长度为 l2 。求。求 Pcr。6 12 z 24 6 y 22 解：解：12 6 在在 xy平面内失稳时，平面内失稳时，z 为中性轴为中性轴 z 24 1133Iz?12?24?2?(?22?6)12126 y 22?2(22?6?15)22EIzEIz?Pcr1?22(zl1)(1?l1)2在在 xz平面内失稳时，平面内失稳时，y 为中性轴为中
14、性轴 6 12 z 24 1133Iy?(24?12)?2?6?221212y 6 EIyEIy?Pcr2?22(yl2)(0.6l2)2222 Pcr?minPcr1,Pcr2 14 4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围?经验公式经验公式 一，欧拉公式（临界应力欧拉公式）一，欧拉公式（临界应力欧拉公式）压杆受临界力压杆受临界力Pcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡 时，横截面上的压应力可按时，横截面上的压应力可按?=P/A 计算。计算。按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的
15、应力为上的应力为 EI?Pcr?cr?2A(?l)Ai?IA2为压杆横截面对中性轴的惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径 EIE?Pcr2?cr?22i2A(?l)A(?l)(?l/i)222E?Pcr?cr?2A(?l/i)l?i2?称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。crE?22PCr?A?Cr?越大，相应的越大，相应的?cr 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应若压杆在不同平面内失稳时的
16、支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度分别计算在各平面内失稳时的柔度?，并按较大者计算，并按较大者计算 压杆的临界应力压杆的临界应力?cr。二，二，欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 只有在只有在?cr?P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 临界力临界力 Pcr（临界应力（临界应力?cr）。）。E?cr?P2?或或 2?E?E?1?P?P21，当，当?P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用 欧拉公式。欧拉公式。2，当当?P 但大于某一数值但大于某一数值?S(?b)的压杆（小柔度压杆），的压杆（小柔度压杆
17、），不能应用欧拉公式。用经验公式不能应用欧拉公式。用经验公式?P 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，钢，可取可取 E=206MPa，?P=200MPa，得，得?P?E?P?1003，常用的经验公式（，常用的经验公式（直线公式直线公式 和和 抛物线公式抛物线公式）（1）直线公式）直线公式?cr?a?b?式中：式中：a 和和 b是与材料有关的常数，可查表得出。是与材料有关的常数，可查表得出。但是但是?S (?b)是应用是应用 直线公式直线公式 的最低线。的最低线。对于塑性材料对于塑性材料 a?S?2?b2，抛物线公式，抛物线公式?cr?a1?b
18、1?2式中：式中：a1 和和 b1是与材料有关的常数，可查表得出。是与材料有关的常数，可查表得出。3，当，当?S(?b)时，按强度问题计算时，按强度问题计算 crE?22cr右图称为欧拉临界右图称为欧拉临界 应力曲线。实线部分是应力曲线。实线部分是 欧拉公式适用范围的曲线欧拉公式适用范围的曲线 ，虚线部分无意义。，虚线部分无意义。PO Ecr?22?Pl(?)i三，压杆的临界应力总图三，压杆的临界应力总图 cr?Cr?SsP?cr?a?b?E?cr?2?2o?S?Pl(?)i例题例题：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材 料及直径相等。问哪个杆
19、先失稳。料及直径相等。问哪个杆先失稳。P P P a A 1.3a B 1.6a c d P P P a A 1.3a B 1.6a c d 解：解：杆杆A：?=2 l?2 al?1.3 a杆杆B：?=1 杆杆C：?=0.7 l?0.7?1.6 a?1.12 aA杆先失稳杆先失稳 例题例题：截面为圆形，直径为：截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截两端固定的细长压杆和截 面为正方形，边长为面为正方形，边长为d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度两端绞支的细长压杆，材料及柔度 都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。解：解：圆形截面杆：圆形截面杆：i1?1
20、4dId64?2A41d4l0.5 l12 l1?1?()?i1d 4d正方形截面杆：正方形截面杆：i2?14dId12?2A12dl1?l22 3 l2?2?()?di2d12由由?1=?2 得得 2 l12 3l2?dd所以所以 l1?3l2l1?3l22E1?E222 l11?d222 3 l22?d2?EEE11d2d?cr1?2?22?14l112 l2?EE22d?cr2?Cr122?212l212dPcr1A1cr1A14?24dPcr2A2cr2A2222例题例题：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量 E?2.03?105MPa,P?3
21、00 MPa，杆的直径，杆的直径d=100mm，杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？，杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？解：解：?P?E?P?87.1di?0.025 m4?1?li?40?l用欧拉公式计算该杆的临界力的条件为用欧拉公式计算该杆的临界力的条件为?P40?l?81.7l?2.04 m例题例题：压杆截面如图所示。若绕压杆截面如图所示。若绕 y轴失稳可视为两端固定，轴失稳可视为两端固定，若绕若绕 z轴失稳可视为两端绞支。已知，杆长轴失稳可视为两端绞支。已知，杆长 l=1m,材料的弹性材料的弹性 模量模量E=200GPa，?P=200MPa。求压杆的临界应力。求压杆的
22、临界应力。z y 30mm z 解：解：y?P?E?P?9930mm 1(0.03?0.023)Iy12?0.0058miy?A0.03?0.02Iz?0.0087miz?Ay?0.5z?1?y?yliy?86?zl?115?z?iz因为因为?z?y,所以压杆绕所以压杆绕 z 轴先失稳，且轴先失稳，且?z=115?1，用，用 欧拉公式计算临界力。欧拉公式计算临界力。E?Pcr?A?cr?A?2?89.5KN?z2例题例题：AB，AC两杆均为圆截面杆，其直径两杆均为圆截面杆，其直径 D=0.08m，E=200GPa，?P=200MPa，容许应力，容许应力?=160MPa。由稳定条件求此结构的极限
23、荷载由稳定条件求此结构的极限荷载Pmax P A 600 300 C B 4 解：解：由平衡方程由平衡方程 P A 600 B PNAB?2NAC计算出计算出 300 C 3 P?24 P A NAB lAB?2 3NAC lAC?2?P?EP?P?99A 600 B Di?0.02 m4300 C 4?AB?lABi?173?PP?AC?lACiA?100?PNAB NAC 两杆都可用欧拉公式两杆都可用欧拉公式 P 求此结构的极限荷载求此结构的极限荷载 Pmax A 由由AB的稳定条件求的稳定条件求 600 300 C NABCrE?A?Cr?2?A?331 KN?AB2B 4 PNAB?2
24、P A Pmax?2NABCr?662 KNNAB NAC P 由由AC的稳定条件求的稳定条件求 A NACCrE?A?Cr?2?A?991 KN?AC3 P?22600 300 C B NAC4 P 2NACCr?1144KNPmax?3NAB A NAC 取取 Pmax=662KN 例题例题 ：AB的直径的直径 d=40mm，长，长 l=800mm，两端可视为绞，两端可视为绞 支。材料为支。材料为Q235钢，弹性模量钢，弹性模量 E=2?105MPa。比例极限。比例极限?P=200MPa，屈服极限，屈服极限?S=240MPa，由，由AB杆的稳定条件求杆的稳定条件求P。（若用直线公式（若用直
25、线公式 a=304 MPa，b=1.12 MPa)。0.6 C B 0.3 P A 解：取解：取 BC 研究研究 C 0.6 B 0.3 N P?mC?0?0.9 P?Nsin?0.6?0?0.60.8sin?0.822A N?2.27 P?P?E?P?990.6 C B 0.3 N P?=1，l=0.8m A i?Id?A4?li?80?P不能用欧拉公式不能用欧拉公式 a?S?57?S?b0.6 C B 0.3 N P?S?PA 用直线公式用直线公式?Cr?a?b?214MPaPCr?A?cr?268 KN?NN?2.27 PP=118KN 例题例题：外径：外径 D=50 mm，内径，内径
26、d=40 mm 的钢管，两端铰支，的钢管，两端铰支，材料为材料为 Q235钢，承受轴向压力钢，承受轴向压力 P。试求：。试求：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界时，压杆的临界 应力。应力。已知：已知：E=200 GPa，?P=200 MPa，?S=240 MPa，用直线公式时，用直线公式时，a=304 MPa，b=1.12 MPa。（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；?P?压杆的压杆的?=1 E?P?100i?(D4?d4)I12264?D?d2
27、2?(D?d)4A4?l4?l?P?10022iD?d1000.05?0.04?1.6 mlmin?4?122（2）当）当 l=3/4 lmin 时，时，Pcr=?3l?lmin?1.2 m4?l4?l?75?P22iD?da?S304?240?57?S?b1.12用直线公式计算用直线公式计算?22Pcr?A?cr?(a?b?)(D?d)?155.5KN4 14 5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核 nst 压杆的稳定安全系数压杆的稳定安全系数 n 压杆的工作安全系数压杆的工作安全系数 P压杆的工作压力压杆的工作压力 Pcr 压杆的临界压力压杆的临界压力 则有则有 PCrn?nstP例题例题：活塞
28、杆由：活塞杆由45号钢制成，号钢制成，?S=350MPa，?P=280MPa ，E=210GP。长度。长度 l=703mm，直径，直径 d=45mm。最大压力。最大压力 Pmax=41.6KN。规定稳定安全系数为。规定稳定安全系数为 nSt=8 10。试校核。试校核 其稳定性。其稳定性。解：解：?1?E?P?86活塞杆简化乘两端球绞支杆活塞杆简化乘两端球绞支杆?=1 截面为圆形截面为圆形 i?Id?A4?l?62.5?1i不能用欧拉公式计算临界压力。不能用欧拉公式计算临界压力。如用直线公式，需查表得：如用直线公式，需查表得：a=461MPa b=2.568 MPa a?S?43.2?2?b?2?1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。14 6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 自己看书自己看书（P 170173）
