1、 【题型综述题型综述】 导数的几何意义：导数的几何意义： 函数. ( ) fx.在 ( ) 01f=-处的导数 0 ()fx 就是曲线 ( ) fx在点 00 (,()xf x处的切线的斜率k，即 00 0 0 ()() ()lim x f x + xf x kfx x D ? D - = D 【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切 点和不是切点两种情况求解 （1）当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为 yy0=f (x0)(xx0)； （2）当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标
2、 P(x1，f (x1)； 第二步：写出过 P(x1，f (x1)的切线方程为 yf (x1)=f (x1)(xx1)； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1； 第四步：将 x1的值代入方程 yf (x1)=f (x1)(xx1)，可得过点 P(x0，y0)的切线方程 求曲线求曲线 y=f (x)的切线方程的类型及方法的切线方程的类型及方法 （1）已知切点 P(x0, y0)，求 y=f (x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f (x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为 k，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，通过方程 k=f (
3、x0)解得 x0，再由点 斜式写出方程； （3） 已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)， 再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程 （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜 率，再由 k=f (x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程 （5）在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线，P 一定在曲线上 过点 P 的切线即切线过点 P，P 不一定是切点因此在求过点 P 的切线方程时，应首先检验点 P 是 否在已知曲线上 【
4、典例指引】【典例指引】 例 1（2013 全国新课标卷节选）已知函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线 yf(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2 （）求 a，b，c，d 的值 简析：（）由已知得(0)2, (0)2,(0)4,(0)4fgfg =，而( )fx =2x b+，( )g x =() x e cxdc+， a=4，b=2，c=2，d=2； （2）由题，进行变形为 f(x)恒成立，即 f(x)恒成立，构造新函数，用参变分离求函数单调性求其 最值，求得 a 的范围. 【解析】 函数 f(x)的定义域为(0,+) 当 a
5、=0 时，令，得 x=1. x,变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,+) + 0 - g(x) 极大值 所以，故满足题意. 3 【2019 浙江浙南名校联盟期末联考】设，函数. （I）证明：当时，对任意实数 ，直线总是曲线的切线； （）若存在实数 ，使得对任意且，都有，求实数 的最小值. 来源:Z_xx_k.Com 【思路引导】 （I）将代入函数解析式，再对函数求导，由与的值，即可证明结论； （）若存在实数 ，使得对任意且，都有等价于存在实数 ，使得对任意，都有 ，且对任意，都有，再由，得，进而可求出结果. 【解析】 易得的导数. （I）证明：此时，. 注意到对任意实数 ， 故直线是曲
6、线在原点 处的切线； 4 【2019 河南省期末】已知函数. （1）若，曲线在点处的切线经过点，求 的最小值； （2）若只有一个零点 ，且，求 的取值范围. 【思路引导】 （1）先对函数求导，结合导数的几何意义即可求出结果； （2）用分类讨论的思想，分别讨论和和三种情况，利用导数的方法研究函数的极值，即可求 出结果. 【解析】 （1）， ， 则曲线在点处的切线方程为， 令，得. 设 ， 当，；当时，. 故，即 的最小值为 . 【同步训练】【同步训练】 1设函数，若函数在1x 处的切线方程为6270 xy （）求实数, a b的值； （）求函数 f x在 1 ,e e 上的最大值 ( ) fx
7、【思路引导】 （）根据导数的几何意义，可知函数 ( ) fx在1x=处的导数即为切线的斜率，又点(1， 1 2 -)为切点，列 出方程解出 a，b 的值； （）把 a，b 的值代入解析式，对函数求导判断单调性，根据单调区间写出函数的 最值 ( ) fx 在 ，2)上单调递增，在(2，e上单调递减， ( ) fx 在2x= 处取得极大值这个极大值也是 ( ) fx 的最大值 又 ( ) 24ln2 2f=- ，&网来源:Z.X.X.K 所以函数 ( ) fx在 1 ,e e 轾 犏 犏 臌 上的最大值为4ln22- 2已知函数，其导函数的两个零点为-3 和 0 （1）求曲线在点处的切线方程； （
8、2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的最值 【思路引导】 对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出 m，n；利用导数的几 何意义求切线方程，先求 f(1)，求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需 在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区 间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值 所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1&网 3 设函数 ( ) yf x=的定义域为D， 若对任意 1 x， 2 xD， 都有 ( )()12 1fxfx-?， 则称函数 ( ) yf x= 为“st
9、orm”函数已知函数 ( ) 32 1f xxbxcx=+的图象为曲线C，直线1ykx=-与曲线C相切于 () 1, 10- （1）求 ( ) fx的解析式，并求 ( ) fx的减区间； （2）设02m?，若对任意 2,xmm?，函数 ( ) ( ) 16 fx g x m =为“storm”函数，求实数m的最小值 【思路引导】 根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出, b c，得出函数的解析式，利用导数解 ( ) 0fx 求出函 数的单调减区间；对任意 2,xmm?，函数 ( ) ( ) 16 fx g x m =为“storm”函数，等价于在 2,mm-上， ( )( ) maxmi
10、n 16f xf xm-?，根据函数 ( ) fx的在 2,mm-上的单调性，求出 ( ) fx的最值，根据条件求 出m的范围，得出结论 ( ) fx在 2,2-上为减函数，且02m?， 2,2,2mm-?， ( ) fx在 2,mm-上为减函数， ( )()()() 3 max 221221fxf mmm=-=-+， ( )( ) 3 min 121f xf mmm=-+， ( )( ) 2 maxmin 6121616f xf xmmm-=-+?，得2m? 4 3 m ， 又02m?， min 4 3 m=&网 4已知函数 ( ) 4 4,f xxx xR=-? （1）求 ( ) fx的单
11、调区间； （2）设曲线 ( ) yf x=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 ( ) yg x=，求证：对于任 意的正实数x，都有 ( )( ) fxg x； （3）若方程 ( )= ( f xa a为实数）有两个正实数根 12 xx， ，且 12 xx，求证： 1 3 21 4 3 a xx- 琪 桫 解得实数m的取值范围； （2）切线条数的确定 决定于切点个数，所以设切点，转化为关于切点横坐标的方程 32 00 210 xmx+ =，再利用导数研究函数 ( ) 32 h x2xmx1=+有两零点，即极值为零，解得实数m的值 点评：函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)知图判
12、断函数极值的情况先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号 (2)已知函数求极值求 ( ) fx 求方程 ( ) 0fx =的根列表检验 ( ) fx 在 ( ) 0fx =的根的附近两侧的 符号下结论 (3)已知极值求参数若函数 ( ) fx在点( )00 ,x y处取得极值，则 ( )0 0fx =，且在该点左、右两侧的导数 值符号相反 7已知函数 ( ) x f xe=， ( ) ln2g xx=+ （1）若直线ykxb=+是曲线 ( ) yf x=与曲线 ( ) yg x=的公切线，求, k b； 【思路引导】 （1）设直线ykxb=+与 x ye=切于点 ()
13、 1 1, x P x e，与ln2yx=+切于 ()22 ,ln2Q xx +，P处的切线方程 为 () 11 1 1 xx ye xx e=+-Q处的切线方程为 2 2 1 ln1yxx x =+根据这两条直线为同一条直线，可得关于 1 x和 2 x，解得 1 x和 2 x的值，从而可得结果； 点评：本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题 应用导数的几何意义 求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 ()()00 ,A xfx求斜率k，即求该点处的导 数 ( )0 kfx= ；(2) 己知斜率k求切点 ( )()11 ,A xfx即解方程 (
14、 )1 fxk =；(3) 巳知切线过某点 ( )()11 ,M xfx (不是切点) 求切点， 设出切点 ()()00 ,A xfx利用 ( )( ) ( ) 10 0 10 fxfx kfx xx = - = - 求解 8已知函数 ( ) 32 5 2 fxxxaxb=+（, a b为常数） ，其图像是曲线C （1）设函数 ( ) fx的导函数为 ( ) fx ，若存在三个实数 0 x，使得 ( )00 f xx=与 ( )0 0fx =同时成立，求 实数b的取值范围； （2） 已知点A为曲线C上的动点， 在点A处作曲线C的切线 1 l与曲线C交于另一点B， 在点B处作曲线C 的切线 2
15、l，设切线 12 ,l l的斜率分别为 12 ,k k，问：是否存在常数l，使得 21 kkl=？若存在，求出l的值； 若不存在，请说明理由 【思路引导】 （1）由于存在唯一的实数 0 x，使得 ( )00 f xx=与 ( )0 0fx=同时成立，则 () 32 2 5 10 2 350 xxax b xxa +-+ = += ， 存在唯一的实数根 0 x，即 32 5 2 2 bxxx=+存在唯一的实数根 0 x，就把问题转化为求函数最值问题； （2） 假设存在常数l，依据曲线C在点A处的切线 1 l与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线 2 l，得到 关于l的方程，有解则存在，无解则
16、不存在 ，解得故当时，存在常数，使得；当时， 不存在常数使得 9已知函数 ( ) lnfxb x=， ( )() 2 g xaxx aR=-? （1）若曲线 ( ) fx与 ( ) g x在公共点 () 1,0A处有相同的切线，求实数, a b的值； （2）当1b=时，若曲线 ( ) fx与 ( ) g x在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一； （3）若0a， 1b=，且曲线 ( ) fx与 ( ) g x总存在公切线，求：正实数a的最小值 【思路引导】 （1）曲线 ( ) fx与 ( ) g x在公共点 () 1,0A处有相同的切线， ( ) ( ) ( )( ) 10 10 1 1 f
17、 g fg = = = ，解出即可； （2）设 ()00 ,P xy，由题设得 ( )( )( )( )0000 ,f xg xfxg x=，转化为关于 0 x的方程只有一解，进而构造函数 转化为函数只有一个零点，利用导数即可证明； （3）设曲线 ( ) fx在点( ) , lntt处的切线方程为 () 1 lnytxt t -=-，则只需使该切线与 ( ) g x相切即可，也即方程组 () 2 1 ylntxt t yaxx -=- =- ，只有一解即可， 所以消去y后0D=，问题转化关于t方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得a值来源:Z+X+X+K 来源: 若，则，而，显然不成立，所
18、以 从而，方程可化为 令，则 当时， ；当时，即 在上单调递减，在上单调递 增在的最小值为 ，所以，要使方程有解，只须，即 点评：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，属于难题 应用导数的几何意义求切 点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 ()()00 ,A xfx求斜率k，即求该点处的导数 ( )0 kfx= ； (2) 己 知 斜 率k求 切 点 ( )()11 ,A xfx即 解 方 程 ( )1 fxk =； (3) 巳 知 切线 过 某 点 ( )()11 ,M xfx (不是切点) 求切点， 设出切点 ()()00 ,A xfx利用 ( )( ) ( ) 10 0 10 fxfx kfx xx = - = - 求解
