1、 【题型综述题型综述】 函数极值问题的常见类型及解题策略函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号来源: （2）求函数 ( ) fx极值的方法： 确定函数 ( ) fx的定义域 求导函数 ( ) fx 求方程 ( ) 0fx?的根 检查 ( ) fx在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么 ( ) fx在这个根处 取得极大值；如果左负右正，那么 ( ) fx在这个根处取得极小值；如果 ( ) fx在这个根的左、右两侧 符号不变，则 ( ) fx在这个根处没有极值 （3）利用极值求参数的取值范围：
2、确定函数的定义域，求导数 ( ) fx ，求方程 ( ) 0fx? 的根的情 况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数 ( ) 2lnf xxa x=-，Ra （1）求函数 ( ) fx的极值； 【思路引导】 试题分析： （1）求得 ( ) 1 axa fx xx - = -=，可分0a和0a两种情况分类讨论，得出函数的单调性， 即可求得函数的极值； 当 () 0,xa， ( ) 0fx ， ( ) fx在( ) , a +?上单调递增 故 ( ) fx在xa=处取得极小值，且极小值为 ( ) 2lnf aaa a=-，无极小值 综上
3、，当0a时，函数 ( ) fx无极值；学* 当0a时， ( ) fx有极小值为2lnaa a-，无极大值 点评：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利 用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答 中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节 例 2已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； 来源: （2）讨论函数的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 【思路引导】 （1）欲求曲线在点处的切线方程，只需求出斜率和和的值，即可利用直线的点斜式 方程求解切线
4、的方程； （2）求出，通过讨论 的取值范围，求出函数的单调区间，从而求 出函数的极值即可，可分两种情况，求出函数的单调区间，得出函数的极值 点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，本题的解答中涉及利用导数的几何意义求解曲线在某点处 的切线方程，利用导数研究函数的单调性和极值，求解函数的单调区间，涉及到分类讨论的数学思想的应 用，熟记利用导数研究函数的性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题 例 3已知，其中 （1）若，且曲线在处的切线 过原点，求直线 的方程； （2）求的极值； （3）若函数有两个极值点 ， ，证明 【思路引导】 （） 当 a=0 时， 求得 f （x） 的解析式和导
5、数， 可得切线的斜率和切点， 由点斜式方程可得切线的方程； （） 求得 f（x）的导数，可得有两个不同的实根，讨论当 a0 时，当 a0 时，判断单调性可得 极大值大于 0，解不等式即可得到所求范围； （）由（）知当且时，有两个极值点 ， ， ，构造函数对不等式进行证明 当时 或， 在，上单调递增， 在上单调递减，在时取到极大值， 且，在时取到极小值，且； 当时恒成立， 在上单调递增，没有极大值也没有极小值； 当时 或， ，在，上单调递增， 在上单调递减，在时取到极小值，且在时取到极大值，且 综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值； 当时，在时取到极大值，在时取到极小值； 当时，没有极大值
6、也没有极小值；当时，在时取到极小值 在时取到极大值学* （）由（）知当且时，有两个极值点 ， ， 且 所以 ， 设，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 由且可得，所以 ， 即 学* 点评：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值 ，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程 和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中 档题 例 4已知函数， （）若，求曲线在处的切线方程； （）探究函数的极值点情况，并说明理由 【思路引导】 （1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导数，转化研 究函数，利用导数易得先
7、减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系， 确定极值点情况 （iv）当，即时，函数在区间上无极值点学* 【新题展示新题展示】 1 【2019 湖北仙桃、天门、潜江期末】已知函数，其中 为自然对数的底数. （）当时，求证：时，； （）当时，计论函数的极值点个数. 【思路引导】 （）求出，令，求出，从而判断的单调性，由即可判断的正负情况，从而 求得在递减，递增；当时，成立，命题得证。 （）对 的范围分类讨论，由的单调性求得，把 看作变量，求得的单调性，从而得 到（当且仅当时取等号） ，再对 的范围分类讨论的单调性，从而判断的单调性， 从而求得极值点个数。 【解析】 ()由，易知 ，设，则，当时
8、，又 来 时，时，即在递减，递增；所以当时， 得证. （）由（）可得，当时，当且仅当在处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数为 1； 当时 ， 易 知在递 减 ，递 增 ， 所 以， 又 设 ，其中，则对恒成立，所以单调递减， （当且仅当时取等号） ，所以当时，即在单调递增，故此时极值点 个数为 0； 2 【2019 山东枣庄期末】已知 （I）求函数的极值； （II）设，若有两个零点，求 的取值范围 【思路引导】 （I）求得函数的，将 分成两类，利用的正负情况，得到的单调区 间 ， 进 而 求 得的 极 值 . （ II ） 先 求 得 函 数的 表 达 式 ， 并 求 得 其 导 数， 对
9、分 成 类，利用的单调区间和极值情况，结合题意“ 有两个零点”的要求， 求得 的取值范围. 【解析】 （I）. （1） 若， 显然， 所以在 上递增， 所以没有极值. （2） 若， 则， 所以在上是减函数， 在上是增函数.所以在 处取极小值，极小值为.（II）.函数的定义域为 ， 且.（1）若，则；.所以在上是减函数， 在上是增函数.所以.令，则.显然，所以 在上 是 减 函 数 . 又 函 数在上 是 减 函 数 ， 取 实 数， 则 .又 ，在上是减函数，在上是增函 数.由零点存在性定理，在上各有一个唯一的零点.所以符合题意.（2）若，则 ， 显然仅有一个零点 .所以不符合题意. （3）
10、若， 则.若， 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 ( ) x f xe=， ( ) 2 2 a g xxx=-， （其中aR，e为自然对数的底数， 2.71828e=） 来 源:Z&X&X&K （1）令 ( )( ) ( )h xf xg x=+，求 ( ) h x的单调区间； （2）已知 ( ) fx在0 x =处取得极小值，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1） 求导函数的导数得 ( ) exh xa =-， 再根据是否变号进行分类讨论单调性： 当0a时， 导函数不变号， 为单调递增；当0a时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增（2）由题意得 ( ) 00f=，结合（1） 根据导
11、函数 ( ) h x单调性分类讨论在0 x =处是否为极小值：当0a时， ( ) fx 在0 x =附近先减后增， 为极小值；当0a时，按lna与零大小关系进行二次讨论： ln0a时， ( )() ,lnfxa-? 在单调递减； ( ) fx 在0 x =附近先增后减，为极大值；综上可得实数a的取值范围 （3）当1a=时，由（）知 ( ) fx 在区间( ) ,lna-?单调递减， ( ) fx 在区间( ) ln , a +?单调递增， 所以 ( ) fx 在lnxa=处取得最小值，即 ( )()( ) ln00fxfaf = ?， 所以函数 ( ) fx在R上单调递增，所以 ( ) fx在
12、0 x =处无极值，不符合题意 （4）当1a时， ln0a，由（）知 ( ) fx 的减区间为( ) ,lna-?，所以当 () ,0 x?时， ( )( ) 00fxf =，当 () 0,lnxa时， ( )( ) 00fxf =， 所以 ( ) fx在0 x =处取得极大值，不符合题意， 综上可知，实数a的取值范围为( ) ,1-?学* 2设 ( )() 2 ln21f xx xaxax=-+-，aR （1）令 ( )( ) g xfx=，求 ( ) g x的单调区间； （2）已知 ( ) fx在1x=处取得极大值，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1）求函数的单调区间主要是先求出函数的
13、导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区 间， 但要含参问题时则要注意讨论， 由 ( ) 11 2 2 ax gxa xx = - =-，根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调 区间； （2）已知 ( ) fx在1x=处取得极大值，故 ( ) 10f=，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在 1 处取得极大值即可得出正确 a 的取值范围 （2）由（1）知， ( ) 10f= 当 a0时， ( ) fx 单调递增 所以当 () 0,1x时， ( ) 0fx ， ( ) fx单调递增 所以 ( ) fx在1x=处取得极小值，不合题意来源:163文库 当 1 0 2 a，由（1）知 (
14、 ) fx 在 1 0, 2a 骣 琪 琪 桫 内单调递增， 可得当 () 0,1x时， ( ) 0fx ，学* 所以 ( ) fx在( ) 0,1内单调递减，在 1 1, 2a 骣 琪 琪 桫 内单调递增，所以 ( ) fx在1x=处取得极小值，不合题意 当 1 2 a =时，即 1 1 2a =时， ( ) fx在( ) 0,1内单调递增，在 ( ) 1,+?内单调递减， 所以当 () 0,x?时， ( ) 0fx ， ( ) fx单调递减，不合题意 当 1 2 a 时，即 1 01 2a ， ( ) fx单调递增， 当 () 1,x?时， ( ) 0fx 学* 3已知函数 （1）求函数的
15、极小值； 【思路引导】 （1）先求函数导数再根据导函数是否变号进行分类讨论：当时，导函数不变号，无极 小值；当时，导函数先负后正，有一个极小值 4设 ， （1）令，求的单调区间； （2）已知在处取得极大值，求实数 的取值范围 【思路引导】 （1）先求导数得，再求函数导数，根据 讨论导数是否变号，进而确定单调区间（2）根据 讨论 单调性，确定极值取法：当时，时，单调递减，时单调递增，在 处取得极小值；当时，时单调递减，当时，时，单调递增， 时单调递减，在处取得极大值 （）由（）知， 当时，单调递增， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以在处取得极小值，不合题意 当时， ，由（）知在内单调
16、递增， 来源:ZXXK 可得当时，时， 所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增， 来源: 所以在处取得极小值，不合题意 所以在处取得极大值，合题意学* 综上可知，实数 a 的取值范围为 点评：函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)知图判断函数极值的情况先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号 (2)已知函数求极值求求方程的根列表检验在的根的附近两侧的符号下结论 (3)已知极值求参数若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反 5设 ( )( ) 2 ln1 x fxx xaxaae=+-，2a? （1）若0a=，求 ( ) fx的单调区间； （2）
17、讨论 ( ) fx在区间 1 , e 骣 琪 +? 琪 桫 上的极值点个数； 【思路引导】 （1）先求函数 ( ) fx导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先求函数 ( ) fx导数， 转化为研究 ( ) 2 lnlng xxx x ax a=+零点个数， 利用二次求导易得 ( ) g x在区间 1 , e 骣 琪 +? 琪 桫 上 单调递增，其零点个数决定于最小值的大小，讨论其最小值与零的大小得到极值点个数. 当，即： 或时：在区间上无零点，即无极值点 当，即： 时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点 综上：当或时：在上无极值点 当时：在上有唯一极值点学* 6
18、已知函数 ( )() 1 x f xeax b=- (1)求函数 ( ) fx的极小值； 【思路引导】 (1) ( ) 1, x fxea=-+对 a 分类讨论，明确函数的单调性求出函数的极小值；(2) 要证 12 2 1 xx ae + +成立， 即证 12 21 2 21 1 xxxx ee ea xx + - -= - ，只需证 21 21 2 21 1 xxxx e e xx - - 两种情况讨论，即 可求解； 试题解析： （） ( ) x2 f xeax=-， ( )( ) x g xf xe2ax=-， ( ) x g xe2a=-， 当a0时， ( ) g x0恒成立， ( )
19、g x无极值； 当a0时， ( ) g x0=，即 () xln 2a=， 由 ( ) g x0，得 () xln 2a；由 ( ) g x0，得 () xln 2a-解的情况：当 1 4 b 时，方程无解，函数无极值点； 0b时，方程有一解，函数有 一个极值点； 1 0 4 b时，方程有两解，函数有两个极值点； 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数 的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式， 便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质 很难
20、研究，就不要使用分离参数法 13已知函数 ( ) 2 lnf xx axax=+- ，其中aR （1）当1a= 时，求函数 ( ) fx 在1x= 处的切线方程； （2）若函数 ( ) fx 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围 【思路引 导】 (1)首先利用导函数求得切线的斜率为 1，然后利用点斜式可得切线方程为1yx=-；来源: (2)求解函数的导数，然后讨论函数 ( ) 2 21t xaxax=-+的性质可得实数a的取值范围是0a 试题解析： （1）当 ( ) 0,lnaf xx=则 ( ) 10f= 又 ( ) 1 ,fx x =则切线的斜率1k =， 所以函数 ( ) f
21、x在1x=处的切线方程为1yx=- 所以 ( ) 0t x =在( ) 0 +?，上有且仅有一根 2 0 8 4 aaa x a - =，故 ( )0 0fx=， 且当 0 0 xx， ( ) 0fx ，函数 ( ) fx在( )0 0 x，上单调递增； 当 0 xx时， ( ) 0t x ， ( ) 0fx ，函数 ( ) fx在( )0 x+?，上单调递减； 所以0a， ( ) 2 2 11 2121 48 t xaxaxa xa 骣 琪=-+ =-+ - 琪 桫 ，该二次函数开口向上，对称轴 1 4 x = （）若 11 10 48 ta 骣 琪= -? 琪 桫 ，即08a?， ( )
22、1 0 4 t xt 骣 琪吵琪 桫 ，故 ( ) 0fx ，函数 ( ) fx在( ) 0 +?，上 单调递增，所以函数 ( ) fx在( ) 0 +?，上无极值点，故08a?不符题意，舍去； （）若 11 10 48 ta 骣 琪= -，又 ( ) 010t= ，所以方程 ( ) 0t x =在( ) 0 +?，上有两根 2 1 8 4 aaa x a - =， 2 2 8 4 aaa x a +- =，故 ( )( )12 0fxfx=，且 当 1 0 xx， ( ) 0fx ，函数 ( ) fx在( )1 0 x，上单调递增； 当 12 xxx时， ( ) 0t x ， ( ) 0fx
23、 时， ( ) 0t x ， ( ) 0fx ，函数 ( ) fx在( )2 x+?，上单调递增； 所以函数 ( ) fx在( ) 0 +?，上有两个不同的极值点，故8a 不符题意，舍去， 综上所述，实数a的取值范围是0a时， ( ) 0h x ；当0 x时， ( ) 0h x 时， ( ) ()() singxxaxx- =-， 当 () ,0 x?时， 0 x a-， ( ) g x单调递增； 当 () 0,xa时， 0 x a-， ( ) 0gx ， ( ) 0gx ， ( ) g x单调递增 所以当0 x =时 ( ) g x取到极大值，极大值是 ( ) 0ga=-； 当xa=时 ( ) g x取到极小值，极小值是 ( ) 3 1 sin 6 g aaa=- 综上所述： 当0a时，函数 ( ) g x在( ) ,a-?和( ) 0,+?上单调递增，在( ) ,0a上单调递减，函数既有极大值，又有 极小值，极大值是 ( ) 3 1 sin 6 g aaa=-，极小值是 ( ) 0ga=-；
