专题3.3 图形面积求最值函数值域正当时高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版).doc

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1、 【题型综述题型综述】 1、面积问题的解决策略: (1)求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进 行表示的底(或高) (2)面积的拆分:不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于三角形如果底和高不 便于计算,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化:关键词“求同存异”,寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的 特点,从而可将面积的关系转化为线段的关系,使得计算得以简化 3、面积的最值问题:通常利用公式将面积转化为某个变量的函数,再求解函数的最值,在寻底找高的过程 中,优先选择长度为定值的线段

2、参与运算。这样可以使函数解析式较为简单,便于分析 【典例指引】【典例指引】 例 1 已知椭圆C: 22 22 1 xy ab (0ab)的一个顶点为 0, 1,离心率为 6 3 ,直线: lykxm (0k )与椭圆C交于,两点,若存在关于过点的直线,使得点与点关于该直线对称 (I)求椭圆C的方程; (II)求实数m的取值范围; (III)用m表示的面积S,并判断S是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,说明理由 212121212121 2020 xxxxyyyyxxk yy,可得: 22 62 20 3131 kmm k kk ,则有: 2 2311mk (0k ) ,故 1 122

3、02 2 mmm (III)法一(面积转化为弦长) : 22 2 1212 2 122 1 31 mm xxyyk k ,到 : lykxm的距离 2 1 1 m d k , 1 12211 222 mmm Sd m ,所以 22 32 3 4 Sm m ,设 2 2 3f mm m , 1 2 2 m,则 2 2 20fmm m ,所以 f m在 1 ,2 2 上是减函数,所以面积S无最大值学 ()过点 1 ,1 2 P 作圆 22 1 2 xy的切线,切点分别为MN、,直线MN与x轴交于点E,过点E作直线l交 椭圆C于AB、两点,点E关于y轴的对称点为G,求GAB面积的最大值. 【思路引导

4、】 ()由椭圆的焦点为2,离心率e为 1 2 ,求出, a b,由此能求出椭圆的标准方程;() 由题意,得O、M 、P、n 四点共圆,该圆的方程为 22 115 4216 xy ,得O的方程为 22 1 2 xy,直线MN的方程为210 xy ,设 1122 ,A x yB xy,则 1212 1 2 GAB SGE yyyy ,从而 GAB S最大, 12 yy就最大,可设直线l的方程为1xmy, 由 22 1 1 43 xmy xy ,得 22 34690mymy,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,能求出 GAB的面积的最大值. 试题解析:()由题意, 22c ,解得1c ,由 1

5、2 c e a ,解得2a ; 所以椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . 又直线l与椭圆C交于不同的两点,则0 ,即 2 2 636 340,mmmR, 2 2 12121212 2 1121 4 234 GAB m SGFyyyyyyy y m , 令 2 1tm ,则 2 22 121124 1, 1 3431 3 GAB mt tS mt t t , 令 1 3 f tt t ,则函数 f t在 3 , 3 上单调递增, 即当1t 时, f t在1,上单调递增,因此有 4 1 3 f tf; 所以3 GAB S,当0m 时取等号. 学() 25 2 . 【思路引导】 ()由题意可得

6、,设中点坐标P x y,表示出点22Nxy,将其代入到抛物线方程中,即可得到抛 物线C的方程; ()由题意可设切线方程为: 00 yyk xx,进而得到切线与 x 轴的交点为 0 0 0 y x k ,由圆心到切线方程的距离为半径,得到 222 000000 44240 xxkyx yky,由韦 达定理,可得到 PAB S的函数关系式,利用函数的单调性可求出面积最小值. 试题解析: ()设P x y,则点22Nxy,在抛物线 2 8yx上,学() 32 9 . 【思路引导】 () 由椭圆的方程可得点 P,A,B 的坐标, 利用两点式求直线斜率的方法可求出 BP,BQ 的斜率乘积为定值-1; (

7、)当直线PQ的斜率存在时, 2 1671 4 922 APQ Stt , 2 01tt , 32 9 APQ S,当直 线 PQ l 的斜率k不存在时, 18832 2339 APQ S,故综合 APQ S 的最大值为 32 9 . 试题解析: 点2,0为右端点,舍去, 12 1 2 APQAPMAQM SSSOMyy 22222 22 22 824169 816 39 2121 kkbkk kk 22 2 16711 4 92 21 2 21 k k ,令 2 1 21 t k (01t ) , 2 1671 4 922 APQ Stt , 2 01tt , 32 9 APQ S, 当直线P

8、Q l 的斜率k不存在时, 11 ,P x y , 11 ,Q xy , 1 2 APBQ kk, 即 11 11 2 22 yy xx ,解得 1 2 3 x , 1 4 3 y , 18832 2339 APQ S,所以 APQ S 的最大值为 32 9 . 7已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点 3 1, 2 P ,离心率 3 2 e . ()求椭圆C的标准方程; ()设过点0, 2E的直线l与椭圆C相交于PQ、两点,求OPQ的面积的最大值。 【答案】(1) 2 2 1 4 x y;(2)1. 【思路引导】 ()运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,以及 a,b,c

9、的关系,解方程可得 a,b,进而得到椭圆 方程; ()当直线 l 的斜率不存在,不合题意,可设直线 l:y=kx2,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,联立椭圆方程, 消去 y,得到 x 的方程,运用判别式大于 0 和韦达定理,以及弦长公式,点到直线的距离公式,由三角形的 面积公式,运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值 1122 : =2,.IIlxl y kxP x yQ xy( )当轴时不合题意,故设 2 2 21 4 x ykxy将代入得 22 4116120.kxkx 2 2 14 43 =. 241 OPQ k Sd PQ k 2 2 44 43,0,. 4 4 47 4,2

10、0. 2 1 OPQ t kttS t t t ttk t OPQ 设则 因为当且仅当,即时等号成立,且满足 的面积最大值为 8 如图,已知抛物线的焦点在抛物线 2 2: 1Cyx上,点是抛物线上的动点 ()求抛物线的方程及其准线方程; ()过点作抛物线的两条切线, A、B分别为两个切点,求PAB面积的最小值 【答案】() 1 C的方程为 2 4xy 其准线方程为1y ;()2. 【思路引导】 (I)由题意抛物线 1 C 的焦点为抛物线 2 C 的顶点(01 , ) ,由此算出2p , 从而得到抛物线 1 C 的方程, 得到 1 C 的准线方程; (II)设 2 1122 2,PttA x y

11、B xy( , ),则可得切线PA, PB的方程,进而可得 所以直线AB的方程为 2 420txyt. 联立 2 2 42 1 ytxt yx 由韦达定理得 12 2 12 4 1 xxt xxt ,可求得 22 1 16124ABtt 进而求得点P到直线AB的距离 2 2 6 +2 1 16 t d t 则PAB的面积 3 222 2 1 2 31312 31 2 SAB dttt所以当0t 时, S取最小值为2。即PAB面积的最小 值为 2. 9在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1(1,0) ,离心率 e= 2 2 (1)求椭圆 G 的标准方程; (2)

12、已知直线 l1:y=kx+m1与椭圆 G 交于 A,B 两点,直线l2:y=kx+m2(m1m2)与椭圆 G 交于 C,D 两点,且|AB|=|CD|,如图所示 证明:m1+m2=0; 求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值 【答案】 (1) 2 2 1 2 x y (2)见解析2 2 【思路引导】 (1)由焦点坐标及离心率可求得, ,a b c,即可求椭圆 G 的标准方程; (2)利用弦长公式及韦达定理,表 示出由,AB CD,由ABCD得到 12 0mm;四边形ABCD是平行四边形,设,AB CD间的距离 12 2 1 mm d k ,由 12 0mm得 222 11 22 112 22

13、 2 2 21 221 2 2 2 14 22 2 12 112 kmm mkm sABdk k kk ,即可. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) 证明:由消去 y 得(1+2k2)x2+4km1x+2m122=0 , x1+x2=,x1x2=; |AB|=2; 同理|CD|=2 , 由|AB|=|CD|得 2=2 , m1m2,m1+m2=0 四边形 ABCD 是平行四边形,设 AB,CD 间的距离 d= m1+m2=0, s=|AB| d=2 =. 所以当 2k2+1=2m12时,四边形 ABCD 的面积 S 的最大值为 2 10已知椭

14、圆 1 C: 22 22 1 xy ab (0ab)的短轴长为 2,以M为中点的弦AB经过左焦点 1 1,0F , 其中点M不与坐标原点O重合,射线OM与以O圆心的圆交于点P. ()求椭圆 1 C的方程; ()若四边形OAPB是矩形,求圆O的半径; ()若圆O的半径为 2,求四边形OAPB面积的最小值. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y;(2) 6 2 5 R .(3)四边形OAPB面积的最小值为2. 【思路引导】 ()根据题意列出关于a 、b 、c的方程组,结合性质 222 abc , 222 cab ,求出a 、b 、 c,即可得结果; ()设直线AB的方程为1xmy ,直线与曲线联

15、立,根据韦达定理结合 0OA OB , 可求出 42 , 55 M ,从而可得结果; ()根据弦长公式,点到直线距离公式和三角形面积公式可得四 边形OAPB面积 1 2 2 SOPd 2 2 2 21 4 m m ,利用单调性可得结果. ()当圆O的半径为 2 时,由()可知AB的中点M为 22 2 , 22 m mm , 所以直线OP的斜率为 2 m ,所以直线OP的方程为20mxy. 设点A到直线OP的距离为d,因为点M是弦AB的中点, 所以点B到直线OP的距离也为d,则 1122 2 22 2 4 mxymxy d m . 因为点A, B位于直线OP的异侧,所以 1122 220mxymxy. 所以 1122 2 22 2 4 mxymxy d m 2 12 2 2 4 myy m . 又因为 2 2 121212 2 2 21 4 2 m yyyyy y m , 所以 2 2 12 22 2 2 21 2 44 myy m d mm 所以四边形OAPB面积 1 2 2 SOPd 2 2 2 2 213 2 2 1 4 4 m m m ,其中Rm. 可知当0m 时, min 2S,即四边形OAPB面积的最小值为 2.

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