1、 【题型综述题型综述】 直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概率考点此种平民解 法思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美学范畴定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的 关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参 数影响的量直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关 系式，代入直线方程即可技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？ 【典例指引】【典例指引】 例 1、 （“手电筒”模型）已知椭圆 C：1 34 22 yx 若直线mkxyl：与椭圆 C 相交于 A，B
2、两点（A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 方法总结：方法总结：本题为“弦对定点张直角弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直线交圆 锥曲线于 AB，则 AB 必过定点) )( , )( ( 22 22 0 22 22 0 ba bay ba bax （参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张 直角的一组性质”） 模型拓展模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒手电筒”模型：模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件（如 BPAP kk定值， BPAP kk定值） ，直线 AB 依然会过定点（因为
3、三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型） 此模型解题步骤：此模型解题步骤：来源来源:ZXXK Step1：设 AB 直线mkxy，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围； Step2：由 AP 与 BP 关系（如1 BPAP kk） ，得一次函数)()(kfmmfk或者； Step3：将)()(kfmmfk或者代入mkxy，得 定定 yxxky)( 例 2、 （切点弦恒过定点） 有如下结论： “圆 222 ryx上一点),( 00 yxP处的切线方程为 2 00 ryyyx”， 类比也有结论： “椭圆),()0( 1 00 2 2 2 2 yxPba b y a x 上一点处的切线方程为1 2
4、 0 2 0 b yy a xx ”， 过椭圆 C： 1 4 2 2 y x 的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线，切点为 A、B （1）求证：直线 AB 恒过一定点； （2）当点 M 在的纵坐标为 1 时，求 ABM 的面积 方法点评：方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题 的书写步骤替换之，大家注意过程 例 3、 （相交弦过定点）如图，已知直线 L：)0( 1:1 2 2 2 2 ba b y a x Cmyx过椭圆的右焦点 F，且 交椭圆 C 于 A、B 两点，点 A、B 在直线 2 :G xa上的射影依次为点 D、E连
5、接 AE、BD，试探索当 m 变化时，直线 AE、BD 是否相交于一定点 N？若交于定点 N，请求出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明 理由 来源来源: 法法 2：本题也可以直接得出 AE 和 BD 方程，令 y=0，得与 x 轴交点 M、N，然后两个坐标相减=0计算量 也不大 22, 0000 yyxxPQyxP切线方程为易得）（设) 1 , 0( 0 0 y x D 易得 FDPH 设 0 0 0 00 90, ; 1; 1 ;1; PFQFDQPHF FD DQ PH HF DF y x DQxHFyPH ，易得相似于固 问题得证（2）当直线 l斜率不存在时，得到为直径的圆的方程，当直
6、线 l斜率为 0 时，得到为直 径的圆的方程，从而得到两圆的交点 Q，然后只需证明当直线 的斜率存在且不为 0 时为直径的圆恒过 点 Q 即可 【解析】 （1） 由题意，所以， 又，所以，故椭圆 的方程为 （2）当轴时，以为直径的圆的方程为 当轴时，以为直径的圆的方程为 可得两圆交点为 由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为 下证符合题意 设直线 的斜率存在，且不为 0，则方程为，代入 并整理得， 设， 则， ， 所以 故，即在以为直径的圆上 综上，以为直径的圆恒过定点 【同步训练】【同步训练】 1、设 A、 B 是轨迹C： 2 2(0)ypx P上异于原点O的两个不同点，直线OA和O
7、B的倾斜角分别为和 ，当, 变化且 4 时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标 0, 4 ，所以直线AB的斜率存在，否则，OA，OB 直线的倾斜角之和为 奎屯 王新敞 新疆从而设 AB 方程为 ykxb，显然 22 12 12 , 22 yy xx pp ， 将ykxb与 2 2(0)ypx P联立消去x，得 2 220kypypb 由韦达定理知 1212 22 , ppb yyyy kk 由 4 ，得 1tantan() 4 = tantan 1tantan = 12 2 12 2 () 4 p yy y yp 将式代入上式整理化简可得： 2 1 2 p bpk ，所以22bppk，
8、此时，直线AB的方程可表示为ykx22ppk即(2 )20k xpyp 所以直线AB恒过定点2 ,2pp ()已知点 B(-1，0)， 设不垂直于 x 轴的直线l与轨迹 C 交于不同的两点 P， Q， 若 x 轴是PBQ的角平 分线， 证明直线l过定点 解： () A(4， 0)， 设圆心 C 2222 , 2 ),(ECMECMCA MN MEEMNyx，由几何图像知线段的中点为 xyxyx84) 4 22222 （ () 点 B(-1，0)， 2 2 21 2 121212211 8,8, 00),(),(xyxyyyyyyxQyxP，由题知设 080)()(8 8811 21122121
9、 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 yyyyyyyy y y y y x y x y 直线 PQ 方程 为:)8( 1 )( 2 1 12 11 12 12 1 yx yy yyxx xx yy yy 1, 088)(8)()( 12 2 112112 xyxyyyyxyyyyyy 所以直线 PQ 过定点(1，0) 3、已知点1,0 ,1,0 ,BCP是平面上一动点，且满足| |PCBCPB CB （1）求点P的轨迹C对应的方程； （2）已知点( ,2)A m在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且ADAE，判断：直线DE是 否过定点？试证明你的结论 解： （1）设.4,1) 1
10、(|),( 222 xyxyxCBPBBCPCyxP化简得得代入 （5 分） ).2 , 1 (, 14)2 ,()2( 2 的坐标为点得代入将AmxymA , 044,4 22 tmtyxytmyxDE得代入的方程为设直线 ）（，则设*016)44,4),(),( 2 21212211 tmtyymyyyxEyxD 4)(21)()2)(2() 1)(1( 212121212121 yyyyxxxxyyxxAEAD 5)(2) 44 ( 44 2121 2 2 2 1 2 2 2 1 yyyy yyyy 5)(2 4 2)( 16 )( 2121 21 2 21 2 21 yyyy yyyy
11、yy mmttmt tmt 845605)4(2)4( 4 )4(2)4( 16 )4( 22 22 化简得 ) 1(23) 1(4348496 2222 mtmtmmtt）即（即 0*, 1252）式检验均满足代入（或mtmt 1)2(5)2(ymxymxDE或的方程为直线 ）不满足题意，定点（过定点直线21).2, 5( DE） 4、已知点 A（1，0） ，B（1，1）和抛物线xyC4: 2 ，O 为坐标原点，过点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M、P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q，如图 （I）证明: OM OP为定值; （II）若 POM 的面积为 2 5 ，求向量OM与
12、OP的夹角； （）证明直线 PQ 恒过一个定点 3133 2222 331313 2 31331313 11 , 4 1 444 (1)()4,40.11 yyyy yyyyyy yyyyy yyy 即即 即分 , 04 44 , 4 , 4 3 2 3 22 121 y y y yy yyy即 即.(*)04)(4 3232 yyyy , 4 44 32 2 3 2 2 32 yyyy yy kPQ ) 4 ( 4 2 2 32 2 y x yy yyPQ 的方程是直线 即.4)(,4)( 3232 2 2322 xyyyyyyxyyyy即 由（*）式，, 4)(4 3232 yyyy代入上
13、式，得).1(4)(4( 32 xyyy 由此可知直线 PQ 过定点 E（1，4） () 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时，求直线AB的方程; () 当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值 联立方程 00 2 220 4 x xyy xy ，消去x整理得 222 000 20yyxyy 由一元二次方程根与系数的关系可得 2 1200 2yyxy， 2 120 y yy 所以 22 1212000 121AFBFy yyyyxy 又点 00 ,P xy在直线l上，所以 00 2xy， 所以 2 222 000000 19 212252 22 yxyyyy 所以当 0 1 2 y 时，
14、 AFBF取得最小值，且最小值为 9 2 &网 6、已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过( 2,0)A 、(2,0)B、 3 1, 2 C 三点过椭圆的 右焦点 F 任做一与坐标轴不平行的直线l与椭圆E交于M、N两点，AM与BN所在的直线交于点 Q （1）求椭圆E的方程： （2）是否存在这样直线m，使得点 Q 恒在直线m上移动？若存在，求出直线m方程，若不存在，请说明 理由 直线AM的方程为： 11 11 (1) (2),(2) 22 yk x yxyx xx 即 由直线AM的方程为： 2 2 (2) 2 y yx x ，即 2 2 (1) (2) 2 k x yx x 由直线AM
15、与直线BN的方程消去y，得 121212122 12122 2(3)223()4 34()24 x xxxx xxxx x xxxxx 222 22 222 22 2 2 22 8(3)2446 244 343434 4 846 42 3434 kkk xx kkk kk xx kk 直线AM与直线BN的交点在直线4x 上 故这样的直线存在 7、已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点 2 F与抛物线 2 2: 4Cyx的焦点重合，椭圆 1 C与抛物线 2 C在第一象限的交点为P， 2 5 | 3 PF 圆 3 C的圆心T是抛物线 2 C上的动点，圆 3 C与y轴交于
16、,M N两 点，且| 4MN （1）求椭圆 1 C的方程； （2）证明:无论点T运动到何处，圆 3 C恒经过椭圆 1 C上一定点 解法 2：抛物线 2 2: 4Cyx的焦点坐标为(1,0)，点 2 F的坐标为(1,0) 抛物线 2 C的准线方程为 1x 设点P的坐标为 11 (,)x y，由抛物线的定义可知 21 1PFx， 2 5 3 PF ， 1 5 1 3 x ，解得 1 2 3 x 由 2 11 8 4 3 yx，且 1 0y 得 1 2 6 3 y 点P的坐标为 2 2 ( ,6) 3 3 在椭圆 1 C: 22 22 1(0) xy ab ab 中，1c 由 222 22 1 42
17、4 1 99 c, abc , . ab 解得2,3ab椭圆 1 C的方程为 22 1 43 xy （2）证法证法 1: 设点T的坐标为 00 (,)xy，圆 3 C的半径为r， 圆 3 C与y轴交于,M N两点，且| 4MN ， 22 0 | 24MNrx 2 0 4rx 圆 3 C的方程为 222 000 ()()4xxyyx 点T是抛物线 2 2: 4Cyx上的动点， 2 00 4yx( 0 0 x ) 2 00 1 4 xy 把 2 00 1 4 xy代入 消去 0 x整理得: 222 00 (1)2()0 2 4 x yyyxy 方程对任意实数 0 y恒成立， 22 10, 2 20
18、, 40. x y xy 解得 2, 0. x y 点(2,0)在椭圆 1 C: 22 1 43 xy 上， 无论点T运动到何处，圆 3 C恒经过椭圆 1 C上一定点2, 0 8已知椭圆 ： 过点，且离心率 （）求椭圆 的方程； （） 椭圆 长轴两端点分别为， 点 为椭圆上异于的动点， 直线 ：与直线分别交于两 点，又点，过三点的圆是否过 轴上不同于点 的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请 说明理由 【答案】 （） ； （） 存在，定点为 【思路引导】 （1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由 a，b，c 的关系，即可得到椭圆 方程； （2）设 ，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两
19、直线垂直的条件，计算即可得证 试题解析： （）由，解得，故椭圆 的方程为 （）设点，直线的斜率分别为，则 又：，令得， ：，令得， 则，过三点的圆的直径为， 设圆过定点，则，解得或（舍） 故过三点的圆是以为直径的圆过 轴上不同于点 的定点 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，圆 的直径所对的圆周角为直角，属于中档题涉及定点定直线等问题时，一般先假设存在，然后根据条件推导， 注意直线过定点的直线系形式 9已知抛物线的焦点， 为坐标原点， 是抛物线 上异于 的两点，若直线 的斜率之积为，求证：直线过 轴上一定点 【答案】 试题解析：抛物线方程为
20、，当直线斜率不存在时，设 ，由斜率之积为得 ， 此时直线方程为 当直线斜率存在， 设方程为， 与联立得， 又解得即， 综上所述，直线过定点 10已知椭圆的右焦点为左顶点为 （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 交于（不同于点 的）两点试判断直线与 轴的交 点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 【答案】 （1）椭圆 的方程为 ； （2）直线与 轴的交点是定点，坐标为 【思路引导】 （1）由已知得 椭圆 的方程为 （2） 当直线与 轴垂直时 的方程为联立直线与 轴的 交 点 为 当 直 线不 垂 直 于轴 时设 直 线的 方 程 为联 立 且即 由题意知 或 直线与 轴的交点为 【点评】本题的几个关键难点有：利用分类讨论思想确立解题总体思路，即：直线与 轴垂直，当 直线不垂直于 轴；利用舍而不求法，结合韦达定理将问题转化为；较为 繁杂的计算量
