1、 【题型综述题型综述】 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：分离参数函数最值；直接化为最值分类讨论； 缩小范围证明不等式；分离函数数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函 数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可 能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值 的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一 般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简 单，分类范围较小，分类情况较少，难
2、点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函 数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像 的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实 际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。 【典例指引】典例指引】 例 1 己知函数 ( )() ln xx fxeaxbex=+-. （1）若函数 ( ) f x在1x =处取得极值，且1b =，求a； （2）若ba=-，且函数 ( ) f x在 ) 1,+?上单调递増，求a的取值范围. 法二（直接化为最值直接化为最值分类讨论分类讨论）：令 ( )
3、1 lng xaxx x =-， ( ) 2 2 1axx gx x -+ =.令 ( )() 2 11h xaxxx=-+?， 当 0a =时，1(0)h xx-+ =，所以 ( ) 0gx ，即 ( ) g x在 ) 1,+?上单调递减.而 ( ) 111 0ga=-=- 时，则开口向上 (方案一）：.若 140aD= -?，即 1 4 a 时，( )0h x ,即 ( ) 0,1,gxx ?，所以 ( ) g x在 ) 1,+?上递 增，所以 ( )( )min 110gxga=-?，即1a . .若0D，即 1 0 4 a时，此时 ( ) 11 0ga=- ? ( ) g x在 ) 1
4、,+?上为 增函数，则 ( )( ) 110g xga=-?，故1a 适合题意. （2）当0a=时， ( ) 2 1 x fx x = + ，求导,酒红色的单调性可得 ( )( ) max 1 1 2 fxf=,进而得到 ( ) 1 0, 2 fx 轾 犏 犏 臌 . 又 ( ) 2 3gxxk= -， 1,2x，分类讨论,可得3k 或12k 时， ( ) g x在 1,2上无极值. 若312k， 或 ( ) m a x m a x 82, 1gxkk=- 0，可得k的取值范围. 【详细解析】 ( ) fx的单调递增区间为 1 2, 2 骣 琪 - 琪 桫 ，单调递减区间为( ) ,2-?，
5、1 , 2 骣 琪 +? 琪 桫 . ( ) f x的极小值为 () 1 2 4 f -=-. 8已知函数 ( )() sincos0f xxxx x=-?. (1)求函数 ( ) fx的图象在 ,1 2 骣 琪 琪 桫 处的切线方程； (2)若任意 () 0,x?，不等式 ( ) 3 f xax恒成立，求实数a的取值范围； (3)设 ( ) 2 0 dmfxx=， ( ) () ( ) 2 6 4 m g xfx x = - ， 证明： 2 111 111e 333n ggg 轾轾骣骣骣 犏犏琪琪琪+ 琪琪琪 犏犏 桫桫桫臌臌 . 【思路引导】 (1) 求导,易得结果为 1 22 yx 骣
6、琪=-+ 琪 桫 ; (2) 原 不 等 式 等 价于 3 sincos0 xxxax-?, 令 ( ) 3 sincosg xxxxax=-, ( )() sin3gxxxax=- , 令 ( )( ) sin3,cos3h xxax h xxa= -,分 1 3 a ?, 1 3 a , 11 33 a-,求导并判断函数 ( ) u x的单调性,求出 ( )( ) 00u xu=, 即 () ln 1 xx+在( ) 0, +上恒成立, 令 111 ln 1 333 nnn x 骣 琪=+ ? ， ( ) g x递增， ( )( ) 00g xg= (不符合题意) 综上： 1 3 a .
7、9已知函数 ( ) 2 f xxx=-， ( ) e1(e x g xax=-为自然对数的底数). (1)讨论函数 ( ) g x的单调性； (2)当0 x时， ( )( ) f xg x恒成立，求实数a的取值范围. 【思路引导】 (1) ( ) exgxa =-，分0a、0a两种情况讨论 ( ) gx 的符号，则可得结论；(2) 当0 x时，原不等式 可 化 为 e1 1 x ax xx ?-+， 令 ( ) e1 1(0) x h xxx xx =-+， 则 ( ) () 2 2 e11 x xx hx x -+ =， 令 ( )() 2 e11 (0 ) x xxxxj=-+， 则 (
8、)( ) e2 x xxj =-， 进而判断函数 ( ) h x的单调性， 并且求出最小值， 则可得结论. 【详细解析】 (1) ( ) exgxa =- 若a0， ( ) 0gx ， ( ) g x在( ) ,-+上单调递增； 若0a，当 ( ,lnxa?时， ( ) 0gx ， ( ) g x单调递增 10设函数. （1）当时,求函数在点处的切线方程； （2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围. 【思路引导】 （1）把0a=代入函数解析式，求导后得到函数在点 ( )() ,P e f e处的切线的斜率，然后利用直线方程的点 斜式得答案； （2）由 ( ) 0f x ，得 () 2 ln2
9、110axx xax a-+ -?，求出函数的导函数，导函数在1x= 处，的导数为零，然后由导函数的导函数在 ) 1,+?上大于零求得a的范围，就是满足函数 ( ) 0f x 恒成 立的实数a的取值范围. 【详细解析】 （1）当时, 由，则 函数在点处的切线方程 为 即 来源: 11设函数 ( ) ln x f xaex x=-，其中Ra， e是自然对数的底数. （）若 ( ) fx是( ) 0,+?上的增函数，求a的取值范围； （）若 2 2 e a ，证明： ( ) 0fx . 【思路引导】 （I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得a的最小值，由此得到a的取值 范
10、围； （II）将原不等式 ( ) 0fx ，转化为 e ln0 x a x x -，令 ( ) e ln x a F xx x =-，求出 ( ) F x的导数，对x 分成01,1xx两类，讨论函数的最小值，由此证得 ( ) 0F x ，由此证得 ( ) 0fx . 【详细解析】 （） ( ) 0fx ? e ln0 x a x x -. 令 ( ) e ln x a F xx x =-（0 x） ，以下证明当 2 2 e a 时， ( ) F x的最小值大于 0. 求导得 ( ) () 2 1 e1 x a x Fx xx = - - () 2 1 1 exa xx x 轾 =- 臌 . 当
11、01x ?时， ( ) 0Fx ； 当1x时， ( ) () 2 1a x Fx x = - () e 1 x x a x 轾 犏 - 犏 - 臌 ，令 ( ) () e 1 x x G x a x =- - ， 则 ( ) exGx = () 2 1 0 1a x + - ，又 ( ) 2 2 2eG a =- 2 e2 0 a a - =?， 取 () 1,2m且使 () 2 e 1 m a m - ，即 2 2 e 1 e1 a m a - ，则 ( ) () e 1 m m G m a m =- - 22 ee00,继续求导，令，得。可知的最小值为 0,把上式看成解关于 a 的不等式，
12、利用函数导数解决。 【详细解析】来源:Z#xx#k.Com （）， 函数与有公共切线，函数与的图象相切或无交点 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为 （） ，则， （）等价于在上恒成立， 令， 因为，令，得， 极小值 所以的最小值为， 令，因为， 令，得，且来源:ZXXK 来源:163文库 极大值 所以当时，的最小值， 当时，的最小值为 ， 所以 综上得 的取值范围为 13已知函数，. （1）求证：（） ； （2）设，若时，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1）即证恒成立，令求导可证； （2） ，又 ，因为时，恒成 立，所以，所以只需考虑。又，所以下证符合。 【详细解析】 当时，来源:ZXXK
