1、 1 湖南省邵东县 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理（含解析） 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1. 复数 z= （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 D 【解析】试题分析： ，对应点为 ，在第四象限故选 D 考点：复数的运算与几何意义 2. 用反证法证明命题 “ 三角形的内角中至少有一个不大于 60” 时，假设正确的是 ( ) A. 假设三内角都不大于 60 B. 假设三内角都大于 60 C. 假设三内角至多有一个大
2、于 60 D. 假设三内角至多有两个大于 60 【答案】 B 【解析】试题分析：由题意得，反证法的证明中，假设应为所正结论的否定，所以用反证法证明命题 “ 三角形三个内角至少有一个不大于 60” 时，假设应为 “ 三个内角都大于60” ，故选 B 考点：反证法 3. 通过随机询问 110 名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 得， 2 0 050 0 010 0 001 3 841 6 635 10 828 参照附表，得到的正确结论是 （ ） A. 在犯错误的概率不超过 0.001的前提
3、下，认为 “ 爱好运动与性别有关 ” B. 在犯错误的概率不超过 0.01的前提下，认为 “ 爱好运动与性别有关 ” C. 在犯错误的概率不超过 0.001的前提下，认为 “ 爱好运动与性别无关 ” D. 有 以上的把握认为 “ 爱好运动与性别无关 ” 【答案】 B 【解析】 由列联表算得 ， ， 在犯错误的概率不超过 0.010的前提下认为 “ 爱好该项运动与性别有关 ” 。 故选： B. 点睛：利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值 值越大，说明 “ 两个变量有关系
4、 ” 的可能性越大 4. ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由已知得 ， 令 得： ，解得 . 故选 C. 5. =（ ） A. B. C. D. 【 答案】 D 3 【解析】 . 故选 D. 6. 已知函数 f(x) x3 ax2 (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数 a的取值范围是 ( ) A. ( 1,2) B. ( ， 3) (6， ) C. ( 3,6) D. ( ， 1) (2， ) 【答案】 B 【解析】 根据题意可得： ，解得 或 ，故选 C. 点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为 0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号
5、，我们称之为导函数的 “ 变号零点 ” ，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究 导函数的图像能 “ 穿过 ” 轴即可 . 7. 在 R上可导的函数 的图象如图示， 为函数 的导数，则关于 的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由图象可知 的解为 和 函数 在 上增 ,在 上减 ,在 上增 在 上大于 0,在 (?1,1)小于 0,在 (1,+) 大于 0 当 x0时 解得 综上所述 , ， 故选 A. 4 8. 的展开式中，各项系数的和是 （ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】 C 【解析】 令 可得各项系数的和是 ，故选 C. 9. 从
6、 1， 2， 3， 4， 5 中任取 2个不同的数，事件 “ 取到的 2个数之和为偶数 ” ，事件=“ 取到的 2个数均为偶数 ” ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 事件 A=“ 取到的 2个数之和为偶数 ” 所包含的基本事件有： (1,3)、 (1,5)、 (3,5)、(2,4)， p(A)= ， 事件 B=“ 取到的 2个数均为偶数 ” 所包含的基本事件有 (2,4),P(AB)= . 本题选择 B选项 . 10. 已知一 个射手每次击中目标的概率为 ，他在四次射击中命中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 命中次数 服从二项分
7、布 ， 所以在四次射击中命中两次的概率为 .故选 B. 点睛：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： 是否为 n次独立重复试验 ， 在每次试验中事件 A发生的概率是否均为 p； 随机变量是否为在这 n次独立重复试验中某事件发生的次数 ， 且 表示在独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k次的概率 11. 从 5位男实习教师和 4位女实习教师中选出 3位教师派到 3个 班实习班主任工作，每班派一名，要求这 3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有（ ） A. 210 B. 420 C. 630 D. 840 5 【答案】 B 【解析】依题意可得， 3位实习教师中可能是一男两女或两男一女
8、。若是一男两女，则有种选派方案，若是两男一女，则有 种选派方案。所以总共有种不同选派方案，故选 B 12. .设 ABC三边长为 a， ， ； ABC的面积为 S，内切圆半径为，则 ，类比这个结论可知，四面体 S-ABC的四个面的面积分别为 ，四面体 S-ABC的体积为 ，内切 球半径为，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O到四个面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O为顶点，分别以四个面为底面的 4个三棱锥体积的和 则四面体的体积为 考点：类比推理 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，把答
9、案填在题中横线上 ) 13. _ 【答案】 【解析】 由 得： . .所以 . 14. 二项式 的展开式中的常数项是 _ 【答案】 45 【解析】 二项式 的展开式中通项公式为. 令 。解得 . 所以当 时，二项展开式的常数项为 . 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 6 (1)求展开式中的特定项 .可依据条件写出第 r 1项，再由特定项的特点求出 r值即可 . (2)已知展开式的某项，求特定项的系数 .可由某项得出参数项，再由通项写出第 r 1项，由特定项得出 r值，最后求出其参数 . 15. 用 0到 9这 10个数字，可以组成 _个没有重复数字的三位数。 【答案】 648 【
10、解析】 在 0到 9这 10 个数字中，任取 3个数字，按从 左到右的顺序排列，有 =720种排法， 其中不能组成三位数的即第一个数字为 0的有 =72种排法； 故可以组成没有重复数字的三位数一共有 720-72=648 个 . 答案为 648. 16. 已知随机变量 服从二项分布 ，随机变量 ，则 _。 【答案】 9.6 【解析】 随机变量 服从二项分布 ，则有 . 随机变量 ,所以 . 三、解答题（本大题共 8小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 如图，求直线 与抛物线 所围成的图形的面积 . 【答案】 【解析】 试题分析：先求出直线 与抛物线 的交点坐
11、标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可 试题解析： 或 7 . 18. 某种产品的广告费支出 x（单位：百万元）与销售额 y(单位：百万元 )之间有如下的对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）画出散点图； （ 2）求 y关于 x的线性回归方程。 （ 3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元 ？ 参考公式 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： ， 【答案 】 （ 1）见解析；（ 2） ；（ 3） 82.5. 【解析】 试题分析： （ 1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系
12、中画出散点图 （ 2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出 a的值，写出线性回归方程 （ 3）将 x=10代入回归直线方程求出 y的值即为当广告费支出一千万元时的销售额的估计值 试题解析： （ 1） 8 . （ 2） ； 于是所求的线性回归方程是 （ 3）当 时， . 点睛：求解回归方程问题的三个易误 点： 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直
13、线必过 点，可能所有的样本数据点都不在直线上 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值 (期望值 ) 19. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约 .乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则 两人都不签约 .设甲、乙、丙面试合格的概率分别是 ， ， ，且面试是否合格互不影响 .求： （ 1）至少有 1人面试合格的概率； （ 2）签约人数 的分布列和数学期望 . 【答案】 （ 1） ；（ 2）见解析 . 【解析】试题分析：（ ）用 A， B， C分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知 A， B，C相互独立，且 P（
14、A） P（ B） ， P（ C） 由至少有 1人面试合格的概率是 ，能求出至少有 1人面试合格的概率（ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3分别求9 和 ，由此能求出 的分布列和 的期望 E 试题解析：用 A， B， C 分别表 示事件甲、乙、丙面试合格由题意知 A， B， C 相互独立， 且 P（ A） P（ B） ， P（ C） 2分 （ ）至少有 1人面试合格的概率是 4分 （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3 6分 = = 8分 9分 10分 所以， 的分布列是 0 1 2 3 P 的期望 12分 考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列 20. 的表达式，10 并用数学归纳法进行证明。 【答案 】 见解析 【解析】 试题分析：由题意得 S1=a1，由 S2=a1+a2求得 S2，同理求得 S3， S4猜想 ， ，用数学归纳法证明，检验 n=1时，猜想成立；假设 , 则当 n=k+1时，由条件可得当 n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立 试题解析： 猜想 下面用数学归纳法证明这个猜想 （ 1） 猜想成立 （ 2）假设当 那么 所以，当 根据
