1、 【题型综述题型综述】 圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数， 转化函数的取值 范围与最值问题， 其求解策略一般有以下几种：几何法：若目标函数有明显几何特征和意义， 则考虑几何图形的性质求解；代数法:若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导 数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变 换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根 式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的 最值. 【典例指引】典例指引】 类型一类型一 角的最
2、值问题角的最值问题 例 1 【2017 山东，理 21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： 22 22 1 xy ab 0ab的离心率为 2 2 ，焦 距为2. （）求椭圆E的方程； （）如图，动直线l： 1 3 2 yk x交椭圆E于,A B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为 2 k，且 12 2 4 k k ，M是线段OC延长线上一点，且:2:3MCAB ，M圆的半径为MC，,OS OT是M圆的两 条切线，切点分别为,S T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率. 【解析】 类型二类型二 距离的最值问题距离的最值问题 例 2.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如
3、图，已知抛物线 2 xy，点 A 1 1 () 2 4 ， 3 9 () 2 4 B，抛物线 上的点) 2 3 2 1 )(,(xyxP过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q （）求直线 AP 斜率的取值范围； （）求|PQPA 的最大值 【解析】 类型三类型三 几何图形的面积的范围问题几何图形的面积的范围问题 例 3 【2016 高考新课标 1 卷】 （本小题满分 12 分） 设圆 22 2150 xyx的圆心为 A,直线 l 过点 B （1,0） 且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明EAEB为定值,并写出点 E
4、的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边 形 MPNQ 面积的取值范围.学# 【解析】 类型四类型四 面积的最值问题面积的最值问题 例 4. 【2016 高考山东理数】（本小题满分 14 分） 平面直角坐标系xOy中， 椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的 离心率是 3 2 ，抛物线E： 2 2xy的焦点 F 是 C 的一个顶点. （I）求椭圆 C 的方程； （II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线l与 C 交与不同的两点 A，B，线段 A
5、B 的中 点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. （i）求证：点 M 在定直线上; （ii）直线l与 y 轴交于点 G，记PFG的面积为 1 S，PDM的面积为 2 S，求 1 2 S S 的最大值及取得最大 值时点 P 的坐标. 【解 析】 【扩展链接】【扩展链接】 1.1.过椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b0)上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则 直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 2.2.若椭圆若椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b0)与直线mkxyl
6、:交于),(),( 2211 yxByxA，则 （1）0 2222 mkab （2） 222 2222 21 222 2 21 2 kab baam xx kab kma xx ， 222 22222 21 222 2 21 2 kab bakbm xx kab mb yy ， （3） 222 22222 )(1 (2 | kab mkabkab AB ， 222 2222 | kab mkabmab S OAB . 【新题展示】新题展示】 1【2019 福建莆田质检】已知椭圆 ：的左，右焦点分别为，离心率为 ， 是 上的一个动点。当 为 的上顶点时，的面积为。 （1）求 的方程； （2）设斜
7、率存在的直线与 的另一个交点为 。若存在点，使得，求 的取值范围。 【思路引导】 （1）结合椭圆性质，计算 a，b 的值，得到椭圆方程，即可。（2）设出直线 PQ 的方程，代入椭圆方程， 利用韦达定理，建立等式，用 k 表示 t，结合函数的性质，计算范围，即可。 2【2019 山东日照一模】已知左、右焦点分别为的椭圆过点，且 椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点 (I)求椭圆 C 的离心率和标准方程。 (II)圆 与椭圆 C 交于 A，B 两点，R 为线段 AB 上任一点，直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，若 AB 为圆的直径，且直线的斜率大于 1，求的取值范围 【思路引导】 （）
8、利用椭圆 C 过点，椭圆 C 关于直线 xc 对称的图形过坐标原点，推出 a2c，然后求解 椭圆 C 的离心率，标准方程 （）设 A（），B（），利用中点坐标公式以及平方差法求出 AB 的斜率，得到直线 AB 的方 程，代入椭圆 C 的方程求出点的坐标，设 F1R：yk（x+1），联立，设 P（x3，y3），Q（x4， y4），利用韦达定理，结合，化简|PF1|QF1|，通过，求解 |PF1|QF1|的取值范围 3【2019 湖北部分重点中学联考】已知椭圆的左、右焦点为，离心率为 ，点 在 椭圆 上，且的面积的最大值为 （1）求椭圆 的方程； （2）已知直线与椭圆 交于不同的两点，若在 轴上存
9、在点，使得， 求实数 的取值范围 【思路引导】 （1）根据离心率得到，由的面积的最大值为得到，再结合椭圆中求出参数的 值后可得方程（2）将直线方程代入椭圆方程消去 y 得到关于 x 的二次方程，结合根据系数的关系求出线 段的中点 的坐标，由得，进而有，并由此得到，最后根 据基本不等式得到所求范围 4【2019 广东韶关 1 月调研】已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，椭圆的一个顶点为，右焦点 到直线的距离为 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若过 作两条互相垂直的直线，且 交椭圆 于 、 两点， 交椭圆 于 、 两点，求四边形的 面积的取值范围 【思路引导】 (1)由题意布列关于 a，b 的
10、方程组，解之即可； (2)讨论直线的斜率，联立方程利用韦达定理表示弦长，进而得到四边形的面积，借助对勾函数的图像 与性质即可得到结果 5【2019 湖北黄冈元月调研】已知 为坐标原点，椭圆 ：的左、右焦点分别为， 右顶点为 ， 上顶点为 ， 若，成等比数列， 椭圆 上的点到焦点的距离的最大值为 求椭圆 的标准方程； 过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围 【思路引导】 根据，成等比数列，椭圆 上的点到焦点的距离的最大值为列出关于 、 、 的方程组，求出 、 的值，即可得出椭圆 的方程；对直线和分两种情况讨论：一种是两条直线 与坐标轴垂直，可求出两条弦长度之和；二是当两条直线斜率都存
11、在时，设直线的方程为，将 直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出的长度的表达式，然后利用相应的代 换可求出的长度表达式，将两线段长度表达式相加，利用函数思想可求出两条弦长的取值范围 最后将两 种情况的取值范围进行合并即可得出答案 6【2019 广西柳州 1 月模拟】已知点，直线为平面内的动点，过点 作直线 的垂线，垂 足为点 ，且 （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 作两条互相垂直的直线与分别交轨迹 于四点求的取值范围 【思路引导】 （1） 设动点， 则， 由展开计算得到的关系式即可； (2)当直线的 斜率不存在（或者为 0）时，可求出四点坐标，即可得到；当直线的斜
12、率存在 且不为 0 时， 设为 ， 直线的方程为， 与轨迹 的方程联立， 结合根与系数的关系可得到+ 的表达式，然后利用函数与导数知识可求出的取值范围。 7【2019 江西九江一模】已知抛物线的焦点为 ，直线与 相切于点 ， （）求抛物线 的方程； （）设直线 交 于两点， 是的中点，若，求点 到 轴距离的最小值及此时直线 的方程。 【思路引导】 （）设 A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为 0，结合抛物线的定义，可得抛物线方 程； （）由题意可得直线 l的斜率不为 0，设 l：xmy+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运 用韦达定理和弦长公式，结合中
13、点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程 8【2019 广东广州一模】已知椭圆 C：的离心率为 ，点 P在 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设分别为椭圆 C 的左右焦点，过的直线 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B，求的内切圆的 半径的最大值 【思路引导】 (1) 根据离心率为 ，点在椭圆上，结合性质 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 ， 即可得结果；（2）可设直线 的方程为，与椭圆方程联立，可得，结合韦达 定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得，换元后利用导数可得的 最大值为 ，再结可得结果 【同步训练】同步训练】 1已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab）的离心
14、率 3 2 e ，椭圆过点 2 2,0 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l的斜率为 1 2 ，直线l与椭圆C交于,A B两点，已知2,1P，求PAB面积的最大值. 【思路点拨】（1）由椭圆的离心率得到 a，b 的关系，再由椭圆过定点 P 得另一关系式，联立后求得 a，b 的值，则椭圆方程可求； （2）设出直线 l 的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数关系及弦长 公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出 AB 边上的高，代入面积公式后利用基本不等式求最值 【详细解析】 2.已知是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上， 为椭圆的离心率，且点 为椭 圆短半轴的上顶点，为
15、等腰直角三角形.学 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与坐标轴垂直的直线 ，设 与圆相交于两点，与椭圆相交于两点， 当且时，求的面积 的取值范围. 【思路点拨】 （1） 根据条件列出关于两个独立条件：， 解方程组可得， （2）设直线 的方程为，将条件用坐标表示，联立 直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简条件得因为，所以 利用韦达定理计算最后根据自变量范围，利用对勾函数求函数值域. 【详细解析】 3.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线: l ykxm与椭圆C交于,M N两点， O为坐标原点，若
16、 5 4 OMON kk，求原点O到直线 l的距离的取值范围. 【思路点拨】（1）由已知求得b，再由椭圆离心率及隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）联立直线方 程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，由判别式大于 0 求得 22 41mk，再由 5 4 OMON kk，可 得 2 2 5 4 m k ，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离，则取值范围可求 【详细解析】 4.已知椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点分别是 21,F F，离心率为 2 3 ，过右焦点 2 F的直线l与 椭圆 C 相交于 A、B 两点，ABF1的周
17、长为 8. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求ABF1面积的最大值 【思路点拨】（1）由 F1AB的周长可得a的值，再由离心率的值可得c，由, ,a b c的关系可得b的值， 由此可得椭圆的方程；（2）可设,A B的坐标及直线AB的方程,则 1 F AB的面积可转化为求 12 yy， 联 立椭圆与直线的方程可得 12 yy，由基本不等式即可得 1 F AB的面积的最大值. 【详细解析】 5.已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点 3 1, 2 ， 椭圆C的左焦点为A， 右焦点为B， 点P是椭圆C上 位于x轴上方的动点，且4APBP，直线,AP BP与直线3y 分别交于,G H
18、两点 （1）求椭圆C的方程及线段GH的长度的最小值； （2）T是椭圆C上一点，当线段GH的长度取得最小值时，求TPA的面积的最大值 【思路点拨】（1）由椭圆和抛物线 y24x有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据 a2=b2+c2，即可求 得椭圆 C 的方程； （2）根据（1）写出点 A，B，设点 P 和直线 AP，BP 的方程，并且与直线 y=3分联立，求出 G，H 两点， 根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求, 当平行于AP的直线l与椭圆下方相切时， TPA的 面积取最大值,求此时三角形面积即可. 【详细解析】 6.已知椭圆C的离心率为 3 2 ， 点A， B， F分别为椭圆的
19、右顶点、 上顶点和右焦点， 且 3 1 2 ABF S （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l： ykxm被圆O： 22 4xy所截得的弦长为2 3，若直线l与椭圆C交于M， N两点，求MON面积的最大值 【思路点拨】（1）利用离心率可以得出, a c的关系，化为, a b的关系，再利用ABF的面积列出, ,a b c的 方程，借助 222 abc解出, a b，写出椭圆方程；（2）联立方程组，化为关于x的一元二次方程，利用设 而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长MN，写出面积，利用换元法和配方法求出最 值. 【详细解析】 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C： 2
20、2 116xy，点1,0A，点,0B a（3a ）， 以B为圆心， BA为半径作圆，交圆C于点P，且PBA的平分线交线段CP于点Q.学& （1）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程； （2）已知直线l 过点 C，且与曲线交于 ,M N两点，记OCM面积为 1 S， OCN 面积为 0,0 2 ，求 1 2 S S 的取值范围. 【思路点拨】（1）推导出 QABQPB，从而 QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q 点的轨迹是以 C，A 为焦点， 24a 的椭圆，由此能求出点 Q 的轨迹方程 （2）设直线 l：x=my-1，设 M（x1，y1），N（x2，y2），推导出 1 11 2
21、22 ySy Syy ，由 22 1 1 43 xmy xy 得 22 34690mymy，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出 1 2 S S 的取值范围. 【详细解析】 8.已知抛物线过点（2,1）且关于y轴对称. （1）求抛物线C的方程； （2）已知圆过定点0,2D，圆心M在抛物线C上运动，且圆M与x轴交于,A B两点，设 12 ,DAlDBl，求 12 21 ll ll 的最大值. 【思路点拨】（1）设出抛物线的标准形式，代入已知点坐标即可求解； （2）设 M（a，b），则 a2=4b半径 R=，可得 M 的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+ （b-2）2，令 y=0，
22、解得 x，可得 A，B利用两点之间的距离公式可得：l1，l2，代入利用基本不等式的性质 即可得出 【详细解析】 9.已知点 为圆上一动点，轴于点 ，若动点 满足 （其中 为非零常 数） （1）求动点 的轨迹方程； （2）当时，得到动点 的轨迹为曲线 ，斜率为 1 的直线 与曲线 相交于 ， 两点，求面积的 最大值. 【思路点拨】（1）根据条件用 Q 点坐标表示 A 点坐标，再代入化简可得 的轨迹方程；（2）设 直线 的方程为，根据点到直线距离公式可得三角形的高，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定 理及弦长公式可得三角形底边边长，再根据三角形面积公式可得，最后根据基本不 等式求最大值 【详细解析
23、】 10.已知抛物线 ：（），焦点为 ，直线 交抛物线 于 ，两点，为的 中点，且 （1）求抛物线 的方程； （2）若，求的最小值 【思路点拨】（1）根据抛物线的定义知， ，从而可求出，进而可得结果；（2）设直线 的方程为，代入抛物线 方程，得，根据韦达定理，弦长公式将用 表示，换元后利用基本不等式可得结果. 【详细解析】 11.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 经过 3 1, 2 ，离心率为 1 2 . （1）求椭圆E的方程； （2）设点AF、分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆于,C D两点，求四边形OCAD面 积的最大值（O为坐标原点）.学% 【思路点拨】
24、（1）根据题意列出关于a 、b 、c的方程组，结合性质 222 abc ，求出a 、b 、c， 即 可 得 结 果 ； （ 2 ） 设 直 线CD的 方 程 为1xky， 与 椭 圆 方 程 22 1 43 xy 联 立 得 ： 22 34690kyky，根据韦达定理及三角形面积公式可得 2 2 121 34 OCADOCAODA k SSS k ，利 用基本不等式可得结果. 【详细解析】 12.已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点,2Q a到焦点的距离为 3，线段AB的两端 点 11 ,A x y， 22 ,B xy在抛物线C上. （1）求抛物线C的方程； （2）若y轴上存在
25、一点0,(0)Mmm ，使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的 值； （3）在抛物线C上存在点 33 ,D xy，满足 312 xxx，若ABD是以角A为直角的等腰直角三角形， 求ABD面积的最小值. 【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨 QF 丨=丨 QQ1丨，即可求得 p 的值，即可求得抛物线方程； （2）设 AB 的方程，代入椭圆方程，由0OA OB，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得 m 的值； （3）设 2 1 1, 4 x A x ， 2 2 2, 4 x B x ， 2 3 3, 4 x C x ，根据抛物线关于y轴对称，取 1 0 x ，记 1AB kk， 2AD kk，则有 21 1 4 xx k ， 31 2 4 xx k ，所以 211 4xkx， 321 4xkx， 12 1k k ，由 ABAD， 即 22 121231 11kxxkxx， 进 而 化 简 求 出 1 x， 得 ： 3 1 1 2 11 44 22 k x kk ， 2 2 22 1 1 2 11 4411 |1 22 ABD k SABk kk ，即可求得 ABD 面积的最小值 【详细解析】
