1、 【题型综述题型综述】 导数的几何意义：导数的几何意义： 函数( )yf x在 0 xx处的导数 0 ()fx就是曲线( )yf x在点 00 (,()xf x处的切线的斜率k，即 00 0 0 ()() ()lim x f x + xf x kfx x 【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切 点和不是切点两种情况求解 （1）当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为 yy0=f (x0)(xx0)； （2）当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P(x1，f (x1)；来源:Z*X*
2、X*K来源:163文库 第二步：写出过 P(x1，f (x1)的切线方程为 yf (x1)=f (x1)(xx1)； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1； 第四步：将 x1的值代入方程 yf (x1)=f (x1)(xx1)，可得过点 P(x0，y0)的切线方程 求曲线求曲线 y=f (x)的切线方程的类型及方法的切线方程的类型及方法 （1）已知切点 P(x0, y0)，求 y=f (x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f (x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为 k，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，通过方程 k=f (x0
3、)解得 x0，再由点 斜式写出方程； （3） 已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)， 再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程 （4） 若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜 率，再由 k=f (x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程 （5）在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线，P 一定在曲线上 过点 P 的切线即切线过点 P，P 不一定是切点因此在求过点 P 的切线方程时，应首先检验点 P 是 否在已知曲线上 【典
4、例指引】【典例指引】 例 1（2013 全国新课标卷节选）已知函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线 yf(x)和曲线y g(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2来源: （）求 a，b，c，d 的值 来源:ZXXK 例 2设函数axxf 2 )( （1）当1a时，求函数 )()(xxfxg 在区间 1 , 0 上的最小值； （2）当0a时，曲线 )(xfy 在点)(,( 111 axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点 )0 ,( 2 xA， 求证：axx 21 例 3已知函数 32 3,f xaxbxx a bR在点 1,1f处的切线方程为20y
5、来源:ZXXK 求函数 f x的解析式； 若对于区间2,2上任意两个自变量的值 12 ,x x都有 12 f xf xc，求实数c的最小值； 若过点2,2Mmm 可作曲线 yf x的三条切线，求实数m的取值范围 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 吉林一调】已知函数 当时，求函数在点处的切线方程； 当时，若对任意都有，求实数 a 的取值范围 2 【2019 北京昌平区期末】已知函数 f(x)=lnx-a ()若 a=-1，求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程； ()若 f(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 来源:Z&xx&k.Com 来源:Z.X.X.K 3 【2019
6、浙江浙南名校联盟期末联考】设，函数. （I）证明：当时，对任意实数 ，直线总是曲线的切线； （）若存在实数 ，使得对任意且，都有，求实数 的最小值. 4 【2019 河南省期末】已知函数. （1）若，曲线在点处的切线经过点，求 的最小值； （2）若只有一个零点 ，且，求 的取值范围. 【同步训练】【同步训练】 1设函数 2 ln(0)f xa xbxx，若函数 f x在1x 处的切线方程为6270 xy （）求实数, a b的值；来源:Z_xx_k.Com （）求函数 f x在 1 ,e e 上的最大值 2已知函数，其导函数的两个零点为-3 和 0 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数
7、的单调区间； （3）求函数在区间上的最值 3设函数 yf x的定义域为D，若对任意 1 x， 2 xD，都有 12 1f xf x，则称函数 yf x 为“storm”函数已知函数 32 1f xxbxcx的图象为曲线C，直线1ykx与曲线C相切于 1, 10 （1）求 f x的解析式，并求 f x的减区间； （2）设02m，若对任意2,xmm，函数 16 f x g x m 为“storm”函数，求实数m的最小值 4已知函数 4 4,f xxxxR （1）求 f x的单调区间； （2）设曲线 yf x与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 yg x，求证：对于任意 的正实数x，都有
8、 f xg x； （3）若方程 = (f xa a为实数）有两个正实数根 12 xx， ，且 12 xx，求证： 1 3 21 4 3 a xx 5已知函数 ,0 1 b f xaxa aR a x 在3x 处的切线方程为21230axy （1）若 g x= 1f x，求证：曲线 g x上的任意一点处的切线与直线0 x 和直线yax围成的三角 形面积为定值； 来源:163文库 6已知函数 32 f xxmxnx（,m nR） （1）若 f x在1x 处取得极大值， 求实数m的取值范围； （2）若 10 f ，且过点0,1P有且只有两条直线与曲线 yf x相切，求实数m的值 7已知函数 x f
9、xe， ln2g xx （1）若直线ykxb是曲线 yf x与曲线 yg x的公切线，求, k b； 8已知函数 32 5 2 f xxxaxb（, a b为常数） ，其图像是曲线C （1）设函数 f x的导函数为 fx，若存在三个实数 0 x，使得 00 f xx与 0 0fx同时成立，求 实数b的取值范围； （2） 已知点A为曲线C上的动点， 在点A处作曲线C的切线 1 l与曲线C交于另一点B， 在点B处作曲线C 的切线 2 l，设切线 12 , l l的斜率分别为 12 ,k k，问：是否存在常数，使得 21 kk？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由 9已知函数 lnf xb x， 2 g xaxx aR （1）若曲线 f x与 g x在公共点1,0A处有相同的切线，求实数, a b的值；来源:Z,xx,k.Com （2）当1b 时，若曲线 f x与 g x在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一； （3）若0a ， 1b ，且曲线 f x与 g x总存在公切线，求：正实数a的最小值
