1、 专题 13 探究代数表达式，函数方程来发力 【题型综述】 探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线 与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存 在，否则不存在 (2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直 线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即 存在。 【典例指引】 类型一 参数值的探究 例 1 【2016 年高考四川理数】 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 的
2、两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 :3l yx 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. （）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； （）设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P证明： 存在常数，使得 2 PTPAPB，并求的值. 【解析】 类型二 恒等式成立探究 例 2. 【2015 高考四川，理 20】如图，椭圆 E： 22 22 +1(0) xy ab ab 的离心率是 2 2 ，过点 P（0,1）的 动直线l与椭圆相交于 A，B 两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆 E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆
3、 E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 QAPA QBPB 恒成立？若存在，求出 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】 类型三 面积最小值存在性 例 3【2015 高考湖北，文 22】一种画椭圆的工具如图 1 所示O是滑槽AB的中点，短杆 ON 可绕 O 转动， 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且1DNON，3MN 当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕O转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C以O为原点，AB 所在的 直线为x轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 （）
4、求椭圆 C 的方程； （）设动直线l与两定直线 1: 20lxy和 2: 20lxy分别交于,P Q两点若直线l总与椭圆C有且只有 一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 【解析】 类型四 面积关系探究 例 4.（2011 湖南理 21）如图 7,椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,x轴被曲线 2 2: Cyxb截 得的线段长等于 1 C的长半轴长. ()求 12 ,C C的方程; ()设 2 C与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与 2 C相交于点,A B,直线,MA MB分别与 1 C相交于点 ,D
5、 E. ()求证:MDME; ()记,MABMDE的面积分别为 12 ,S S.问:是否存在直线l,使得 1 2 17 32 S S ?请说明理由. 【扩展链接】 1. F为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的其中一个焦点，若P是椭圆上一点，则caPFca|. 2. F为双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点，若P是双曲线右支上一点，则caPF |，若P是 双曲线左支上一点，则caPF |，. 3. F为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点，AB是过左焦点倾斜角为的弦，点A在x轴上方，则 cos | 2 ca b A
6、F , cos | 2 ca b BF , 222 2 cos 2 | ca ab AB , cos cos | | ca ca BF AF . 4. F为抛物线)0(2 2 ppxy的焦点，AB是过左焦点倾斜角为的弦，点A在x轴上方，则 cos1 | p AF， cos1 | p BF, 22 sin 2 cos1 2 | pp AB , cos1 cos1 | | BF AF . 【新题展示】 1 【2019 四川二诊】已知，椭圆 C 过点，两个焦点为，E，F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数， 直线 EF 的斜率为， 直线 l 与椭圆 C 相切
7、于点 A， 斜率为 求椭圆 C 的方程； 求的值 【思路引导】 可设椭圆 C的方程为，由题意可得，由椭圆的定义计算可得 ，进而得到 b， 即可得到所求椭圆方程； 设直线 AE：，代入椭圆方程，运用韦达定理可得 E的坐标，由题意可将 k换为，可得 F 的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线 EF 的斜率，设出直线 l的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭 圆相切的条件：判别式为 0，可得直线 l的斜率，进而得到所求斜率之和 2 【2019 河南新乡二模】设椭圆的右顶点为 ，上顶点为 已知椭圆的焦距为， 直线的斜率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线（）与椭圆交于， 两点，且点在第二象限 与延长线
8、交于点 ，若 的面积是面积的 倍，求 的值 【思路引导】 （1）利用椭圆的焦距和的斜率列方程组，解方程组求得的值，由此求得椭圆标准方程 （2）设出 两点的坐标，利用“的面积是面积的 倍”得到 ，转化为向量，并用坐标表 示出来，求得两点横坐标的关系式联立直线的方程和直线 的方程，求得 点的横坐标；联立椭圆的 方程和直线 的方程，求得点的横坐标，根据上述求得的两点横坐标的关系式列方程，解方程求得 的 可能取值，验证点横坐标为负数后得到 的值 3 【2019 陕西汉中 3 月联考】顺次连接椭圆 ：的四个顶点恰好构成了一个边长为 且面积为的菱形 （1）求椭圆 的方程； （2） ， 是椭圆 上的两个不同
9、点，若直线，的斜率之积为（ 为坐标原点） ，线段上有一点 满足，连接并延长交椭圆 于点 ，求的值 【思路引导】 （1）由菱形的面积公式可得 2ab2，由勾股定理可得 a2+b23，解方程即可得到所求椭圆方程； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，N（x3，y3） ，由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公 式，化简变形，即可得到所求值 来源: 4 【2019 东北三省三校一模】 已知椭圆：的左、 右两个顶点分别为， 点 为椭圆上异于 的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点 与的连线斜率分别为，且 ，记动点 的轨迹为曲线 （1）当时，求曲线的方程； （2）已知点，直线与分
10、别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为， 若，求的取值范围 【思路引导】 (1)由题意设 ， ，再表示出得出 然 后求得结果 (2) 由题求出直线的方程为：，直线的方程为： ，然后分别与曲线联立，求 得点 E、F 的纵坐标，然后再代入面积公式表示出 再利用函数的单调性求得范围 5 【2019 安徽江南十校 3 月检测】已知抛物线 的准线方程为 （1）求抛物线 的标准方程； （2）过点作斜率为的直线交抛物线 于 ， 两点，点，连接，与抛物线 分别交于 ， 两点，直线的斜率记为，问：是否存在实数 ，使得成立，若存在，求出实数 的值；若 不存在，请说明理由 【思路引导】 （1）根据标准方程与准线的关
11、系，可直接求得； （2）假设存在，通过假设四点坐标，可以表示出 和，然后利用韦达定理求解出 6 【2019 安徽六校联考】 已知椭圆 ：的左、 右焦点分别为， 离心率为， 直线 ： 与椭圆交于，四边形的面积为 （）求 的方程； （）作与 平行的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为 ，若的斜率分别为，求的 取值范围 【思路引导】 （1）运用椭圆的离心率公式和四边形的面积求法，以及椭圆中的关系，列出对应的方程组，即可求得 结果； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，得出范围，利用韦达定理以及中点坐标公 式，得到 （） ，根据 的范围求得结果 7 【2019 安徽黄山一模】已知点在
12、抛物线上，且到抛物线焦点的距离为 直线 与 抛物线交于两点，且线段的中点为 （）求直线 的方程 （）点 是直线上的动点，求的最小值 【思路引导】 ()由点到抛物线焦点的距离等于到准线的距离，得到 ，可以求出 ，即可得到抛物线的方程，然 后利用点差法，根据直线 与抛物线交于两点，且线段的中点为，可以求出斜率，从而得到直线 方程； （）都在直线 上，设，设，可以表示出，然后将直线与抛物 线联立，可以得到关于 x的一元二次方程，结合的表达式，可以求出最小值。 8 【2019 湖南株洲统一检测（一)】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在 椭圆上，且轴，的周长为 6 （）求椭圆的标准方程； （） 过点的直
13、线与椭圆 交于 ， 两点， 设 为坐标原点， 是否存在常数 ， 使得 恒成立？请说明理由 【思路引导】 （）由三角形周长可得，求出 ，再根据即可写出椭圆标准方程（）假设存在常 数 满足条件， 分两类讨论 （1） 当过点 的直线的斜率不存在时， 写出 A， B 坐标， 代入 可得（2）当过点 的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立方 程组，利用根与系数的关系代入 中化简即可求出 【同步训练】 1已知 A 为椭圆=1（ab0）上的一个动点，弦 AB，AC 分别过左右焦点 F1，F2，且当线段 AF1 的中点在 y 轴上时，cosF1AF2= （1）求该椭圆的离心率； （2） 设， 试判断 1
14、+2是否为定值？若是定值， 求出该定值， 并给出证明； 若不是定值，请说明理由 【思路点拨】 （1）当线段 AF1的中点在 y 轴上时，AC 垂直于 x 轴，AF1F2为直角三角形运用余弦函数 的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值； （2）由（1）得椭圆方程为 x2+2y2=2b2，焦点坐标为 F1（b，0） ，F2（b，0） ， （1）当 AB，AC 的斜率都 存在时，设 A（x0，y0） ，B（x1，y1） ，C（x2，y2） ，求得直线 AC 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理， 再由向量共线定理，可得 1+2为定值 6；若
15、ACx 轴，若 ABx 轴，计算即可得到所求定值 【详细解析】 2.（2017邯郸二模）已知 F1（c，0） 、F2（c、0）分别是椭圆 G：+=1（0ba3）的左、右焦 点，点 P（2，）是椭圆 G 上一点，且|PF1|PF2|=a （1）求椭圆 G 的方程； （2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、B 两点，若，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否 为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【思路点拨】 （1）根据椭圆的定义，求得丨 PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得 c 的值， 则求得 a 的值，b2=a2c2=4，即可求得椭圆方程； （
16、2）当直线 lx 轴，将直线 x=m 代入椭圆方程，求得 A 和 B 点坐标，由向量数量积的坐标运算 ，即可求 得 m 的 值，求得 O 到直线 l 的距离；当直线 AB 的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理 及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得 O 到直线 l 的距离为定值 【详细解析】 3.在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆的离心率为， 直线 y=x 被椭圆 C 截得的线 段长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过原点的直线与椭圆 C 交于两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点） ，点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于
17、M，N 两点设直线 BD，AM 斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1=k2， 并求出 的值 【思路点拨】 （1）由椭圆离心率得到 a，b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标， 把弦长用交点横坐标表示，则 a 的值可求，进一步得到 b 的值，则椭圆方程可求； （2）设出 A，D 的坐标分别为（x1，y1） （x1y10） ， （x2，y2） ，用 A 的坐标表示 B 的坐标，把 AB 和 AD 的 斜率都用 A 的坐标表示，写出直线 AD 的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的 和，求出 AD 中点坐标，则 BD 斜率可求，再写出 BD 所
18、在直线方程，取 y=0 得到 M 点坐标，由两点求斜 率得到 AM 的斜率，由两直线斜率的关系得到 的值 【详细解析】 4.已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点 （1）求椭圆的方程； （2）椭圆左，右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，则F1AB 的内切圆的面 积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）设椭圆方程，由题意列关于 a，b，c 的方程组求解 a，b，c 的值，则椭圆方程可求； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，不妨设 y10，y20，设F1AB
19、的内切圆的径 R，则F1AB 的周长=4a=8， =（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R 就最大设直线 l 的方程为 x=my+1，与椭 圆方程联立，从而可表示F1AB 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论 【详细解析】来源:ZXXK 5.已知椭圆 C：+=1（a0，b0）的离心率为，右焦点为 F，上顶点为 A，且AOF 的面积为 （O 为坐标原点） （1）求椭圆 C 的方程； （2） 若点 M 在以椭圆 C 的短轴为直径的圆上， 且 M 在第一象限， 过 M 作此圆的切线交椭圆于 P， Q 两点 试 问PFQ 的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由
20、【思路点拨】 （1）由椭圆的离心率为，右焦点为 F，上顶点为 A，且AOF 的面积为 （O 为坐标原点） ， 列出方程组，求出 a=，b=1，由此能求出椭圆 C 的方程 （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，连结 OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，从而 求出PFQ 的周长为定值 2 【详细解析】 6.已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）A、B 是椭圆的左右顶点，P（xP，yP）是椭圆上任意一点，椭圆在 P 点处的切线与过 A、B 且与 x 轴 垂直的直线分别交于 C、D 两点，直线
21、AD、BC 交于 Q（xQ，yQ） ，是否存在实数 ，使 xP=xQ恒成立，并 说明理由 【思路点拨】（1）由椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为 2，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程 （2）设切线方程为 y=kx+m，与椭圆联立消元得（2+3k2）x2+6kmx+3m26=0，由此利用根的判别式、韦 达定理、直线方程，组合已知条件能求出存在 =1，使 xP=xQ恒成立 【详细解析】 7.已知椭圆 C：=1，直线 l 过点 M（1，0） ，与椭圆 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于点 N （1）设 MN 的中点恰在椭圆 C 上，求直线 l
22、的方程； （2）设=，=，试探究 + 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【思路点拨】 （1）设点 N（0，n） ，表示出 MN 中点坐标，代入椭圆方程即可求得 n 值，从而可得直线方程； （2）直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线方程为 x=ty1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（1，0） ，N（0， ） ，联立，消 x 可得（4+3t2）y26ty9=0，利用韦达定理，以及向量共线的坐标可得 =1，同理可得 =1，然后化简即可 【详细解析】 8.已知离心率为的椭圆 C：+=1（ab0）过点 M（2，0） ，过点 Q（1，0）的直线与椭圆 C 相交 于 A，B
23、两点，设点 P（4，3） ，记 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）探讨 k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出 k1+k2的取值范围 【思路点拨】 （1）由题意可知 a=2c，a=2，则 c=1，b2=a2c2=3，来源:Z*X*X*K （2） 分类讨论， 当直线线 AB 的斜率存在时， 代入椭圆方程， 由韦达定理及直线斜率公式， 即可求得的 k1+k2 值 【详细解析】 9.已知椭圆 C：+=1（ab1）的左焦点 F 与抛物线 y2=4x 的焦点重合，直线 xy+=0 与以原 点 O 为圆心，以椭圆的离心率 e 为半径的圆相切 （1）求
24、该椭圆 C 的方程； （2） 过点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点， 线段 AB 的中点为 G， AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D、 E 两点，记GFD 的面积为 S1，OED 的面积为 S2，问：是否存在直线 AB，使得 S1=S2，若存在，求直线 AB 的方程，若不存在，说明理由 【思路点拨】 （1）通过抛物线方程可知 c=1，利用点到直线的距离公式可知 e=，结合 a、b、 c 三者之间的关系可求出 a=2、b=1，进而可得椭圆 C 的方程； （2）通过假设存在直线 AB 使得 S1=S2，则可设其方程为：y=k（x+1） （k0） ，并与椭圆 C 方程联立，结合
25、韦达定理可得 G（，） ，利用 DGAB 可得 D（，0） ，结合GFDOED 可得 =，联立 S1=S2整理得 8k2+9=0，由于此方程无解推出假设不成立 【详细解析】 10.在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1：的离心率为，左、右焦点分别是 F1，F2，P 为椭圆 C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的最小值为 8 （1）求椭圆 C1的方程； （2）设椭圆 C2：为椭圆 C2上一点，过点 Q 的直线交椭圆 C1于 A，B 两点， 且 Q 为线段 AB 的中点，过 O，Q 两点的直线交椭圆 C1于 E，F 两点来源:Z&X&X&K （i）求证：直线 AB 的方程为 x0 x+2y0y
26、=2； （ii）当 Q 在椭圆 C2上移动时，四边形 AEBF 的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由 【思路点拨】 （1）由椭圆的离心率为、右焦点分别是 F1，F2，P 为椭圆 C1上任意一点，|PF1|2+|PF2|2的 最小值为 8，列出方程，求出 a，b，由此能求出椭圆 C1的方程为+ （2） （i）由（1）知椭圆 C2：=1，Q（x0，y0）为椭圆 E 上一点，=1，利用点差法求出 直线 AB 的方程为 x0 x+2y0y=2，由此能求出直线 AB 的方程 （ii）联立直线 EF 与椭圆 C1的方程，得 E（，） ，F（，） ，联 立直线 AB 与椭圆 C1的方程，得：
27、，利用韦达定理求出 |AB|=，点 E（） 、F（）到直线 AB 的距离为 d1，d2， 由此能求出当 Q 在椭圆 C2上移动时，四边形 AEBF 的面积为定值 4 【详细解析】 11.已知椭圆 C：+=1 （ab0）的短轴长为 2，过上顶点 E 和右焦点 F 的直线与圆 M：x2+y24x 2y+4=0 相切 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 过点（1，0） ，且与椭圆 C 交于点 A，B，则在 x 轴上是否存在一点 T（t，0） （t0） ，使得不 论直线 l 的斜率如何变化，总有OTA=OTB （其中 O 为坐标原点） ，若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由 【
28、思路点拨】 （1）由已知可得：b=1，结合直线与圆 M：x2+y24x2y+4=0 相切进而可得 c2=3，a2=4， 即得椭圆 C 的标准方程； （2）在 x 轴上是否存在一点 T（4，0） ，使得不论直线 l 的斜率如何变化，总有OTA=OTB，联立直线 与椭圆方程，结合OTA=OTB 时，直线 TA，TB 的斜率 k1，k2和为 0，可证得结论 【详细解析】 12.已知 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是抛物线 C：x2=2py（p0）上不同两点 （1）设直线 l：y=与 y 轴交于点 M，若 A，B 两点所在的直线方程为 y=x1，且直线 l：y=恰好平分 AFB，求抛物线 C 的
29、标准方程 （2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P，与 y 轴的正半轴交于点 Q，且 y1y2=，是否存在直线 AB，使得 +=？若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（0，） ，由，消去 y 整理得 x22px+2p=0， 直线 y=平分AFB，可得 kAM+kBM=0，利用韦达定理求得 p，即可 （2）由题意知，直线 AB 的斜率存在，且不为零， 设直线 AB 的方程为：y=kx+b （k0，b0） ， 由，得 x22pkx2pb=0， 由已知可得 b=直线 AB 的方程为：y=kx+ 作 AAx 轴，BBx 轴，垂足为 A，B， +=+=，得 k， 【详细解析】来源:
