1、 专题专题 14 探究图形之性质，代数运算是利器探究图形之性质，代数运算是利器 【题型综述题型综述】 探究图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素 某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想， 列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不 存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 【典例指引】【典例指引】 类型一类型一 面积计算面积计算 例 1 【2016 高考上海理数】 （本题满分 14）有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是
2、一条小河，收货的 蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域 1 S和 2 S，其中 1 S中的蔬菜运到河边较近， 2 S中的 蔬菜运到F点较近，而菜地内 1 S和 2 S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐 标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0） ，如图 （1）求菜地内的分界线C的方程 （2）菜农从蔬菜运量估计出 1 S面积是 2 S面积的两倍， 由此得到 1 S面积的“经验值”为 3 8 。 设M是C上纵坐 标为 1 的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪 一个更接近于 1 S面积的经验值 【解析】
3、类型二类型二 四边形形状探究四边形形状探究 例 2. 【2015 高考新课标 2，理 20】已知椭圆 222 :9(0)Cxym m,直线l不过原点O且不平行于坐标 轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M （）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （）若l过点(,) 3 m m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由 【解析】 类型三类型三 探究角是否相等探究角是否相等 例 3【2015 高考北京，理 19】已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 2 2 ，点0 1P，和点 A mn，0m都在椭圆
4、C上，直线PA交x轴于点M （）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示） ； （）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N问：y轴上是否存在点Q，使得 OQMONQ ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由 【解析】 类类型四型四 探究两直线的位置关系探究两直线的位置关系 例 4.【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy 中，曲线 2 2yxmx与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐 标为(0,1).当 m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由； （2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 【解析】 【
5、扩展链接】【扩展链接】 1.给出给出0MBMA,等于已知等于已知MBMA ,即即AMB是直角是直角,给出给出0mMBMA,等于已知等于已知AMB是钝是钝 角角, 给出给出0mMBMA,等于已知等于已知AMB是锐角；是锐角； 2.给出给出MP MB MB MA MA ,等于已知等于已知MP是是AMB的平分线；的平分线； 3.在平行四边形在平行四边形ABCD中，给出中，给出0)()(ADABADAB，等于已知，等于已知ABCD是菱形是菱形; 4.在平行四边形在平行四边形ABCD中，给出中，给出| |ABADABAD，等于已知，等于已知ABCD是矩形是矩形; 5.已知抛物线方程为已知抛物线方程为 2
6、 2(0)ypx p，定点，定点 M,00mm ，直线，直线l过点过点 M 交抛物线于交抛物线于 A，B 两点，两点， 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，则有，则有 2 1212 ,2x xmy ypm ； 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 四川凉山二诊】椭圆长轴右端点为 ，上顶点为， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且 ，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 交椭圆于 、 两点，判断是否存在直线 ，使点 恰为的垂心？若存在，求出直线 的方程； 若不存在，请说明理由 【思路引导】 （1）由条件布列关于 a，b 的方程组，即可得到椭圆的标准方程； （2）由 为的垂心可
7、知，利用韦达定理表示此条件即可得到结果 2 【2019 山东潍坊一模】如图，点 为圆 ：上一动点，过点 分别作 轴， 轴的垂线，垂足分 别为 ， ，连接延长至点 ，使得，点 的轨迹记为曲线 （1）求曲线 的方程； （2）若点 ， 分别位于 轴与 轴的正半轴上，直线与曲线 相交于， 两点，试问在曲线 上是否存在 点 ，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线 方程；若不存在，说明理由 来源:Z+xx+k.Com 【思路引导】 （1）设，则，且，通过，转化求解即可 （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由题意知直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ，代入 椭圆方程整理得关于 x
8、的一元二次方程，假设存在点 Q，满足题意，则其充要条件为，则点 Q 的坐标为（x1+x2，y1+y2） 由此利用韦达定理结合点 Q 在曲线 上，得到关于 k 的方程求解即可 3 【2019 山东淄博 3 月模拟】已知点 A，B 的坐标分别为(2，0)，(2，0)三角形 ABM 的两条边 AM， BM 所在直线的斜率之积是 ()求点 M 的轨迹方程； ()设直线 AM 方程为，直线 l 方程为 x2，直线 AM 交 l 于 P，点 P，Q 关于 x 轴对称， 直线 MQ 与 x 轴相交于点 D若APD 面积为 2，求 m 的值 【思路引导】 （I）设出点 的坐标，利用斜率乘积为建立方程，化简后求
9、得点的轨迹方程 （II）联立两条直线的方 程求得 点的坐标，进而求得 点的坐标，将直线的方程和的轨迹方程联立，求得点的坐标，进而求 得直线的方程，从而求得 点的坐标，利用三角形的面积列方程，解方程求得的值 4 【2019 福建龙岩质检】 已知椭圆的两焦点为、 ， 抛物线 ：（） 的焦点为 ， 为等腰直角三角形 （）求 的值； （）已知过点的直线 与抛物线 交于两点，又过作抛物线 的切线，使得，问这样的 直线 是否存在？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由 【思路引导】 （）先写出、的坐标，利用为等腰直角三角形，求得 p 即可 （）依题意，直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为 y
10、k（x+2） ，可得切线 l1，l2的斜 率分别为 ， x1x24再将直线与抛物线联立，结合韦达定理解得 k 即可 5 【2019 广西桂林市，贺州市，崇左市 3 月联合调研】已知抛物线，过点的直线 交抛物线于 、 两点，设 为坐标原点，且 （1）求 的值； （2）若，的面积成等比数列，求直线 的方程 【思路引导】 （1）利用，从而可得结果； （2）由（1）知点 为抛物线 的焦点，可设直线 的方程为，由 ， ，成等比数列，可得，即利用韦达定理可得，解方程即可得结 果 6 【2019 河北石家庄 3 月质检】已知椭圆（）的离心率为，且经过点 （1）求椭圆 的方程； （2）过点作直线 与椭圆 交于
11、不同的两点 ， ，试问在 轴上是否存在定点 使得直线与直线恰 关于 轴对称？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由 来源:Z*X*X*K 【思路引导】 （1）由题得 a，b，c 的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于 轴对称，等价于的斜率互为相 反数，即，整理设直线 的方程为，与椭圆 联立， 将韦达定理代入整理即可 7 【2019 山东临沂 2 月质检】已知抛物线 E：上一点 M到焦点 F 的距离为 5 (1)求抛物线 E 的方程； (2)直线 与圆 C：相切且与抛物线 E 相交于 A，B 两点，若AOB 的面积为 4(O 为坐标原点)， 求直线 的方程 【思路引导】 （1）由抛物线的定义
12、求出 p 的值，即可得出抛物线的方程； （2）设直线 l 的方程为 xmy+n，设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，根据直线 l 与圆 C 相切得出 m 与 n 所满 足的第一个关系式，将直线 l 的方程联立，列出韦达定理，计算出|AB|以及原点 O 到直线 l 的距离 d，然后 利用三角形的面积公式计算出AOB 的面积， 得出 m 与 n 所满足的第二个关系式， 然后将两个关系式联立， 求出 m 和 n 的值，即可得出直线 l 的方程 8 【2019 湖北十堰模拟】已知椭圆过点 （1）求椭圆 的方程，并求其离心率； （2）过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上（点
13、 不在直线 上） ，点 关于 的对称点为 ， 直线与 交于另一点 设 为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由 【思路引导】 （1）将 P 点代入椭圆方程，可得 a 的值，结合离心率的公式可得离心率的值； （2）设直线，设点 的坐标为，分别求出， 根据斜率公式以及两直线的位置关系与斜率的关系可得答案 9 【2019 安徽淮南一模】设椭圆的左、右焦点分别为， ，上顶点为 ，过点 与 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且，过，三点的圆恰好与直线相切 求椭圆 的方程； 过右焦点作斜率为 的直线 与椭圆 交于两点，问在 轴上是否存在点，使得以为邻边 的平行四边形是菱形？如果存在，求出 的取值范围；如果
14、不存在，说明理由 【思路引导】 设点 的坐标为，且，利用以及得出点 的坐标，利用外接圆圆心到该直 线的距离等于半径，可求出 的值，进而得出 与 的值，从而得出椭圆 的方程；令，得出，设点 、，将直线 l 的方程与椭圆 的方程联立，利用韦达定理，求出线段的中点 的坐标，将条 件“以为邻边的平行四边形是菱形”转化为，得出这两条直线的斜率之积为，然后得出 的 表达式，利用不等式的性质可求出实数 的取值范围 【同步训练】【同步训练】 1已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为 F1，F2，点 P（x0，y0）是坐 标平面内一点，且（O 为坐标原点） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点且斜率为 k 的
15、动直线 l 交椭圆于 A、B 两点，在 y 轴上是否存在定点 M，使以 AB 为 直径的圆恒过这个点？若存在，求出 M 的坐标，若不存在，说明理由 【思路点拨】 （1）设出 P 的坐标，利用|OP|的值求得 x0和 y0的关系式，同时利用求得 x0和 y0的另一关系式，进而求得 c，通过椭圆的离心率求得 a，最后利用 a，b 和 c 的关系求得 b，则椭圆的方程 可得 （2）设出直线 l 的方程，与椭圆方程联立消去 y，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则可利用韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2，假设在 y 轴上存在定点 M（0，m） ，满足题设，则可表示出，利用=0 求得 m
16、的值 【详细解析】 2.已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1（2，0） ，点 B（2，）在 椭圆 C 上，直线 y=kx（k0）与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N； （1）求椭圆 C 的方程； （2）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由 【思路点拨】 （1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于 a，b，c 的方程组，求解方程组得到 a2，b2的值，则椭圆方程可求； （2）设F（x0，y0） ，E（x0，y0） ，写出 AE、AF 所在直线方程，求出 M、N
17、 的坐标，得到以 MN 为直 径的圆的方程，由圆的方程可知以 MN 为直径的圆经过定点（ 2，0） 【详细解析】 3.已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过 F2作直线 l 交椭圆于 A、 B 两点，若F1AB 的周长为 8 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 l 的斜率不为 0，且它的中垂线与 y 轴交于 Q，求 Q 的纵坐标的范围； （3）是否在 x 轴上存在点 M（m，0） ，使得 x 轴平分AMB？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明 理由 【思路点拨】 （1）由椭圆的性质可知：4a=8，e=及 b2=a2c2，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆
18、的 方程； （2）当 k 不存在时，Q 为原点，y0=0，当 k 存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于 x 的一元二次方 程，利用韦达定理求得 x1+x2及 x1x2，根据中点坐标公式，求得 P 点坐标，求得直线 PQ 方程，令 x=0， yQ=，0）（0，即可求得 Q 的纵坐标的范围； （3）假设存在 m，由 x 轴平分AMB 可得，+=0，由（）可知，代入即可求得 m 的值 【详细解析】 4.已知圆 E： （x+1）2+y2=16，点 F（1，0） ，P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q （1）求动点 Q 的轨迹 的方程； （2）若直线 y=k（x
19、1）与（1）中的轨迹 交于 R，S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动 时，总有OTS=OTR？说明理由 【思路点拨】 （1）连结 QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4|EF|=2，由 椭圆的定义即可得到所求轨迹方程； （2）假设存在 T（t，0）满足OTS=OTR设 R（x1，y1） ，S（x2，y2） ，联立直线方程和椭圆方程，运 用韦达定理和判别式大于 0，由直线的斜率之和为 0，化简整理，即可得到存在 T（4，0） 【详细解析】 5.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆（ab0）的离心率是 e，定义直线 y
20、=为椭圆的“类 准线”，已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y=，长轴长为 4来源: （1）求椭圆 C 的方程； （2）点 P 在椭圆 C 的“类准线”上（但不在 y 轴上） ，过点 P 作圆 O：x2+y2=3 的切线 l，过点 O 且垂直于 OP 的直线 l 交于点 A，问点 A 是否在椭圆 C 上？证明你的结论 【思路点拨】 （1）由题意列关于 a，b，c 的方程，联立方程组求得 a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求； （2）设 P（x0，2） （x00） ，当 x0=时和 x0=时，求出 A 的坐标，代入椭圆方程验证知，A 在椭 圆上，当 x0时，求出过点 O 且垂直于 0P 的
21、直线与椭圆的交点，写出该交点与 P 点的连线所在直线方 程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点 A 在椭圆 C 上 【详细解析】 6.已知椭圆 E 过点 A（2，3） ，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率 e=，F1AF2的平分线所 在直线为 l （1）求椭圆 E 的方程； （2）设 l 与 x 轴的交点为 Q，求点 Q 的坐标及直线 l 的方程； （3）在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 【思路点拨】 （1）设出椭圆方程，根据椭圆 E 经过点 A（2，3） ，离心率，建立方程组，求得几何量，即可
22、得到椭圆 E 的方程； （2）求得 AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得F1AF2的平分线所在直线 l 的方程； （3）假设存在 B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线 l 对称，设出直线 BC 方程代入椭圆 E 的方程，求得 BC 中点代入直线 2xy1=0 上，即可得到结论 【详细解析】 7.）如图，已知 F1、F2是椭圆 G：的左、右焦点，直线 l：y=k（x+1）经过左焦点 F1，且与椭圆 G 交于 A、B 两点，ABF2的周长为 （1）求椭圆 G 的标准方程； （2）是否存在直线 l，使得ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理
23、由 【思路点拨】 （1）由题意可知：c=1，4a=4，b2=a2c2=31=2即可求得椭圆方程； （2）分类讨论，假设|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得 x1+x2=6 （与 x1，x2，x1+x226， 矛盾） ，将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：=6，矛盾故|AF2|BF2|再证明 AB 不 可能为等腰直角三角形的直角腰由勾股定理得：，此方程无解故不存在这样的等腰 直角三角形 【详细解析】 8.已知椭圆 C：+=1（ab0）经过点（，1） ，过点 A（0，1）的动直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，当直线 l 过椭圆 C 的左焦点时，直线 l 的斜率为 （1）求椭圆 C 的
24、方程； （2）是否存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM=ABN 恒成立？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在， 请说明理由来源: 【思路点拨】 （1）将点（，1）代入椭圆方程，设左焦点为（c，0） ，再由斜率公式，可得 c 的值，结 合 a，b，c 的关系，即可得到椭圆方程； （2）假设存在与点 A 不同的定点 B，使得ABM=ABN 恒成立当直线 MN 的斜率为 0 时，由对称性 可得 B 在 y 轴上，设为 B（0，t） ，设直线 MN 的方程为 x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设 M（x1， y1） ，N（x2，y2） ，由假设可得 kBM+kBN=0，化简整理，可得 t+
25、2m=0，故不存在这样的定点 B 【详细解析】 9.已知椭圆 E 的方程是+=1，左、右焦点分别是 F1、F2，在椭圆 E 上有一动点 A，过 A、F1作一个 平行四边形，使顶点 A、B、C、D 都在椭圆 E 上，如图所示 （） 判断四边形 ABCD 能否为菱形，并说明理由来源:Z*xx*k.Com （） 当四边形 ABCD 的面积取到最大值时，判断四边形 ABCD 的形状，并求出其最大值 【思路点拨】 （1） 设直线方程，代入椭圆方程，若四边形 ABCD 能否为菱形，则 OAOB，由向量数量积 的坐标运算，整理可知=0，方程无实数解，故四边形 ABCD 不能是菱形； （2）由三角形的面积公式
26、 SABCD=2 丨 OF1丨丨 y1y2丨=2，利用韦达定理，及向量 数量积的坐标运算，函数的单调性即可求得 ABCD 的面积取到最大值及 m 的值 【详细解析】 10.已知椭圆 C：=1（ab0）过点 A（0，3） ，与双曲线=1 有相同的焦点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 A 点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆 C 于 P，Q 两点，则 PQ 是否过定点？若是，求出定点的 坐标，若不是，请说明理由 【思路点拨】 （1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的 c，由 A 点，可得 b，求得 a，即可得到椭圆方程； （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，直线 AP 的斜率为 k
27、，直线 AQ 的斜率为，直线 AP 的方程为 y=kx+3， 代入椭圆方程，求得 P 的坐标，k 换为，可得 Q 的坐标，求出直线 PQ 的斜率，以及方程，整理可得恒 过定点 【详细解析】 11.如图，已知 F 为椭圆+=1 的左焦点，过点 F 且互相垂直的两条直线分别交椭 圆于 A、B 及 C、D （1）求证：+为定值； （2）若直线 CD 交直线 l：x=于点 P，试探究四边形 OAPB 能否为平行四边形，并说明理由 【思路点拨】 （1）当直线 AB、CD 有一平行于 x 轴时，+=，当直线 AB、CD 都不平行于 x 轴时， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 AB：y=k
28、（x+1） ，则直线 CD：y=（x+1） ，将直线直线 AB 与椭圆 方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出 AB，同理 求出 CD，由此能证明= （2）假设四边形 OAPB 是平行四边形，即，此时直线 AB、CD 都不平行于 x 轴P（，） ， 则=（x1，y1） ，=（，） ，推导出，无解，由此得到四边形 OAPB 不可能是平 行四边形 【详细解析】 12.已知椭圆 E：+=1（ab0）的离心率为，且过点（1，） （1）求 E 的方程； （2）是否存在直线 l：y=kx+m 相交于 P，Q 两点，且满足：OP 与 OQ（O 为坐标原点）的斜率之和为 2； 直线 l 与圆 x2+y2=1 相切若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）由椭圆的离心率公式求得 a2=4b2，将点（1，）代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值， 即可求得椭圆方程； （2）将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，求得 m2+k=1，由，即可求得 k 的取值范围，由点到直线的距离即可求得 k 和 m 的值，求得直线 l 的方程 【详细解析】
