1、 1 山东省临沂市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理（含解析） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 .共 150分，考试时间 120分钟 . 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和 2B铅笔分别涂写在答题卡上； 2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上 .试题不交，只交答题卡 . 第 I卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 用反证法证明命题： “ 三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 ” 时，
2、假设正确的是 A. 假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角都大于 60度 C. 假设三内角至少有一个大于 60 度 D. 假设三内角至多有二个大于 60 度 【答案】 B 【解析】试题分析：由题意得，反证法的证明中，假设应为所正结论的否定，所以用反证法证明命题 “ 三角形三个内角至少有一个不大于 60” 时，假设应为 “ 三个内角都大于60” ，故选 B 考点：反证法 2. 已知复数 （为虚数单位），则 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 C 【解析】 因 ，故复数 对应的点在第三象限，应选答案 C。 3. 直线 与曲线 在
3、第一象限内围成的封闭图形的面积为 A. B. C. 2 D. 4 【答案】 D 【解析】试题分析：根据定积分的意义，可知所求的封闭图像的面积为2 ，故选 C 考点：利用定积分求面积 4. 用数学归纳法证明 ， 的第一个取值应当是 A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 【答案】 C 【解析】 时， 成立， 时， ，不成立， 时， 不成立， 时 ， 不成立， 时， 不成立， 时， 不成立， 时，不成立， 满足 成立， 的第一个值是 ，故选 5. 定义一种运算 “*” ：对于自然数 满足以下运算性质：（ i） 1*1=1，（ ii）（ n+1） *1=n*1+1，则 n*1 等于 A. B. C
4、. D. 【答案】 A 【解析】，故选 A. 【方法点睛】本题考查叠代法及新定义问题，属于中档题 .新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目 提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的 .遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “ 照章办事 ” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决 . 6. 若直线 与曲线 相切，则 A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】 D 【解析】 的导数为 ，设切点 ，则 ，又切线方程 的斜率为
5、，即 ，解得 ，则 ，故选 D. 7. 若复数 满足 其中为虚数单位，则 3 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 复数 满足 ，设 ， ,可得，可得 ，故选 B. 8. 下列等式中，不正确的是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 对于 ,正确；对于，不正确；对于，正确；对于，正确，故选 B. 9. 编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有 A. 60种 B. 20种 C. 10种 D. 8种 【答案】 C 【解析】试题分析：根据题意，先安排 4盏不亮的路灯，有 1种情况，排好后，有 5个空位
6、 ；在 5个空位中任意选 3 个，插入 3盏亮的路灯，有 种情况，则不同的开灯方案有10种，故选 D 考点： 1、排列； 2、组合 10. 函数 的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：当 时， ，故函数图象过原点，可排除 A，又 ，故函数的单调区间呈周期性变化，可排除 B，且当 ， ，4 可排除 D，故选 C. 考点：函数的图象 . 11. 圆周上有 12 个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】 D 【解析】 圆周上每四个点组成一个四边形，其对角线在圆内有一个交点，所以这些弦在圆内交点最多为
7、 个，故选 D. 12. 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 当 时， ，解得 ，函数 有两个零点，不符合题意，应舍去；当 时，令 ， 或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ，而 ， 所以存在 ，使得 ， 存在唯 一的零点 ，且 不符合条件，应舍去，当 时，解得 或 ，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 5 而 时， ，所以存在 ，使得 ， 存在唯一的零点 ，且 ， 所以极小值 ，化为 ，综上可知， 的取值范围是 . 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想
8、及函数的零点 .属于难题 .分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与 速度 .运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点 . 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中 . 第 II卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .把正确答案填在答题纸给定的横线上 . 13. 设 ，则 _（不用化简） 【答案】 【解析】 ， ， ， 故答案为 . 14. 若 ，则 等于 _. 【答案】 -4
9、 【解析】 由 ，得： ， 取 得： ，所以 ，故 ， 故 答案为 . 15. 在报名的 3名男教师和 6名女教师中，选取 5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 _（结果用数值表示） 【答案】 120 【解析】试题分析：由题意得，可采用间接法：从男女组成的 中，选出 人，共有种不同的选法；其中 人中全是男生只有一种选法，故共有 种选法 6 考点：排列、组合的应用 16. 已知 是曲线 ： 的两条互相平行的切线，则 与 的距离的最大值为_ 【答案】 【解析】试题分析：因为 ，故 ，即 ，从而得，故切线方程为 ，与 ，即与 ，由平行线间距离公式可得 ，故 考点：导数几何意
10、义，平行线间距离 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程 17. 设复数 （ , ），满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上 (1)求复数 ； (2)若 为纯虚数，求实数 的值 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）由于 ，可得 ，又复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，可得 ，联立即可解得；（ 2）利用复数的运算法则和纯虚数的 定义即可得出 . 试题解析：（ 1） 由 得 ? 又复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， 则 ，即 ， ? 由 联立的方程组得 或 ， （ 2） 由（ 1）得
11、， 7 . 为纯虚数， . 18. 已知函数 ， （ 1）若 在 处取得极小值，求实数 的值； （ 2）若 在区间 为增函数，求实数 的取值范围； 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）求出导函数 ，由 可得实数 的值；（ 2） 在区间 为增函数等价于 时 恒成立，用分离参数法 可得结果 . 试题解析：（ 1） ， 由 在 处取得极小值，得 ， （经检验适合题意） . （ 2） ， 在区间 为增函数， 在区间 恒成立， 恒成立，即 恒成立， 由于 ，得 . 的取值范围是 . 19. 设 ， ，令 （ 1）求 的值； （ 2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明 【
12、答案】 （ 1）见解析；（ 2）见解析 . 【解析】 试题分析：（ 1）根据所给函数及递推关系式，进行求出 的值 ， 根据其共性可猜想数列 的通项公式；（ 2）利用数 学归纳法的证明步骤，进行证明，一定注意步骤的规范性以及利用归纳假设的必要性 . 8 试题解析：（ 1） ， ， ， . （ 2） 猜想： 下面用数学归纳法证明： 当 时， ，猜想成立； 假设当 时猜想成立，即：， ?9 分 当 ， . 当 时猜想也成立 由 ， 可知，对任意 都有 成立 【方法点睛】本题通过考查数列的递推公式、归纳推理，数学归纳法的应用，属于中档题 .归纳推理的一般步骤 : 通过观察个别情况发现某些相同的性质 .
13、 从已知的相同性质中推出一个明确表述的 一般性命题 (猜想） ,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用 ,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一 . 20. 已知函数 （ 1）讨论 的单调性； （ 2）当 有最大值，且最大值大于 时 ,求 的取值范围 9 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析：（ ）由 ,可分 , 两种情况来讨论；（ II）由（ I）知当 时 在 无最大值 ,当 时 最大值为 因此.令 ,则 在 是增函数 ,当时 , ,当 时 ,因此 a的取值范围是 .
14、 试题解析： （ ） 的定义域为 , ,若 ,则 , 在 是单调递增；若 ,则当 时 ,当 时 ,所以 在 单调递增 ,在 单调递减 . （ ）由（ ）知当 时 在 无最大值 ,当 时 在 取得最大值 ,最大值为 因此 .令,则 在 是增函数 , ,于是 ,当时 , ,当 时 ,因此 a的取值范围是 . 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想 . 21. 设 ， （ 1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （ 2）如果对任意的 ，恒有 成立，求实数 的取值范围 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1） 求出 的导函数，利用导数的几何意义，能求出曲线 在 处的切线方程；（ 2）由导数性质求出 ，当 时，且 ，设，由此利用导数性质能求出当时，对任意的 ，恒有 成立 . 试题解析：（ 1） 当 时， 10 ， 时， ， ， 曲线 在 处的切线方程为 （ 2）对任意的 ，恒有 成立， 即 ， ， ， 当 时， ，则 为减函数； 当 时，
