1、 1 乐山市乐山市 2020 年初中学业水平考试年初中学业水平考试 数学数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题） ，共本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题） ，共 8 页考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分页考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分 150 分考试时间分考试时间 120 分钟考分钟考 试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回考生作答时，不能使用任何型号的计算器试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回考生作答时，不能使用任何型号的计算器 第第卷（选择题卷（选择题 共共 30 分）分） 注意事项：注意事项：
2、 1选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上 2在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分 1. 1 2 的倒数是（ ） A. B. C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求解 【详解】解： 1 2=1 2 1 2 的倒数是 2 故选：A 【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是
3、解题关键 2.某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、 “优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计 图若该校学生共有 2000 人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（ ） 2 A. 1100 B. 1000 C. 900 D. 110 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出“良”和“优”的人数所占的百分比，然后乘以 2000 即可 【详解】解：“良”和“优”的人数所占的百分比： 8525 18728525 100%=55%， 在 2000 人中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 200
4、0 55%=1100（人） ， 故选：A 【点睛】本题考查了用样本估计总体，求出“良”和“优”的人数所占的百分比是解题关键 3.如图，E是直线CA上一点，40FEA，射线EB平分 CEF，GEEF则GEB（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据射线EB平分CEF，得出CEB=BEF=70 ，再根据GEEF，可得GEB=GEF-BEF 即可得出答案 【详解】40FEA， CEF=140 ， 射线EB平分CEF ， 3 CEB=BEF=70 ， GEEF， GEB=GEF-BEF=90 -70 =20 ， 故选：B 【点睛】本题考查了角平分线的
5、性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键 4.数轴上点A表示的数是3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B则点B表示的数是（ ） A. 4 B. 4或10 C. 10 D. 4或10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点 B 表示的数是多少即可 【详解】解：点 A 表示的数是3，左移 7 个单位，得3710， 点 A 表示的数是3，右移 7 个单位，得374， 故选：D 【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减 5.如图，在菱形ABCD中，4AB ，120BAD，O是对角线BD的中点
6、，过点O作OE CD 于点E，连结OA则四边形AOED的周长为（ ） A. 9 2 3 B. 9 3 C. 7 2 3 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知及菱形的性质求得ABD=CDB=30 ，AOBD，利用含 30 的直角三角形边的关系分别求得 AO、DO、OE、DE，进而求得四边形AOED的周长. 【详解】四边形 ABCD 是菱形，O是对角线BD的中点， AOBD ， AD=AB=4，ABDC 4 BAD=120 ， ABD=ADB=CDB=30 ， OEDC， 在 RtAOD 中，AD=4 ， AO= 1 2 AD=2 ，DO= 22 2 3ADAO ， 在 RtDEO 中
7、，OE= 1 3 2 OD ，DE= 22 3ODOE ， 四边形AOED的周长为 AO+OE+DE+AD=2+3+3+4=9+3 ， 故选：B. 【点睛】本题考查菱形的性质、含 30 的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含 30 的直角三角形边的关系是解答的关键. 6.直线y kxb 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式2kx b 的解集是（ ） A. 2x B. 4x C. 2x D. 4x 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集 【详解】解：根据图像得出直线y kxb 经过（0，1） ， （2，0）两点， 将这两点代入y kxb 得
8、 1 20 b kb ， 解得 1 1 2 b k ， 直线解析式为： 1 1 2 yx ， 5 将 y=2 代入得 1 21 2 x ， 解得 x=-2， 不等式2kx b 的解集是2x ， 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析式是解题关键 7.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1） ，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得 【详解】由方格的特点可知，选项 A 阴
9、影部分的面积为 6，选项 B、C、D 阴影部分的面积均为 5 如果能拼成正方形，那么选项 A 拼接成的正方形的边长为6，选项 B、C、D 拼接成的正方形的边长为5 观察图形可知，选项 B、C、D 阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图 1 所示的 5 个图形，由此可拼接成如图 2 所示的边长为5的正方形 而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项 A 阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为6的正方形 故选：A 【点睛】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键 8.已知34 m ， 24 32 mn 若9nx，则x
10、的值为（ ） 6 A. 8 B. 4 C. 2 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则由 2 24 =339 mnmn 即可解答 【详解】 22 2-224-2 33= 3= 39= mnmnmnmn ， 依题意得： 2 4 2 x ，0 x 4 2 x ， =2 2x ， 故选：C 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形 9.在ABC中，已知 90ABC，30BAC， 1BC 如图所示，将ABC绕点A按逆时针方向旋转90后得到 ABC则图中阴影部分面积（ ） A. 4 B. 3 2 C. 3 4
11、 D. 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 AC、AB，在根据 = AB CCACDAB SSSS 阴影扇形扇形 求解即可 【详解】解：在 Rt ABC 中，30BAC， AC=2BC=2， 22 = 3ABACBC ， 7 ABC绕点A按逆时针方向旋转90后得到 ABC， =3,1,90AB ABBCB CCAC 60CAB 2 2 903 9021 =3 1= 36023260 3 AB CCACDAB SSSS 阴影扇形扇形 故选：B 【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据 = AB CCACDAB SSSS 阴影扇形扇形 求解是解题关键 10.如图，
12、在平面直角坐标系中，直线y x 与双曲线 k y x 交于A、B两点，P是以点(2,2)C为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点若线段OQ长度的最大值为2，则k的值 为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 2 D. 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 8 连接 BP，证得 OQ 是 ABP 的中位线，当 P、C、B 三点共线时 PB 长度最大，PB=2OQ=4，设 B 点的坐标为（x，-x） ，根据点 (2,2)C ，可利用勾股定理求出 B 点坐标，代入反比例函数关系式即可求 出 k 的值 【详解】解：连接 BP， 直线y x 与双曲线 k y x 的图形均关于直线 y
13、=x 对称， OA=OB， 点 Q 是 AP 的中点，点 O 是 AB 的中点 OQ 是 ABP 的中位线， 当 OQ 的长度最大时，即 PB 的长度最大， PBPC+BC，当三点共线时 PB 长度最大， 当 P、C、B 三点共线时 PB=2OQ=4， PC=1， BC=3， 设 B 点的坐标为（x，-x） ， 则 22 BC=2-23xx ， 解得 12 22 , 22 xx （舍去） 故 B 点坐标为 22 , 22 ， 代入 k y x 中可得： 1 2 k ， 故答案为：A 9 【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键 第第卷（非
14、选择题卷（非选择题 共共 120 分）分） 注意事项注意事项 1考生使用考生使用 0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效 2作图时，可先用铅笔画线，确认后再用作图时，可先用铅笔画线，确认后再用 0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚黑色墨汁签字笔描清楚 3解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤 4本部分共本部分共 16 个小题，共个小题，共 120 分分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 1
15、8 分分 11.用“”或“”符号填空：7_9 【答案】 【解析】 【分析】 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【详解】解：|-7|=7，|-9|=9，7-9， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负数，绝对值大的其值反而小 12.某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分 40 分）依次为 37，40，39，37，40，38，40则这组数据的中位数是_ 【答案】39 【解析】 【分析】 10 将数据从小到大进行排列即可得出中位数 【详解】解：将数据从小到大进行排列为：37，37，38，39，40，40，40 中位数为 39，
16、故答案为：39 【点睛】本题考查了求中位数，掌握计算方法是解题关键 13.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯AB的倾斜角为30，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60，A、C之间的距离为 4m 则自动扶梯的垂直高度 BD=_m （结果保留根号） 【答案】2 3 【解析】 【分析】 先推出ABC=BAC，得 BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案 【详解】BAC+ABC=BCD=60 ，BAC=30 ， ABC=30 ， ABC=BAC， BC=AC=4， 在 Rt BCD 中，BD=BCsin60 =4 3 2 =2 3， 故答案为：2 3 【点睛】本题考查了等腰三角形
17、的性质，三角函数，得出 BC=AB=4 是解题关键 14.已知 0y ，且 22 340 xxyy则 x y 的值是_ 【答案】4 或-1 【解析】 11 【分析】 将已知等式两边同除以 2 y进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得 【详解】0y 将 22 340 xxyy两边同除以 2 y得： 2 3 ( )40 xx yy 令 x t y 则 2 340tt 因式分解得：(4)(1)0tt 解得4t 或1t 即 x y 的值是 4 或1 故答案为：4 或1 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键 15.把两个含30角的直角三
18、角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F 则 AF AC =_ 【答案】 3 5 【解析】 【分析】 连接 CE，设 CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得 AD=4x，AC=2 3x，BC=3x，AB=3，再由已知证得 CEAB，则有 AFBF CFEF ，由角平分线的性质得 3 2 ABBF AEEF ，进而求得 AF AC 的值. 【详解】连接 CE，设 CD=2x， 在 RtACD 和 RtABC 中，BAC=CAD=30 ， 12 D=60 ，AD=4x，AC= 22 2 3ADCDx ， BC= 1 2 AC= 3x，AB= 22 3ACBC x， 点 E
19、 为 AD 的中点， CE=AE=DE= 1 2 AD=2x， CED 为等边三角形， CED=60 ， BAD=BAE+CAD=30 +30 =60 ， CED=BAD， ABCE， AFBF CFEF ， 在 BAE 中，BAE=CAD=30 AF 平分BAE， 33 22 ABBFx AEEFx ， 3 2 AFBF CFEF ， 3 5 AF AC ， 故答案为： 3 5 . 13 【点睛】本题考查了含 30 的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定 解题思路，进而探究、推理
20、并计算. 16.我们用符号 x表示不大于x的最大整数例如： 1.51，1.52那么： （1）当 12x 时，x的取值范围是_； （2）当12x 时，函数 2 23yxa x的图象始终在函数 3yx的图象下方则实数a的范围是_ 【答案】 (1). 03x (2). 1a 或 3 2 a 【解析】 【分析】 （1）首先利用 x的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解 x 取值范围 （2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数 【详解】 （1）因为 x表示整数，故当 12x 时， x的可能取值为 0,1,2 当 x取
21、0 时，01x ；当 x取 1 时，12x ；当 x=2 时，23x 故综上当 12x 时，x 的取值范围为：03x （2）令 2 1 23yxa x， 2 3yx， 321 yyy， 由题意可知： 3 0y， 2 3 (21)yxax 当10 x 时， x=1， 2 3 (21)yxa ，在该区间函数单调递增，故当1x时， min 220ya ，得1a- 当01x 时， x=0， 2 3 0yx 不符合题意 当12x 时， x=1， 2 3 21yxa ，在该区间内函数单调递减，故当x取值趋近于 2 时， min 23 0ya ，得 3 2 a， 当 3 2 a 时， 2 3 4yx ，因为
22、2x ，故 3 y 0，符合题意 故综上：1a 或 3 2 a 【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为 常见题型 14 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 9 分，共分，共 27 分分 17.计算： 0 22cos60(2020) 【答案】2 【解析】 【分析】 根据绝对值，特殊三角函数值，零指数幂对原式进行化简计算即可 【详解】解：原式= 1 221 2 =2 【点睛】本题考查了绝对值，特殊三角函数值，零指数幂，掌握运算法则是解题关键
23、 18.解二元一次方程组： 22, 839. xy xy 【答案】 3 2 1. x y ， 【解析】 【分析】 方程组利用加减消元法，由-3即可解答； 【详解】解： 22 839 xy xy ， -3，得 23x ， 解得： 3 2 x ， 把 3 2 x 代入，得 1y ； 原方程组的解为 3 2 1. x y ， 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法 15 19.如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AFDE 于点F，3AB ，2AD ，1CE 求DF的长度 【答案】 10 5 【解析】 【分析】 先根据矩形的性质、勾股定理求出10
24、DE ，再根据相似三角形的判定与性质可得 DEEC ADDF ，由此即可得出答案 【详解】四边形ABCD是矩形，3AB 3DCAB，90ADCC 1CE 2222 3110DEDCCE AF DE，90ADC 90ADFDAF，90ADFEDC EDCDAF 在EDC和DAF中， 90 EDCDAF CAFD EDCDAF DEEC ADDF ，即 101 2DF 解得 10 5 DF 16 即DF的长度为 10 5 【点睛】本题考查了矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键 四、本大题共四、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，
25、共分，共 30 分分 20.已知 2 y x ，且x y ，求() x y xyxyxy 2 22 11 的值 【答案】 2 xy ，1 【解析】 【分析】 先进行分式的加减运算，进行乘除运算，把式子化简为 2 xy 将 2 =y x 代入进行计算即可 【详解】原式= 2 22 2 ()() xx y xy xyxy = 22 222 2xxy xyx y = 2 xy ， 2 y x ， 原式= 2 1 2 x x 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，关键在于通过已知用含x的表达式表示出y 21.如图，已知点 ( 2, 2)A 在双曲线 k y x 上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点()
26、1Ba, （1）求直线AB的解析式； （2）过点B作BCx轴于点C，连结AC，过点C作CDAB于点D求线段CD的长 17 【答案】 （1）22yx； （2） 4 5 5 CD 【解析】 【分析】 （1）由点( 2, 2)A 在双曲线 k y x 上，求得反比例函数解析式，再由点 B 在双曲线上，求得点 B 坐标，利用待定系数法求直线 AB 的解析式即可； （2）用两种方式表示 ABC 的面积可得 11 3 22 ABC SAB CDBC ，即可求出 CD 的长 【详解】解： （1）将点()22A ，代入 k y x ，得4k ，即 4 y x ， 将(1)Ba，代入 4 y x ，得4a，即(
27、14)B ， 设直线AB的解析式为y mxn ， 将()22A ，、(14)B ，代入y mxn ，得 22 4. mn mn ， ，解得 2 2. m n ， 直线AB的解析式为 22yx （2）()22A ，、(14)B ， ， 22 ( 2 1)( 24)3 5AB ， BCx轴， BC=4， 18 11 3 22 ABC SAB CDBC ， 34 34 5 53 5 BC CD AB 【点睛】本题考查了反比例函数上点坐标的特征，待定系数法求一次函数解析式，两点距离公式，面积法等知识，面积法：是用两种方式表示同一图形的面积 22.自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本
28、控制住了疫情然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈 如图是某国截止 5 月 31 日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中 40-59 岁感染人数对应圆心角的度数为 ； （2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； （3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取 1 人，求该患者年龄为 60 岁或 60 岁以上的概率； （4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺
29、炎感染病例的平均死亡率 【答案】 （1）20，72； （2）见解析； （3）67.5%； （4）10% 【解析】 【分析】 （1）利用6079岁感染的人数有9万人，占比45%,可求得总人数；利用总人数可求扇形统计图中 40-59 岁感染人数所占百分比，从而可求扇形图中所对应的圆心角； （2）先求解2039感染人数，然后直接补全折线统计图即可； （3）先求解患者年龄为 60 岁或 60 岁以上的人数，直接利用概率公式计算即可； （4）先求解全国死亡的总人数，再利用平均数公式计算即可 【详解】解： （1）由6079岁感染的人数有9万人，占比45%, 19 截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人
30、数累计为 9 20 45% （万人） ， 扇形统计图中 40-59 岁感染人数占比： 4 20%, 20 扇形统计图中 40-59 岁感染人数对应圆心角的度数为：360 20%72 . 故答案为：20，72； （2）补全的折线统计图如图 2 所示； 2039感染人数为：20 0.5 4 9 4.52 万人， 补全图形如下： （3）该患者年龄为 60 岁及以上的概率为： 94.5 100%67.5% 20 ； （4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为： 0.5 1%2 2.75%4 3.5%9 10%4.5 20% 100%10% 20 20 【点睛】本题考查的是从扇形统计图，折线统计图中获取信
31、息，考查了扇形统计图某部分所对应的圆心角的计算，考查总体数量的计算，考查了平均数的计算，同时考查简单随机事件的概率，掌握以 上知识是解题的关键 五、本大题共五、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分 23.某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆） 商务车 6 300 轿 车 4 （1）如果单程租赁 2 辆商务车和 3 辆轿车共需付租金 1320 元，求一辆轿车的单程租金为多少元？ （2）某公司准备组织 34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程
32、租用商务车或轿车前往在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【答案】 （1）租用一辆轿车的租金为240元 （2）租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元 【解析】 【分析】 （1）本题可假设轿车的租金为 x 元，并根据题意列方程求解即可 （2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求 解本题 【详解】解： （1）设租用一辆轿车的租金为x元 由题意得：300 2 31320 x 解得 240 x ， 答：租用一辆轿车的租金为240元 （2）
33、方法 1：若只租用商务车， 342 5 63 ， 只租用商务车应租 6 辆，所付租金为300 61800 （元） ； 若只租用轿车， 34 8.5 4 ， 只租用轿车应租 9 辆，所付租金为240 92160 （元） ； 若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元 21 由题意，得 643 4 3 0 02 4 0 mn Wmn 由6434mn，得 4634nm， 30060( 634)602040Wmmm ， 63440mn， 17 3 m ， 15m，且m为整数， W随m的增大而减小， 当5m时，W有最小值1740，此时 1n ， 综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租
34、金最少为1740元 方法 2：设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元 由题意，得 643 4 3 0 02 4 0 mn Wmn 由6434mn，得 46340nm， 17 3 m ， m为整数，m只能取 0，1，2，3，4，5，故租车方案有： 不租商务车，则需租 9 辆轿车，所需租金为9 2402160（元） ； 租 1 商务车，则需租 7 辆轿车，所需租金为1 300 7 2401980 （元） ； 租 2 商务车，则需租 6 辆轿车，所需租金为2 300 6 2402040 （元） ； 租 3 商务车，则需租 4 辆轿车，所需租金为3 300 4 240 1860 （元） ； 租 4
35、 商务车，则需租 3 辆轿车，所需租金4 300 3 240 1920 （元） ； 租 5 商务车，则需租 1 辆轿车，所需租金为5 300 1 2401740 （元） ； 由此可见，最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆， 此时所付租金最少，为1740元 【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题 24.如图 1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC上一点，DE AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AFFG （1）求证：点D平分AC； （2）如
36、图 2 所示，延长BA至点H，使AHAO，连结DH 若点E是线段AO的中点求证：DH是O的切线 22 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）连接AD，由AB是直径得90ADB，由同角的余角相等证明ADEABD ，由直角三角形斜边中线性质证明DACADE，进而得出ABDDAC，即得出结论； （2）由已知可知 DE 是 OA、HB垂直平分线，可得DADO，DH DB，从而DAODOA，HB ，再由90BDAO 即可证明90HDO，由此即可得出可能 【详解】证明： （1）连接AD、BC，如图 3 所示， 图 3 AB是半圆O的直径， 90ADB， DEAB， AD
37、EABD ， 又AFFG ，即点F是RtAGD的斜边AG的中点， DFAF， DACADE， ABDDAC， AD CD ，即点D平分 AC； （2）如图 4 所示，连接OD、AD， 23 图 4 点E是线段OA 中点，DEAB，AHAOOB， DADO，DHDB， DAODOA，HB HDOABDAO ， 又 90BDAO ， 90HDOA， 90HDO， DH是O的切线 【点睛】本题是圆的简单综合题目，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形的性质知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质和判定是解题的关键 六、本大题共六、本大题共 2 个小题，第个小题
38、，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 13 分，共分，共 25 分分 25.点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点 P不与点A、C重合） ，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F点O为AC的中点 （1）如图 1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 ； （2）当点P运动到如图 2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图 3，点P在线段OA的延长线上运动，当30OEF时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系 【答案】 （1）OEOF； （2）补图见解析，OEOF仍然成立，证明见解析； （3）OECF
39、AE，证明见解析 【解析】 【分析】 24 （1）证明 AOECOF 即可得出结论； （2） （1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明 AOECGO，得 OEOG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FCAEOE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得AOECOH，得出AECH，OEOH，再根据30OEF，90HFE，推出 1 2 HFEHOE， 即可得证 【详解】解： （1）如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC， AEBP，CFBP， AEOCFO90 ， AOECOF， AOECOF（AAS） ， OEOF； （2）补全
40、图形如图所示，OEOF仍然成立， 证明如下：延长EO交CF于点G， AEBPCFBP， /AECF， EAOGCO， 点O为AC的中点， AOCO， 又AOE COG， AOECOG， OEOG， 90GFE， 1 2 OFEGOE； 25 （3）当点P在线段OA的延长线上时，线段CF、AE、OE之间的关系为OECFAE， 证明如下：延长EO交FC的延长线于点H，如图所示， 由（2） 可知 AOECOH， AECH，OEOH， 又 30OEF，90HFE， 1 2 HFEHOE， OECFCHCFAE 【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三
41、角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件， 从而使问题得以解决 26.已知抛物线 2 yaxbxc与x轴交于( 1,0)A ， (5 0)B ，两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且 4 tan 3 CBD，如图所示 （1）求抛物线的解析式； （2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点 过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求BCF的面积的最大值； 连结PB，求 3 5 PCPB的最小值 26 【答案】 （1） 2 41620 999 yxx ； （2） 3 2 ； 24 5 【解析
42、】 【分析】 （1）先函数图象与 x 轴交点求出 D 点坐标，再由 4 tan 3 CBD求出 C 点坐标，用待定系数法设交点式，将 C 点坐标代入即可求解； （2）先求出 BC 的解析式 420 33 yx，设 E 坐标为 420 , 33 tt ，则 F 点坐标为 2 41620 999 ,ttt ，进而用 t 表示出 BCF的面积，由二次函数性质即可求出最大值； 过点P作PGAC于G，由 3 sin 5 PGPCACDPC可得 3 5 PCPBPGPB，由此可知当 BPH 三点共线时 3 5 PCPB的值最小，即过点B作BHAC于点H， 线段BH的长就是 3 5 PCPB的最小值，根据面
43、积法求高即可 【详解】解： （1）根据题意，可设抛物线的解析式为：(1)(5)ya xx， CD是抛物线的对称轴， (20)D， 又 4 tan 3 CBD， tan4CDBDCBD， 即(24)C， 代入抛物线的解析式，得4(2 1)(25)a，解得 4 9 a ， 二次函数的解析式为 4 (1)(5) 9 yxx 或 2 41620 999 yxx ； （2）设直线BC的解析式为 y kxb ， 05 42. kb kb ， 解得 4 3 20 . 3 k b ， 即直线BC的解析式为 420 33 yx， 27 设 E 坐标为 420 , 33 tt ，则 F 点坐标为 2 41620
44、999 ,ttt ， 22 420 3 4162042840 9999993 EFttttt ， BCF的面积 2 1142840 3 22999 SEFBDtt 2 273 () 322 St ， 当 7 2 t 时， BCF的面积最大，且最大值为 3 2 ； 如图，连接AC，根据图形的对称性可知 ACDBCD ，5ACBC， 3 sin 5 AD ACD AC ， 过点P作PGAC于G，则在Rt PCG中， 3 sin 5 PGPCACDPC， 3 5 PCPBPGPB， 再过点B作BHAC于点H，则PGPHBH， 线段BH的长就是 3 5 PCPB的最小值， 28 11 6 412 22 ABC SAB CD ， 又 15 22 ABC SACBHBH ， 5 12 2 BH ，即 24 5 BH ， 3 5 PCPB的最小值为 24 5 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题解（1）关键是利用三角函数求出 C 点坐标，解（2）关键是由点 E、F 坐标表示线段 EF 长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将 3 5 PCPB的最小值转化为点 B 到 AC 的距离
