1、 1 第第 2 讲讲 直线关于直线的对称问题直线关于直线的对称问题 知识与方法知识与方法 1.对称问题是平面解析几何中的一类重要的问题，在很多问题中，我们也会运用对称的思想来解题，这一小节我们解决求直线 a 关于直线 l 的对称直线a的问题，这类题求解的时候要抓住两点：（l）所求直线a经过直线 a 和直线 l 的交点 P；（2）对称轴 l 上除 P 外的另一点到 a 和a的距离相等.2技巧：当对称轴直线 l 的斜率是1时，可直接由对称轴方程将 x、y 反解出来，代入直线 a 的方程，整理即可得到 a 关于直线 l 的对称直线a的方程.典型例题典型例题【例题】直线1:10lxy+=关于直线2:3
2、30lxy=的对称直线 l 的方程为_.【解析】11013300 xyxlxyy+=和2l的交点为()1,0P，直线 l 也过点 P，可设其方程为()10A xBy+=，整理得：0AxByA+=，在对称轴2l上取点()0,3Q，则点 Q 到直线1l和l的距离相等，其中 A、B 不同时为 0，所以223 132BAAB=+，从而BA=或7BA=，若BA=，则直线 l 的方程为0AxAyA+=，即10 xy+=，此时 l 与1l重合，不合题意，所以7BA=，故直线 l 的方程为70AxAyA=，即710 xy=.2 【答案】710 xy=变式 1 直线1:220lxy+=关于直线2:10lxy+=
3、的对称直线 l 的方程为_.【解析】1101xyxyyx=+=+，代入直线1l的方程为：()()12120yx+=，整理得所求直线l的方程为210 xy+=.【答案】210 xy+=变式 2 直线1:220lxy+=关于直线2:10lxy+=的对称直线的方程为_.【解析】1101xyxyyx=+=，代入直线1l的方程得：()()12120yx +=，整理得所求直线 l 的方程为230 xy+=.【答案】230 xy+=【反思】当对称轴的斜率为1时，可以使用小技巧来求对称直线的方程，若斜率不是1，则不能这样做.强化训练强化训练 1.（）直线 l1:20lxy=关于直线:330lxy+=的对称直线
4、2l的方程为_.【解析】1520233092xxylxyy=+=与l的交点为59,22P，直线2l也经过点 P，可设2l的方程为59022A xB y+=，整理得：22590AxByAB+=，其中 A、B 不同时为 0，在直线l上取点()1,0Q，则点 Q 到1l和2l的距离相等，所以2212259244AABAB+=+，故AB=或7AB=，若AB=，则直线2l的方程为2240BxByB+=，即20 xy=，与1l重合，不合题意，所以7AB=，直线2l的方程为142440BxByB+=，化简得：7220 xy+=.3 【答案】7220 xy+=2.（）直线1:2310lxy=关于直线:40l
5、xy+=的对称直线2l的方程为_.【解析】4404xyxyyx=+=，代入直线1l的方程可得：()()2 43 410yx=，化简得所求直线2l的方程为3250 xy=.【答案】3250 xy=3.（）一光线从点()0,2P发出，入射到直线:10l xy=上的点()1,0Q后被反射，则反射光线所在的直线的方程为_.【解析】如图，由题意，应有反射光线所在的直线和直线PQ关于直线l对称，直线PQ的斜率20201k=，其方程为22yx=+，即220 xy+=，1101xyxyyx=+=，代入直线PQ的方程可得：()()21120yx+=，化简得反射光线所在直线的方程为210 xy+=.【答案】210 xy+=
