1、 1 2016 2017学年第二学期期中考试试卷 高二 年级 数学 (理科 ) 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，总分共 150 分，答题时间120分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回。 一、 选择题（本大题共 12 小题，每 小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。） 1已知函数 xxf ?)(，在 0处函数极值的情况是 （ ） A没有极值 B有极大值 C有极小值 D极值情况不能确定 2 复数 i?12 等于 ( ) A
2、1 i B 1 i C 1 i D 1 i 3设函数 0()f x x在可导，则 000 ( ) ( 3 )limt f x t f x tt? ? ? ? ?（ ） A 0fxB 02 ( )fx?C 04 ( )fxD不能确定 4若大前提：任何实数的平方都大于 0，小前提： a? R，结论： a20，那么这个演绎推理出错在 ( ) A大前提 B小前提 C推 理形式 D没有出错 5观察下列数表规律 2 3 6 7 10 11 0 1 4 5 8 9 12? 则数 2007的箭头方向是 ( ) A 2007 B 2007 C D 2007 2 2007 6函数 f(x) x3 ax2 bx a
3、2在 x 1处有极值 10，则 a， b的值为 ( ) A.? a 3，b 3 或 ? a 4，b 11 B.? a 4，b 11 C.? a 1，b 5 D以上都不对 7 给出下列命题： ?abdx ?badt b a(a， b为常数且 a12(n1， n? N*)的过程中，从 n k到 n k 1时左边需增加的代数式是 ( ) A. 12k 2 B. 12k 1 12k 2 C. 12k 1 12k 2 D. 12k 1 9已知结论：“在正三角形 ABC 中，若 D 是 BC 的中点， G 是三角形 ABC 的重心，则 AGGD2” 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体 A
4、 BCD 中，若 BCD 的中心为M ， 四 面 体 内 部 一 点 O 到 四 面 体 各 面 的 距 离 都 相 等 ， 则 AOOM 等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 10曲线313y x x?在点43?，处的切线与坐 标轴围成的三角形面积为 （ ） 1929132311已知函数 f(x) (12)x， a， b是正实数， A f(a b2 )， B f( ab)， C f(2aba b)，则 A、B 、 C 的 大 小 关 系 为 ( ) A A B C B A C B 3 C B C A D C B A 12 下 面 为 函 数 y xsinx cosx 的 递 增 区
5、间 的 是 ( ) A (2， 32 ) B (， 2 ) C (32 ， 52 ) D (2， 3 ) 二、 填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。） 13若复数 z满足 z(1 i) 1 i(i是虚数单位 )，则其共轭复数 z _. 14通过类比长方形，由命题“周长为定值 l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为 _ 15已知函数 f(x) x3 bx2 cx，其导函数 y f (x)的图象经过点 (1,0)， (2,0)，如图所示则下列说法中不正确的编号是 _ (写出所有不正确说法的编号 ) 当 x 32时函数取得极小值； f(x)
6、有两个极值点； c 6； 当 x 1时函数取得极大值 16如图所示的数阵中，第 20行第 2个数字是 _ 1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15 三、解答题（本大题共 6小题，其中 17题 10分， 18、 19、 20、 21、 22每题 12分，共 70分。） 4 17 (10分 ) （ 1）求曲线 122 ?x xy在点（ 1， 1）处的切线方程； （ 2）运动曲线方程为22 21 tttS ?，求 t=3时的速度 . 18 (12分 ) 求由曲线2 2yx?与 3?， 0x?， 2x?所围成的平面图形的面积 . 19 (12分 )已
7、知 a， b， c0，且 a b c 1，求证： (1)a2 b2 c2 13； (2) a b c 3. 20. (12 分 )如图，已知平面 平面 直线 a，直线 b? ，直线 c? ， b a A， ca. 求证： b与 c是异面直线 21（ 12 分）设函数 32( ) 2 3 3 8f x x a x b x c? ? ? ?在 1x?及 2x?时取得极值 （ 1）求 a、 b的值； （ 2）若对于任意的 03x? ，都有2()f x c?成立，求 c的取值范围 22 (12分 )是否存在常数 a， b，使等式 121 3223 5? ? ? ?1212 2 ? nn n 22?bn
8、 nan 对一切 n? N*都成立？若不存在，说明理由 ；若存在，请用数学归纳法证明 5 高二下学期期中数学 (理科 )试卷参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C A D B B B C A A C 二、填空题： 13 i 14 表面积为定值 S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为 (S6)32 15 16 1191 三、解答题： 17 （ 1）222222)1( 22)1( 22)1(2 ? ? x xx xxxy， 04 2|1 ?xy， 即曲线在点（ 1， 1）处的切线斜率 k=0. 因此曲线 122 ?x xy在（ 1，
9、1）处的切线方程为 y=1. （ 2） )2(1 22 tttS ? ?ttttt ttt 4214)1(23242 ? . 2726111227291| 3 ?tS . 18 223 2 1 2 3 201:( 2 3 ) ( 3 2 )1 3 3 1( 2 ) | ( 2 ) |3 2 2 31x x d x x x d xx x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1201解 由 题 意 知 阴 影 部 分 的 面 积 是 :S=19 解 (1) a2 19 23a， b2 19 23b， c2 19 23c， ( a2 19) (b2 19) (c2 19) x
10、y01 26 23a 23b 23c 23. a2 b2 c2 13. (2) a 13a 132 ， b 13b 132 ， c 13c 132 ， 三式相加得 a3 b3 c3 12(a b c) 12 1， a b c 3. 20.(12分 ) 证明 假设 b， c不是异面直线，即 b与 c共面，设 b与 c确定的平面为 ，则 b， c. a c， a? ， a . 又 a? ，且 b， a b，这与 a b A矛盾 因此 b与 c不可能共面，故 b与 c是异面直线 21 （） 2( ) 6 6 3f x x ax b? ? ? ?， 因为函数 ()fx在 1x? 及 2x? 取得极值，
11、则有 (1) 0f? ? ， (2) 0f? ? 即 6 6 3 024 12 3 0abab? ? ? ? ? ? ， 解得 3a? ， 4b? （）由（）可知， 32( ) 2 9 1 2 8f x x x x c? ? ? ?， 2( ) 6 1 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ? 当 (01)x? ， 时， ( ) 0fx? ? ； 当 (12)x?， 时， ( ) 0fx? ? ； 当 (23)x? ， 时 ， ( ) 0fx? ? 所以，当 1x? 时， ()fx取得极大值 (1) 5 8fc? ，又 (0) 8fc? ， (3)
12、 9 8fc? 7 则当 ? ?03x? ， 时， ()fx的最大值为 (3) 9 8fc? 因为对于任意的 ? ?03x? ， ，有 2()f x c? 恒成立， 所以 298cc?， 解得 1c? 或 9c? ， 因此 c 的取值范围为 ( 1) (9 )? ? ?， ， 22 (12分 )解 若存在常数 a， b使等式成立， 则将 n 1， n 2代入上式， 有? 13 a 1b 2，134154a 22b 2.得 a 1， b 4， 即有 1213 2235 ? n2n n n2 n4n 2 对于一切 n? N*都成立 证明如下： (1)当 n 1时，左边 1213 13， 右边 1 141 2 13，所以等式成立 (2)假设 n k(k1 ，且 k? N*)时等式成立，即 1213 2235 ? k2k k k2 k4k 2， 当 n k 1时， 1213 2235 ? k2k k k 2k k k2 k4k 2k 2k k k 12k 1(k2k 12k 3) k 12k 1 2k2 5k 2k k 12k 1k kk k k4k 6 k2 kk 2 ， 也就是说，当 n k 1 时，等式成立， 综上所述，等式对任何 n? N*都成立
