1、 - 1 - 广西中山中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 文 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 复数 为虚数单位等于 A. B. C. D. 2. 执行右面的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 A. 1 B. C. D. 3. 函数 导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是 A. 函数 在 上单调递增 B. 函数 的递减区间为 C. 函数 在 处取得极大值 D. 函数 在 处取得极小值 4. 曲线的极坐标方程为 ，则曲线的直角坐标方程为 A. B. C. D. - 2 - 5. 已知 为虚数单位，若 为纯虚数，则 a 的值为 A. 2 B. 1 C
2、. D. 6. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是 A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 7. 根据表格中的数据用最小二乘法计算出变量 x、 y 的线性回归方程为 ，则表格中 m的值是 x 0 1 2 3 y 1 8 m A. 4 B. C. 5 D. 6 8. 函数 在区间 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 A. B. C. D. 9. 用反证法证明命题： “ 已知 ，若 ab 可被 5 整除，则 中至少
3、有一个能被 5 整除 ”时，反设正确的是 A. 都不能被 5 整除 B. 都能被 5 整除 C. 中有一个不能被 5 整除 D. 中有一个能被 5 整除 10. 若函数 的两个极值点为 ，则 ab 的值为 A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 11. 表示的图形是 A. 一条直线 B. 一条射线 C. 一条线段 D. 圆 12. 已知函数 在 R 上有两个极 值点，则 m 的取值范围为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） - 3 - 13. 函数 的单调递减区间是 _ 14. 将点的极坐标 化为直角坐标为 _ 15. 已知 x 与 y 之间的一组数据：
4、x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程 ，则 a 的值为 _ 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 参数 ，若以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 ，则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 17. 已知函数 为自然对数的底 求函数 的单调递增区间； 求曲线 在点 处的切线方程 18. 为了解人们对于国家新颁布的 “ 生育二胎放开 ” 政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄大点频数分布及支持 “ 生育二胎 ” 人数如下表：
5、年龄 频数 5 10 15 10 5 5 支持 “ 生育二胎 ” 4 5 12 8 2 1 由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表，并问是否有 的把握认为以 45 岁为分界点对“ 生育二胎放开 ” 政策的支持度有差异： - 4 - 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 支持 不支持 合计 若对年龄在 的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持 “ 生育二胎放开 ” 的概率是多少？ 参考数据： 19. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 吨与相应的生产能耗 吨标准煤的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 3 4 请根据上表提供的数据，用最小
6、二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； 已知该厂技改前， 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据 求出的线 性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？参考公式：参考数值： - 5 - 20. 已知函数 若 在 处与直线 相切 求 的值； 求 在 上的极值 21. 已知直线 l 的参数方程是 是参数，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程； 设圆 C 与直线 l 交于 A、 B 两点，若 P 点的直角坐标为 ，求 的值 - 6 - 22.
7、已知函数 讨论 的单调性； 若 有两个极值 ，其中 ，求 的最小值 【答案】 1. A 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. A 8. D 9. A 10. A 11. B 12. C 13. 14. 15. 16. 17. 解： 令 ，即函数 的单调递增区间是 ； 分 因为 分 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 分 18. 解： 根据题意填写 列联表如下； 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 支持 32 不支持 18 合 计 10 40 50 分 根据表中数据，计算 ； 分 所以没有 的把握认为以 45 岁为分界点对 “ 生育二胎放开 ” 政策的
8、支持度有差异； 分 年龄在 中支持 “ 生育二胎 ” 的 4 人分别为 ， 不支持 “ 生育二胎 ” 的人记为 分 则从年龄在 的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有： ， 共 10 种； 分 - 7 - 设 “ 恰好这两人都支持 “ 生育二胎 ” 为事件 分 则事件 A 所有可能的结果有： 共 6 种， ； 分 所以对年龄在 的被调查人中随机选取两人进行调查时， 恰好这两人都支持 “ 生育二胎 ” 的概率为 分 19. 解： 由题意知， ， ， ， ， 要求的线性回归方程是 ； 利用回归方程，计算 时 ， ， 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了 吨标准煤 20. 解： 函数
9、 在 处与直线 相切， ，即 ，解得 由 得： ，定义域为 ，令 ，解得 ，令 ，得 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上的极大值为 无极小值 - 8 - 21. 解： 直线 l 的参数方程是 是参数 即直线 l 的普通方程为 ， ， 圆 C 的直角坐标方程为 ，即 将 代入 得 ， 22. 解： 函数 的定义域是 ， ， 令 ，则 ， 当 时，令 ，解得 ， ， 在 单调递增， 当 时， 恒成立， 在 单调递增， 当 时，令 ，解得 ，且 ， 当 和 时， ，此时函数 为增函数， 当 时， ，此时函数 为减函数， 综上，当 时， 的递增区间为 ，无递减区间 当 时，函数的递增区间为 和
10、，单调递减区间为， ， 若 两根分别为 ，则有 ， 从而有 ， ， - 9 - 令 ， 在 上恒成立， 在 上单调递减， 则 ， 即 的最小值为 【解析】 1. 解： 故选 A 分子分母同乘 ，将分母实数化后，即可得到答案 本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的除法的化简关键是将分母乘以其共轭复数，将分母实数化，也可以利用公式： 2. 解：由程序框图知：输入 时， 第一次循环 ； 第二次循环 ； 第三次循环 ； 满足条件 ，跳出循环，输出 故选： C 根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件 ，跳出循环，计算输出 S 的值 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程
11、序是解答此类问题的常用方法，属于基础题 3. 解：由函数 导函数的图象可知： 当 及 时， 单调递减； 当 及 时， 单调递增 所以 的单调减区间为 ；单调增区间为 ， 在 取得极小值，在 处取得极大值 故选 D 利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断 - 10 - 本题考查函数的单调性及极值问题，本题以图象形式给出导函数，由此研究函数有关性质，体现了数形结合思想 4. 解： ，即 ，故选 A 等式两边同乘 ，转化成直角坐标方程，再变成为圆的标准式方程 在极坐标化直角坐标时，两边同乘 是常用技巧 5. 解： 为纯虚数， ，解得： 故选： D 直接由复数代数形式的乘法运
12、算化简 ，再由已知条件列出方程组，求解即可得答案 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 6. 解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立； 假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话， 若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用； 若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立 故选： C 利用反证法，即可得出结论 本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 7. 解： ， ， 回归直线方程 过样本中心点， ， 解 得 故选： A 根据回归直线方程 过样本中心点，代入方程求出 m 的值即可 本题主要考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题目 8. 解：根据函数的导数与单调性的关系， 在区间 上单调递增，只需 在区间 上恒成立
