1、 1 河南省安阳市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） （ 1） 已知 221iz i?（ i 是虚数单位），则复数 z 的实部是（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 （ 2） 抛物线 2 4yx? 的焦点坐标为（ ） A. ? ?1,0? B. ? ?1,0 C. ? ?0, 1? D. ? ?0,1 （ 3） 已知 , 是椭圆的两焦点，过 的直线 了 l交椭圆于 , ，若 的周长为 8，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. （ 4） “ 0m? ” 是 “ 方程 221x my?表示双曲线 ” 的
2、（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （ 5） 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“ 罪犯在乙、丙、丁三人之中 ” ：乙说： “ 我没有作案，是丙偷的 ” ：丙说： “ 甲、乙两人中有一人是小偷 ” ：丁说： “ 乙说的是事实 ”. 经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 （ 6） 已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. （ 7）
3、已知命题 :p 关于 x 的函数 2 34y x ax? ? ? 在 ? ?1,? 上是增函数，命题 :q 函数? ?21xya?为减函数，若“ p 且 q ”为假命题，则实数 a 的取值范围是（ ） A 12,23? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B 1,2? ?C 2,3?D 12,23? ?2 （ 8） 设函数 ， 若曲线 在点 处的切线方程为 ，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 （ 9) 设函数 ? ? 2 32f x x x? ? ?，则 ? ? ? ?1 2 1limxf x fx? ? ? ? （ ） A. 5 B. 5? C. 10 D. 10? （ 10)在
4、底面 ABCD 为平行四边形的四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， M 是 AC 与 BD 的交点，若 AB a? ， 11AD b? ， 1AA c? ，则下列向量中与 1BM 相等的向量是 （ ） A 1122a b c? B 1122a b c? C 1122a b c? D 1122a b c? ? ? (11) 已知函数 ，则（ ） A. 当 ，有极大值为 B. 当 ，有极小值为 C. 当 ，有极大值为 0 D. 当 ，有极小值为 0 (12)已知函数 ? ? 22 xf x x e?（ e 为自然对数的底数）， ? ? ? ?1, Rg x m x m? ? ?，
5、若对于任意的 ? ?1 1,1x? ，总存在 ? ?0 1,1x ? ，使得 ? ? ? ?01g x f x? 成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A. ? ? ?22,1 1,ee? ? ? ? ? B. 221 , 1ee? C. ? ? ?22, 1 1 ,ee? ? ? ? ? D. 221,1ee? 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_. 14.曲线 3xy? 在点 )1,1( 处的切线与 x轴、直线 2x? 所围成的三角形的面积为 . 15.在棱长为 a 的正方体 1 1 1 1ABCD
6、 A B C D? 中，向量 1BA 与向量 AC 所成的角3 为 16.如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 l 过 且依次交抛物线及圆? ?2 2 11 4xy? ? ? 于点 A、 B、 C、 D四点，则 94AB CD? 的最小值为 _ 三、 解答题 （本大题共 6小题，共 70 分） 17.（ 10 分） 已知双曲线 144916 22 ? yx ，求 （ 1） 焦点坐标 （ 2） 离心率 （ 3） 渐近线方程 . 18.（ 12 分）已知函数 3( ) 3 1f x x x? ? ? （ 1） 求 ()fx的单调区间和极值； （ 2）求曲线在点 (0, (0)f 处的切线方程 19.
7、（ 12分） 已知命题 ，且 ，命题 ，且 . （ 1）若 ， ，求实数 a的值； （ 2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围 . 20. （ 12 分） 如图四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 为菱形，且 60ABC? ? ? ， 2AB PC?， 2PA PB?. （ ）求证：平面 PAB? 平面 ABCD ； （ ）二面角 P AC B?的余弦值 . 4 21.（ 12 分） 已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的短轴长为 23，离心率 12e? （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 12FF、 分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 2F 的直线
8、l 与椭圆 C 交于不同的两点 AB、 ，求 1FAB? 的面积的最大值 . 22.（ 12 分） 已知函数 xbxxaxf ln)1()( ? （ Rba ?, ）， 2)( xxg ? . （ 1）若 1?a ，曲线 )(xfy? 在点 )1(,1( f 处的切线与 y 轴垂直，求 b 的值； （ 2）若 2?b ，试探究函数 )(xf 与 )(xg 的图象在其公共点处是否存在公切线 .若存在，研究 a 值的个数；，若不存在，请说明理由 . 5 高二期中考试 理科数学答案 1-5 ABACB 6-10 CADCA 11-12 DA 13. 14. 83 15. 120 16. 372 17
9、. 焦点坐标为： ），），（ 5-05,0 ，离心率为： 54e? ,渐近线方程为 ： xy 34? . 【解析】 试题分析： 将方程 144916 22 ? yx 化为标准方程 1916 22 ?xy ， 得： 3,4 ? ba , 5?c ， ? 4分 所以焦点坐标为： ），），（ 5-05,0 ， ? 6分 离心率为： 45e? ? 8分 渐近线方程为： xy 34? . ? 10分 考点：本小题主要考查由双曲线的标准方程求焦点、离心率、渐近线等基本量，考查学生对基础知识的掌握和计算能力 . 点评：由双曲线的标准方程求基本量关键是 分清焦点在哪个坐标轴上，分清 ,ab. 18. （ 1）
10、 极大值为 ( 1) 3f ?，极小值为 (1) 1f ? （ 2） 3 1 0xy? ? ? 【解析】 试题分析：（）由求导公式和法则求出 f（ x），求出方程 f（ x） =0的根，根据二次函数的图象求出 f（ x） 0、 f（ x） 0 的解集，由导数与函数单调性关系求出 f（ x）的单调区间和极值；（）由导数的几何意义求出 f（ 0）：切线的斜率，由解析式求出 f（ 0）的值，根据6 点斜式求出曲线在点（ 0， f（ 0）处的切线方程，再化为一般式方程 试题解析： （ 1） 3( ) 3 1f x x x? ? ?， /2( ) 3 3 3 ( 1 )( 1 )f x x x x? ?
11、 ? ? ? ?， / ( ) 0 1 1f x x x? ? ? ?设 ， 可 得 ， 或 当 /( ) 0fx? ，即 11xx? ?， 或 时； 当 /( ) 0fx? ，即 11x? ? ? 时 当 x 变化时， /()fx， ()fx的变化情况如下表： 当 2x? 时， ()fx有极大值，并且极大值为 ( 1) 3f ? 当 2x? 时， ()fx有极小值，并且极小值为 (1) 1f ? （ 2） 2 03 3 | 3xkx ? ? ? ?， (0) 1f ? 1 3 ( 0 ) 3 1 0y x x y? ? ? ? ? ? ? ? ? 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导
12、数求闭区间上函数的最值 19. () ； () . 【解析】 试题分析： () 先求集合 ，由条件知 的值正好是集合 对应端点的值，解得 ； ()由题意得 试题解析： () 因为 ，由题意得， . () 由题意得 考点：集合的关系、充要条件、一元二次不等式的解法 . 20. 7 （ 1）见解析 ;（ 2） 217 . 【解析】 试题分析：（ 1）取 AB 中点 O ，连结 PO ， CO ，依题意，可证 PO? 平面 ABC ，从而可证得平面 PAB? 平面 ABCD ；（ 2）由（ 1） OB 、 CO 、 OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，可求得各点坐标，求出面 PAC 的法向量
13、为 ? ?1, 3, 3n ? ，面 BAC的一个法向量为 ? ?0,0,1m? ，求出向量的夹角即可 . 试题解析：（ 1）证明：取 AB 中点 O ，连结 PO ， CO ，由 2PA AB?， 2AB? ，知 PAB 为等腰直角三角形， 1PO?， PO AB? ，由 2AB BC?， 60ABC? ? ? ，知 ABC 为边三角形， 3CO?， 由 2PC? 得 2 2 2PO CO PC?， PO CO?，又 AB CO O? ? ， AB 、 CO? 平面ABCD PO?平面 ABC ，又 PO? 平面 PAB ， ?平面 PAB? 平面 ABCD . （ 2）由（ 1） OB 、
14、 CO 、 OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则 ? ?0, 1,0A ? ， ? ?3,0,0C ， ? ?0,0,1P ， ? ?3,1,0AC? ， ? ?0,1,1AP? ，设平面 PAC 的 法 向 量 为 ? ?,n x y z? ，则300n AC x yn AP y z? ? ? ? ? ? ?，取 1x ， 则 ? ?1, 3, 3n ? ，又平面 BAC 的一个法向量为 ? ?0,0,1m? ， 设二面角 P AC B?的大小为 ? ， 易知其为锐角， cos cos ,nm? ? ? ? nmnm?3 2171 3 3 ?， ?二面角 P AC B?的余弦值为
15、217 . 8 21. （ 1） 22143xy?；（ 2） 3 . 【解析】 试题分析：（ 1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（ 2）把 1FAB? 分解为 21FAF?和 21FBF? ，所以其面积为1 1 2 1 2 1 212F A BS F F y y y y? ? ? ? ?，设出直线 l 的方程为1x my?，整理方程组表示出 1 2 1 2,y y y y? ，代入上式即可求得 1 2212 134F AB mS m? ? ?，可换元 2 1tm?，则 1t? ，则1 212 41313F A BtStt t? ?，研究求单调性即可求得其最大值 . 试题解析：（
16、1）由题意可得2 2 22 2 312bcaa b c? ? 2分 解得 2, 3ab? 3分 故椭圆的标准方程为 22143xy? 4分 （ 2）设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，1 1 2 1 2 1 212F A BS F F y y y y? ? ? ? ? ? 6分 由题意知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 1x my?， 由 221143x myxy? ?得 ? ?223 4 6 9 0m y m y? ? ? ?，所以，1 2 1 22269,3 4 3 4my y y ymm? ? ? 8分 又因直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点， 故 0? ，即 ? ? ? ?2 26 3 6 3 4 0 ,m m m R? ? ? ?则 ? ?1 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 1 2 142 3 4F A B mS F F y y y y y y y y m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分 9 令 2 1tm?，则 1t? ，则 12221 2 1 1 2 413 4 3 13F A BmtSmtt t? ? ?， 令 ? ? 13f t t t? ，由函数的性质可知，函数 ?ft在 3,3? ?上是单调递增函数， 即当 1t? 时， ?ft在 ? ?1,? 上单调递增
