1、安徽省淮南市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分） 1.复数 ? 23 )1( ii ( ) A i2? B i2 C 2? D 2 2.下面几种推理是合情推理的是 ( ) 由圆的性质 类比出球的有关性质； 由 ( ) sinf x x? ，满足 ( ) ( ),f x f x x R? ? ? ?，推出 ( ) sinf x x? 是奇函数； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 0180 ,归纳出所有三角形的内角和都是 0180 ； 三角形内角和是 0180 ，四边形内角和是 0360 ，五边形内角和是 0
2、540 ，由此 得凸多边形内角和是 0( 2)180n? . A B C D 3.设 )(,)( 3 bxafxxf ? 则 的导数是（ ） A. )(3 bxa? B. 2)(32 bxab ? C. 23 ( )b a bx? D. 23 ( )ba bx? 4.设 点 P 为曲线 C ： 32)( 2 ? xxxf 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0,3?，则点 P 横坐标的取值范围为 ( ) A 23,12?B 321,2?C ? 1,21D ? ? 21,15从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 ba, ，共可得到 ba lglg ?
3、的不同值的个数是 ( ) A 9 B 10 C 18 D 20 6若函数 cbxaxxf ? 2)( 的图象的顶点在第四象限且开口向上，则函数 )fx（ 的图象是（ ） xyO xyO xyO xyOA B C D7函数 1)( 3 ? xaxxf 在 ( , )x? ? 内是减函数，则 ( ) A 0?a B 1a? C 1a? D 0?a 8已知 xxxf ? 3)( , Rcba ?, 且 0 , 0 , 0a b a c b c? ? ? ? ? ?， 则 )()()( cfbfaf ? 的值 一定（ ） A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正 负都有可能 9. 有 8 件不同的电
4、子产品，其中有 2 件产品运行不稳定 .技术人员对它们进行一一测试，直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好 3次就结束测试的方法种数是（ ） A 16 B 24 C 32 D 48 10.设函数 )(xf 的定义域为 R ， )0( 00 ?xx 是 )(xf 的极大值点，以下结论一定正 确的是 ( ) A )()(, 0xfxfRx ? B 0x? 是 )( xf ? 的极 大 值点 C 0x? 是 ()fx?的极 大 值点 D 0x? 是 ()fx? 的极 大 值点 11.已知函数 2( ) cosf x x x? ，对于 ,22?上的任意 12,xx，有如下条件： 12xx?
5、 ； 2212xx? ； 12xx? ； 2212xx? 其中能使 12( ) ( )f x f x? 恒成立的条件序号是（ ） A B C D 12已 知函数 ()fx满足： ( ) 2 ( ) 0f x f x?，那么下列不等式成立的是 ( ) A (0)(1) ffe?B (0)(2) ff e? C (1) (2)f ef? D 2(0) (4)f e f? 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. ? dxx20 314若 64nnCC? ，则 12nC 的值为 ； 15已知 ,xy是不相等的正 实 数，2xya ?， b x y?，则 ba, 的大小关系是
6、 _ _。 16已知函数 1( ) ln lnf x x x?， 以下四个命题中： 若 1 2 1 2, ( )x x x x? 是 ()fx的极值点，则 ()fx在区间 12( , )xx 内是增函数 ； 若 1 2 1 2, ( )x x x x? 是 ()fx的极值点，则 ()fx在区间 12( , )xx 内是减函数 ； 0 0x?，使得 ()fx在 0( , )x ? 上是增函数 ； 0x?，且 1x? ， ( ) 2fx? ； 正确命题的序号是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分） 17.(本小题 10分 )设函 数 baxxaxxf ? 4)1(3)( 23 ,其中 Rb
7、a ?, . (1)若 函数 )(xf 在 3?x 处取得极小值 21 ，求 ba, 的值； (2)求函数 )(xf 的单调递增区间； 18. (本小题 10分 )已知函数 xeaxxxf )2()( 2 ? ， 其中 Ra? ，曲线 )(xfy? 在点 )1(,1f（ 处的 切线垂直于 y 轴 . （ 1） 求 a 的值； （ 2） 求函数 ()fx的极值 . 19. (本小题 12分 )已知函数 2( ) lnf x a x x?，（ aR? ） （ 1）当 2a? 时，求函数 ()fx在 1,22e?上的最大值及相应的 x 值； （ 2）当 ? ?1,xe? 时，讨论方程 ( ) 0fx
8、? 根的个数 . 20 (本小题 12分 )设 nnf 131211)( ? ? *)( Nn? . 求证： 1)()1()3()2()1( ? nfnnffff ? ,( 2*n n N?且 ). 21 (本小题 13分 )已知函数 2ln)2()2(2)( ? axxax axf （ 1） 当 20 ?a 时，求函数 )(xf 的单调区间； （ 2） 已知 1?a ，函数 414)( 2 ? bxxxg 若对任意 ,0(1 ex? ，都存在 2,0(2?x ，使得)()( 21 xgxf ? 成立，求实数 b 的取值范围 22 (本小题 13分 )设函数 2( ) ln( 1)f x x
9、a x? ? ?,( Ra? ) （ 1）当 4a? 时，证明 ()fx在 1, )? 上是 单调 递增函数； （ 2）若函数 ()y f x? 有两个极值点 12,xx，且 12xx? ，求证： 21() 10 ln 22fxx? ? ? ? 2018届高二下期中考试数学（理）试卷答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分， 共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D B C B C A B C B B D A 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 3322 14 66 ； 15 _ab? _。 16 三、解答
10、题 （本大题共 6小题，共 70 分） 17.(本小题 10分 )设函数 baxxaxxf ? 4)1(3)( 23 ,其中 Rba ?, . (1)若函数 )(xf 在 3?x 处取得极小值 21 ，求 ba, 的值； (2)求函数 )(xf 的单调递增区间； 解析： (1)因为 f( x) x2 2(a 1)x 4a， 所以 f(3) 9 6(a 1) 4a 0，得 a 32. 由 f(3) 12，解得 b 4. (2)因为 f( x) x2 2(a 1)x 4a (x 2a)(x 2)， 令 f( x) 0，得 x 2a或 x 2. 当 a1时， f(x)的单调递增区间为 ( ， 2)，
11、 (2a， ) ； 当 a 1时， f(x)的单调递增区间为 ( ， ) ； 当 a1时， f(x)的单调递增区间为 ( ， 2a)， (2， ) 18. (本小题 10分 )已知函数 xeaxxxf )2()( 2 ? ， 其中 Ra? ，曲线 )(xfy? 在点 )1(,1f（ 处的 切线垂直于 y 轴 . （ 1） 求 a 的值； （ 2） 求函数 )(xf 的 极值 . 19. (本小题 12分 )已知函数 2ln)( xxaxf ? ( Ra? ) （ 1）当 4?a 时，求函数 )(xf 在 ? ?1,e 上的最大值及相应的 x 值； （ 2）当 ? ?ex ,1? 时，讨论方程
12、? ? 0?xf 根的个数 20 (本小 题 12分 )设 nnf 131211)( ? ? *)( Nn? . 求证： 1)()1()3()2()1( ? nfnnffff ? ,( *,2 Nnn ? ). 【解析】 当 n 2时，左边 f(1) 1， 右边 21 12 1 1， 左边右边，等式成立 假设 n k时，结论成立，即 f(1) f(2) f(k 1) kf(k) 1， 那么，当 n k 1时， f(1) f(2) f(k 1) f(k) kf(k) 1 f(k) (k 1)f(k) k (k 1)f(k 1) 11k? k (k 1)f(k 1) (k 1) (k 1)f(k
13、1) 1， 所以当 n k 1时结论仍然成立 所以 f(1) f(2) f(n 1) nf(n) 1(n 2， n N*) 21 (本小题 13分 )已知函数 2ln)2()2(2)( ? axxax axf （ 1） 当 20 ?a 时，求函数 )(xf 的单调区间； （ 2） 已知 1?a ，函数 414)( 2 ? bxxxg 若对任意 ,0(1 ex? ，都存 在 2,0(2?x ，使得)()( 21 xgxf ? 成立，求实数 b 的取值范围 解：（ ）当 0 a 2时， ， 当 时， 或 0 x 2， f（ x）在 上递增，在（ 0， 2）和 上递减； 当 时， 或 ， f（ x）
14、在 上递增，在 和（ 2， + ）上递减； ， f（ x）在（ 0， + ）上递减 （ ）由（ ）知 a=1， f（ x）在（ 0， 1）内单调递 减，（ 1， 2）内单调递增，（ 2， e）内单调递减， 又 ， x1 （ 0， e， f（ x） |min=f（ 1） = 1故 ? x1 （ 0， e， ? x2 0， 2有 f（ x1） g（ x2）， 只需 g（ x）在 0， 2上最小值小于等于 1即可 x0=2b 0即 b 0时 g（ x）最小值 ，不合题意，舍去； x0=2b 0， 2，即 0 b 1时 g（ x）最小值， ； x0=2b 2即 b 1时 g（ x）最小值 ， b 1；
15、 综上所述： 22 (本小题 13分 )设函数 ? ? ? ?2 ln 1f x x a x? ? ?（ a为常数） （ 1）当 4a? 时，证明 ?fx在 1， +）上是单凋递增函数； （ 2）若函数 ? ?y f x?有两个极值点 12,xx，且 ?，求证：? ?2110 ln 22fxx? ? ? ? 解析： （ 1）当 4a? 时， ? ? ? ? ? ?2 212 2 4011xxxxfx xx ? ? ?， 1, )x? ? ， ?fx单调递增 （ 2） ? ? 22201x x afx x?在区间（ 1， +）上有两个不相等的实数根， 即方程 22 2 0x x a? ? ?在区间（ 1， +）上有两个不相等的实数根 记 ? ? 222g x x x a? ? ?，则有? ?1 0210gg? ? ?，解得 10 2a? 121xx? ? ，122axx?，2 1 1 222ax ? ? ?，21 02 x? ? ? ? ? ? ? ? ?222 2 2 22222 2 ln 11x x x xfxxx? ? ?
