1、 1 湖北省武汉市东湖高新技术开发区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 考试时间： 120分钟 试卷满分： 150分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上） 1已知 X 的分布列为右表，且 37)(3 ? YEaXY ， ，则 a 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 2甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占 %20 ，乙市占 %18 ， 两市同时下雨占 %12 则某一天当甲市为雨天时，乙市也为雨天的概 率为 A 6.0 B 7.0 C 8.0
2、D 66.0 3. P 是抛物线 2yx? 上的动点， Q 是直线 2 4 0xy? ? ? 上的动点，则 |PQ 的最小值为 A. 553B. 554C. 2 D. 4 4.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级 ，若规定从二楼 到三楼用 8 步走完，则上楼梯的方法有 A 45 种 B 36 种 C 28 种 D 25 种 5在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一或最后一 步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 A 34 种 B 48 种 C 96 种 D 144种 6 25()x x y
3、? 的展开式中， 52xy的系数为 A 10 B 20 C 30 D 60 7三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有 10个班级，则至少有 2 人分在同一个班级的概 率为 A. 257 B. 1825 C. 13 D. 23 8. 62 )1()1( xax ? 的展开式中， 3x 项的系数为 16? ，则实数 a 的值为 A 2 B 3 C 2? D 2 或 3 9.设集合 420 ，?A , 531 ，?B ，分别从 BA, 中任取 2 个元素组成无重复数字的四位数，其 中能被 5 整除的数共有 X 1? 0 1 P 21 31 61 2 A 24 个 B 48 个 C 64 个 D 1
4、16个 10已知某盒中有 10个灯泡，其中有 8 个是正品， 2 个是次品现需要从中取出 2 个正品 .若每次 只取出 1个灯泡，取出后不放回，直到取出 2 个正品为止设 ? 为摸取的次数，则 ? )4(?P A. 154 B. 151 C. 2845 D. 1445 11设 ()fx? 为函数 ()fx的导函数， e 为自然对数的底数，且 ( ) ln ( )xf x x f x? ? ，则 A 2( 2 ) ( ) ln 2 , 2 ( ) ( )f f e f e f e? B 2( 2 ) ( ) ln 2 , 2 ( ) ( )f f e f e f e? C 2( 2 ) ( )
5、ln 2 , 2 ( ) ( )f f e f e f e? D 2( 2 ) ( ) ln 2 , 2 ( ) ( )f f e f e f e? 12定义在 R 上的奇函数 ?fx对任 意 ? ?1 2 1 2,x x x x? 都有 ? ? ? ?1 2 1 2( ) 0x x f x f x? ? ?，若正实 数 a 使得 不等式 ? ? ? ?2 2 3 0af a e a f ba? ? ?恒成立，则 b 的取值范围是 A 1, )? ? B , )e? ? C 1, e? D ( ,1? 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在答题卡相应位置上） 13设随
6、机变量 X 2(2, )N ? ，且 ( 4)=0.84PX? ，则 ( 0)=PX? 14计算 38 33 21nnCC? ?15 函数 () 4 xfx xa? ? 在 (1, )? 上单调递减则实数 a 的取值范围是 16已知 3( ) 3f x x x m? ? ?，在区间 02， 上任取三个数 ,abc，均存在以 )(),(),( cfbfaf 为边 长的三角形，则 m 的取值范围是 三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 ，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上） 17 (本小题满分 10分 )如 图，从左到右有 5 个空格 （ 1）若向这 5 个格
7、子填入 43210 ， 五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填 0 ，则一共有多少不同的填法？ （ 2）若给这 5 个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝 3 种颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？ （ 3）若向这 5 个格子放入 7 个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 18 (本小题满分 12 分 ) 某商场举行有奖促销活动 ，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等 奖；若只有 1个红球，则获二等奖；若没有
8、红球，则不获奖 . （ 1） 求顾客抽奖 1次能获奖的概率； 3 （ 2）若某顾客有 3 次抽奖机 会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 19 (本小题满分 12分 )已知函数 1( ) ln ( 1 ) , 01 xf x a x xx? ? ? ?，其中 0a? （ 1）若 ()fx在 1?x 处取得极值，求 a 的值； （ 2）求 ()fx的单调区间； （ 3）若 ()fx的最小值为 1，求 a 的取值范围 . 20 (本小题满分 12 分 )某地农民种植 A 种蔬菜，每亩每年生产成本为 7000 元， A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双
9、重影响，预计明年雨水正常的概率为 32 ，雨水偏少的概率为 31 ，若雨水正常，A 种蔬 菜每亩产量为 2000 公斤，单价为 6 元 /公斤的概率为 41 ，单价为 3 元 /公斤的概率为 43 ，若雨水偏少， A 种蔬菜每亩产量为 1500公斤，单价为 6 元 /公斤的概率为 32 ，单价为 3 元 /公斤的概率为 31 ， （ 1）计算明年农民 种植 A 种蔬菜不亏本的概率； （ 2）在政府引导下，计划明年采取 “ 公司加农户，订单农业 ” 的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为 2500 公斤，农民生产的 A 种蔬菜全
10、部由公司收购，为保证农民的每亩预期利润增加 1000元，收购价格至少为多少？ 21 (本小题满分 12分 ) 已知 223( 3 )nxx?的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 992 （ 1）求 nx 2)21( ?的展开式 中各项 系数的最大值和最小值； （ 2）已知 nnn xaxaxaaxx 2222102 )1( ? ?，求下列各式的值： naaaa 2321 ? ? ； nnaaaa 2321 232 ? ?； 4 nn aaaa 2224232 222 ? ?. 22.(本小题满分 12分 )已知函数 ,ln1)(,12)(2 xkxxgxkxexfx ? (k 为常数，
11、2.71828e? ?) （ 1）记 )()()( xgxfxh ? ，若函数 ()hx 在 (0,2) 内存在两个极值点，求 k 的取值范围； （ 2）若在区间 ,0( e 内至少存在一个数 0x ，使得 0)( 0 ?xg 成立，求 k 的取值范围 . 5 数学 （理科） 试题 参考答案与评分标准 一、选择题 ： BAACC CADCB BA 二、填空题 ： 13 16.0 ； 14 466 ； 15 4,0( ； 16 ),6( ? 三解答题 17解：（ 1） 964 44 ?A ； ? 3分 （ 2） 4822223 ? ； ? 6分 （ 3） 16800)( 5537222527 ?
12、 ACACC. ? 10 分 18解：（ 1）法 1： 4 5 4 5 6 5 71 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0P ? ? ? ? ? ? ?； 法 2： 6 5 71 10 10 10P ? ? ? ?；? 6分 （ 2）顾客抽奖 3 次，相当于 3 次独立重复试验，顾客抽奖 1次获一等奖的概率为 51105104 ? ， 所以 )51,3(BX ，于是 0 0 33 1 4 6 4( 0 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C? ? ?, 1 1 23 1 4 4 8( 1 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C? ? ?, 2 2 13 1 4 1
13、 2( 2 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C? ? ?, 3 3 03 1 4 1( 3 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C? ? ?，故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 所以 X 的数学期望为 53513)( ?XE . ? ? 12分 19解：（ 1） 22222( ) ,1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a x afx a x x a x x? ? ? ? ? ? ()fx在 x=1处取得极 值， 2(1 ) 0 , 1 2 0 ,f a a? ? ? ?即 解得 1.a? ? ? 4分 （ 2） 2
14、22( ) ,( 1)(1 )ax afx ax x? ? 0, 0,xa? 1 0.ax? 当 2a? 时，在区间 (0, ) ( ) 0,fx? ?上 ， ()fx在 ),0 ? 上单调递增； 当 02a?时，由 22( ) 0 , ( ) 0 ,aaf x x f x x? ? ? ?解 得 由 解 得 ()fx在 )2,0(aa?单调递减，在 )2( ? ，aa单调递增， 综上，当 2a? 时，增区间为 ),0 ? ，无减区间； 6 当 02a?时，减区间为 )2,0(aa?，增区间为 )2( ? ，aa. ? ? 8分 （ 3）当 2a? 时，由（）知， ( ) ( 0 ) 1;f
15、x f ?的 最 小 值 为 当 02a?时，由（）知， ()fx在 2 ax a? 处取得最小值 2( ) (0 ) 1,affa? ? 综上可知，若 ()fx得最小值为 1，则 a 的取值范围是 2, ).? ? ? 12 分 20解：（ 1）只有当价格为 6 元 /公斤时，农民种植 A 种蔬菜才不亏本， 所以农民种植 A 种蔬菜不亏本的概率是 18732314132 ?p . ? 4分 （ 2）按原来模式种植，设农民种植 A 种蔬菜每亩利润为 ? 元， 则 ? 可能取值为： 2500,1000,2000,5000 ? 614132)5000( ?p ， 923231)2000( ?p ，
16、 214332)1000( ?p ， 913131)2500( ?p ， 所以 500912500211000922000615000)( ?E ? ? 8分 设收购价格为 a 元 /公斤，农民每亩预期利润增加 1000元，则 150070002500 ?a ， 即 4.3?a ，所以收购价格至少为 4.3 元 /公斤 . ? 12分 21解：令 1x? ，则展开式中各项系数和为 2(1 3) 2nn?， 又展开式中二项式系数和为 2n ， 22 2 992nn? ， 0)312)(322( ? nn ，故 322 ?n ， 5n? ? ? 2分 （ 1）当 5n? 时， 10)21( x? 的展开式中，各项系数为 10,2,1,0)21(10 ? kCa kkk ， 设 | ka 最大，则?111010111010)21()21()21()21(kkkkkkkkCCCC，解得 31138 ?k ， Zk? , 3?k ， 故系数最小值为 15)21( 33103 ? Ca， ? ? 4分 又因为445)21( 22102 ? Ca，8105)21( 44104 ? Ca， 42 aa? ， 故系数最大值为81054 ?a ? ? 6分 7 （ 2）当 5n? 时， 1010221052 )1( xaxaxaaxx ? ?， 令 0?x 得， 10?a ，令 1?x
