1、 1 湖北省武汉市东湖高新技术开发区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 考试时间： 120分钟 试卷满分： 150分 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上） 1.i 为虚数单位，则 21ii? A.1i? B. 1i? C. 1i? D.1i? 2.若 0ab?，则下列不等式中 错误的 是 A.11ab? B. 11a b a? C. ab? D. 22ab? 3.我国南宋数学家秦九韶所著数学九章中有 “ 米谷粒分 ” 问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米 1512石 ，验得米内夹谷
2、 .取一把米，数得 216粒内夹谷 27粒，则这批米内夹谷约 A.164石 B.178石 C.189石 D.196石 4.平面直角坐标系 xOy 中，满足 22 1, 0 , 0x y x y? ? ? ?的点 ( , )Pxy 的集合对应的平面图形的面积为 4? ； 类似的，在空间直角坐标系 Oxyz 中，满足 2 2 2 1 , 0 , 0 , 0x y z x y z? ? ? ? ? ?的点 ( , , )Px y z 的集合对应的 空间几何体的体积为 A.8? B.6? C.4? D.3? 5. 若 a是从区间 ? ?0,3 内任取的一个数， b是从区间 ? ?0,2 内任取的一个数
3、，则关于 x的一元二次方程 2220x ax b? ? ?有实根的概率为 A.13 B.14 C.23 D.34 6.某长方体被一平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A.4 B.22 C.42 D.8 正视图 1 21 1 2侧视图 22A D F C B E 2 7.如图，已知一个八面体各棱长均 为 1，四边形 ABCD 为正方形，则下列命题中 不正确 的是 A.不平行的两条棱所在直线所成的角为 60? 或 90? B.四边形 AECF为正方形 C.点 A到平面 BCE的距离为 64D.该八面体的顶点在同一个球面上 8.已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a ba
4、b? ? ? ?，点 M， N， F 分别为椭圆 C 的左顶点，上顶点，左焦点 .若90M F N N M F? ? ? ? ?，则椭圆 C的离心率为 A. 512? B. 312? C. 212? D. 22 9. 已知函数 ()fx? , ()fx的图象如图 所示，则函数 ()()xfxgx e?的单调递减区间为 A.? ?0,4 B. ? ? 4,1 , ,43? ?C. 40,3?D. ? ? ? ?0,1 , 4,? 10.给出定义： ()fx? 是 ()fx的导函数， ()fx? 是 ()fx? 的导函数，若方程 ( ) 0fx? ? 有实数解 0x ，则称点 ? ?00, ( )
5、x f x 为函数 ()fx的 “ 拐点 ”. 已知函数 ( ) 3 4 s in c o sf x x x x? ? ?的 “ 拐点 ” 是点? ?00, ( )M x f x ，则点 M在 A.直 线 3yx? 上 B. 直线 3yx? 上 C. 直线 4yx? 上 D. 直线 4yx? 上 11.已知函数 2( ) 4 lnf x a x a x x? ? ?，则 ()fx在区间 ? ?1,3 上不单调的一个充分不必要条件是 A. 1,6a ? ?B. 1 ,2a ? ? ?C. 11,26a ?D. 1,2a ? ?12. 设二次函数 2()f x ax bx c? ? ?的导函数为
6、()fx? ，则对 xR? ，不等式 ( ) ( )f x f x? 恒成立，则 2222bac?的最大值为 43 4 x 2 1 0 y 3 A. 62? B. 62? C. 62? D. 62? 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在答题卡相应位置上） 13.已知复数 z为纯虚数，且 ? ?21z i ai? ? ? ，则实数 a的值为 _ 14.若关于 x的不等式 13x x m? ? ? ?的解集为空集，则 m的取值范围为 _ 15.已知 F 是双曲线 22:18yCx?的右焦点， P 为左支上任意一点，点 ? ?0,6 6A ，当 PAF 的周长最小时，点
7、P坐标为 _ 16.已知函数 ()xxfx e? ，若关于 x 的方程 ( ) 1 0f x m? ? ? 恰有三个不等实根，则实数 m的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上） 17.(本题满分 10 分 ) 已知函数 2( ) l n , ( ) ( ) 3f x x g x f x a x x? ? ? ?，函数 ()gx的图象在点 ? ?1, (1)g处的切 线平行于 x轴 . （ 1）求 a的值； （ 2）求函数 ()gx的极值 . 18. (本题满分 10 分 ) 已知命题 p：方程 22 20a
8、 x ax? ? ?在区间 ? ?0,1 上有解，命题 q：对于 xR? ，不 等式 sin cosx x a?恒成立 .若命题 pq? 为真命题， pq? 为假命题，求实数 a的取值范围 . 19. (本题满分 12 分 )如图，在边长为 3 的菱形 ABCD中， ABC=60 ， PA? 平面 ABCD，且 3PA? ，E 为 PD中点， F在棱 PA 上，且 1AF? . （ 1）求证： CE 平面 BDF； （ 2）求点 P到平面 BDF的距离 . P D C F E B A 4 20. (本题满分 12 分 )为了传承经典，促进学生课外阅读，某校从高中年级和初中 年级各随机抽取100
9、名学生进行有关对中国四大名著常识了解的竞赛 .图 1和图 2分别是高中年级和初中年级参加竞赛的学生成绩按照 ? ? ? ? ? ? ? ?4 0 , 5 0 , 5 0 , 6 0 , 6 0 , 7 0 , 7 0 , 8 0分组，得到的频率分布直方图 . （ 1）分别计算参加这次知识竞赛的两个学段的学生的平均成绩； （ 2）规定竞赛成绩达到 ? ?75,80 为优秀，经统计初中年级有 3名男同学 ， 2名女同学达到优秀，现从上述 5人中任选两人参加复试，求选中的 2人恰好都为女生的概率； （ 3）完成下列 22? 的列联表，并回答是否有 99%的把握认为 “ 两个学段的学生对四大名著的了解
10、有差异 ” ？ 成绩小于 60分人数 成绩不小于 60分人数 合计 初中年级 高中年级 合计 附： ? ? ? ? ? ? ? ?22 ()n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?临界值表： 2 0()P K k? 0.10 0.05 0.01 0k 2.706 3.841 6.635 21. (本题满分 13 分 )如图，已知点 12,FF是椭圆 2 21:12xCy?的两个焦 点，椭圆2 22 : ( 0 )2xCy ? ? ? 过点 12,FF，点 P是椭圆 2C 上异于 12,FF的任意一点，直线 12,PF PF 与椭圆 1C 的交点分别为 A,B和C,D
11、， 40 50 60 70 80 40 50 60 70 80 成绩 成绩 0.01 0.02 0.03 0.04 0.015 0.035 频率 /组距 频率 /组距 图 1（高中） 图 2（初中） 5 设直线 AB， CD的斜率分别为 12,kk. （ 1）求证： 12kk? 为定值； （ 2）求 AB CD? 的最大值 . 22. (本题满分 13分 )已知函数 ln( ) 1xfx x?. （ 1）求函数 ()fx的单调区间； （ 2）设 0m? ，求函数 ()fx在区间 ? ?,2mm上的最大值； （ 3）证明：对 *nN? ，不等式 ? ? 1 1 1l n 1 1 23enn n?
12、 ? ? ? ? ? ?恒成立 . x y A B C D O F1 F2 6 数学（文）试题参考答案 考试时间： 120分钟 试卷满分： 150分 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C B C D C A D B D D 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在答题卡相应位置上） 13. 2? 14. ? ?,4? 15 ? ?2,2 6? 16. 21, 12ee?三、解答题（本大题共 6小
13、题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上） 17. (本题满分 10分 ) 解：（ 1） 2( ) ln 3g x x a x x? ? ?， 1( ) 2 3g x axx? ? ? ?， 由题意知 (1 ) 1 2 3 0 1g a a? ? ? ? ? ? ?4 分 （ 2） 1a? ，所以 ? ? ? ?2 2 1 11 2 3 1( ) 2 3 xxxxg x xx x x? ? ? ? ? ?6 分 令 ( ) 0gx? ? ，解不等式得： 1 12xx?或 ，又 0x? ， ()gx在 10,2?上单调递增， 1,12?上单调递减， ?
14、?1,? 上单调递增 ?8 分 15( ) = ln 224g x g ? ? ? ?极 大 ， ? ?( ) = 1 2g x g ?极 小.?10 分 18. (本题满分 10分 ) 解：方程 22 20a x ax? ? ?的两根为 21,aa? ， ?2 分 7 由题意知 210 1 0 1aa? ? ? ? ?或 ，解得 21aa? ?或 ， 即命题 p为真命题时 a 的取值集合为 ? ? ? ?, 2 1,A ? ? ? ?.?4 分 sin cosx x a?恒成立，所以 ? ?m ins in c o s 2a x x? ? ? ? 即命 题 q为真命题时 a 的取值集合为 ?
15、 ?,2B ? ? ? .?7 分 又 命题 pq? 为真命题， pq? 为假命题，所以 a的取值范围为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 , 2 1 ,RRA B B A ? ? ? ? ?痧 .?10 分 19. (本题满 分 12分 ) 解：（ 1）取 PF中点 G，连接 AC交 BD于 O点，连接 FO， GC， EG 由题意易知 G为 PF中点，又 E为 PD中点，所以 GE FD，故 G E F DG E B D F G E B D FF D B D F?面 面面FO为三角形 AGC的中位线，所以 FO GC G C F OG C B D F G C B D FF O B
16、D F?面 面面所以面 EGC 平面 BDF， EC EGC? ， CE 平面 BDF?6 分 （ 2）由题意知点 P到平面 BDF 的距离等于 A 到平面 BDF 的距离的两倍，记 A 到平面 BDF 的距离为 h，则在四面体 FABD中，易求得 3 394BDFS? ? 由体积自等得 1 3 3 9 1 1 3 3313 4 3 2 2A B D F D A B FV V h? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3 1313h? ， P到平面 BDF的距离等于 6 132 13h? ?12 分 （向量 做法相应给分） 20. (本题满分 12分 ) 解：（ 1） 56, 60xx?高 中
17、初 中 ?3 分 P D C F E B A G O 8 （ 2）从 5 名同学中任选 2 人参加复试的所有基本事件数有 10 个，其中选中的 2 人恰好都是女生的基本事件只有 1个，故选中的 2人恰好都是女生的概率为 110P? .?7 分 （ 3）列联表如下 成绩小于 60分人数 成绩不小于 60分人数 合计 初中年级 50 50 100 高中年级 70 30 100 合计 120 80 200 22 2 0 0 ( 5 0 3 0 5 0 7 0 ) 8 . 3 3 6 . 6 3 51 0 0 1 0 0 1 2 0 8 0K ? ? ? ? ?， 故有 99%的把握认为 “ 两个学段的学生对四大名著的了解有差异 ” ?12 分 21. (本题满分 13分 ) 解：（ 1）点 12,FF是椭圆 2 21 :12xCy?的两个焦点，所以 ? ? ? ?121, 0 , 1, 0FF? ，将坐标代入得 12? 设点 ? ?00,P x y ，则 2 200 122x y?，整理得 22 00 1 2xy ?且直线 AB， CD的斜率分别为 0012,11yykkxx? 20 0 012 20 0 0 11 1 1 2y y ykk x x x? ? ? ? ? ? ?
