1、 - 1 - 2017-2018 学年度下学期高二年级期中考试 数学 (文 )试卷 考试时间： 120分钟 一、选择题：（ 本题包括 12 小题，共 60分，每小题只有一个选项符合题意） 1若集合 A=x| |x 1| 1， B= 2， 1， 0， 1， 2，则集合 A B=（ ） A 0， 2 B 2， 2 C 0， 1， 2 D 2， 1， 0 2 设复数 z满足（ 1+i） z=2i，则 |z|=（ ） A B C D 2 3 命题 “ ? x 0，使 2x 3x” 的否定是（ ） A ? x 0，使 2x 3x B ? x 0，使 2x 3x C ? x 0，使 2x 3x D ? x
2、 0，使 2x 3x 4为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田这 n块地的亩产量（单位： kg）分别是 x1， x2， ? ， x n ， 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A x1， x2， ? ， x n的平均数 B x1， x2， ? ， x n的中位数 C x1， x2， ? ， x n的最大值 D x1， x2， ? ， x n的标准差 5 设 a R，则 “a 1” 是 “a 2 1” 的 （ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 6直线 l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l的距离为其短轴长的
3、 ，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 7在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣： “ 远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ” 这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有 7 层，每层悬挂的红灯数 是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 8如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是- 2 - （ ） A B C D 9若某多面体的三视图（单位： cm）如图所示，则此
4、多面体的体积是（ ） A B cm3 C cm3 D cm3 10已知双曲线 的实轴长 为 8，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A B C D 11已知点 F 为抛物线 y 2= 8x 的焦点， O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且 |AF|=4，则 |PA|+|PO|的最小值为（ ） A 6 B C D 4+2 12已知函数 f（ x） = ，设 a R，若关于 x 的不等式 f（ x） | +a|在 R 上恒成立，则 a的取值范围是（ ） A 2， 2 B C D 二、填空题：（本题包括 4小题，共 20 分） 13已知向量 =（ 2， 3）， =（ 3， m
5、），且 ，则 m= 14 函数 f（ x） = x+ex+1 在 x = 1处的切线方程为 - 3 - 15若 x， y满足约束条件 ，则 z= x +y的最大值为 16设函数 f（ x） = ，则满足 f（ x） +f（ x ） 1的 x的取值范围是 三、填空题：（本题包括 6小题，共 70 分） 17（本小题 12分） 在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 asin2B= bsinA （ 1）求 B； （ 2）已知 cosA= ，求 sinC 的值 18 （本小题 12 分） 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，
6、 a1= 1， b1=1， a2+b2=2 （ 1）若 a3+b3=5，求 bn的通项公式； （ 2）若 T3=21，求 S3 19 （本小题 12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，又点 在该椭圆上 （ 1）求椭圆 E的方程； （ 2）若斜率为 的直线 l与椭圆 E交于不同的两点 B， C，求 ABC的最大面积 20 （本小题 12分） 已知函数 f（ x） =（ x+1） lnx a（ x 1） （ I）当 a=4时，求曲线 y=f（ x） 在 （ 1， f（ 1） 处的切线方程； （ II）若当 x （ 1， + ） 时， f（ x） 0，求 a的取值范围 21 （本小题 11 分） 在直角
7、坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为（ t为参数， a 0）在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： =4cos （ ）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； - 4 - （ ）直线 C3的极坐标方程为 = 0，其中 0满足 tan 0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在C3上，求 a 22 （本小题 11分） 已知函数 f（ x） =|x |+|x+ |， M为不等式 f（ x） 2的解集 （ ）求 M； （ ）证明：当 a， b M时， |a + b| |1 + a b| 横峰中学高二年级下学期期中考试 一选择题 1 2 3 4 5 6 7 8
8、 9 10 11 12 C C A D A B D B A C C A 二填空题 13 2； 14 2x y+2=0； 15 8； 16（ ， + ）； 三解答题 17.解：（ 1） asin2B= bsinA， 2sinAsinBcosB= sinBsinA， cosB= ， B= （ 2） cosA= ， sinA= ， sinC=sin（ A+B） =sinAcosB+cosAsinB= = 18. 解：（ 1）设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q， a1= 1， b1=1， a2+b2=2， a3+b3=5， 可得 1+d+q=2， 1+2d+q2=5， 解得 d=
9、1， q=2或 d=3， q=0（ 舍去 ）， 则 bn的通项公式为 bn=2n 1， n N*； （ 2） b1=1， T3=21，可得 1+q+q2=21， 解得 q=4或 5， 当 q=4时， b2=4， a2=2 4= 2， d= 2（ 1） = 1， S3= 1 2 3= 6； 当 q= 5时， b2= 5， a2=2（ 5） =7， d=7（ 1） =8， S3= 1+7+15=21 - 5 - 19.解：（ 1）依题意，得 ， 解得 ， 椭圆的方程为 + =1 （ 2）设 B（ x1， y1）， C（ x2， y2）， BC的方程为 y= x+m， 则有 ， 整理，得 4x2+2
10、 mx+（ m2 4） =0， 由 =（ 2 m） 2 16（ m2 4） = 8m2+64 0， 解得 2 m 2 ， 由根与系数的关系，得： x1+x2= m， x1x2= ， |BC|= = |x1 x2|= ， 设 d为点 A到直线 BC 的距离， 则 d= = |m|， S ABC= |BC|?d= =4，当且仅当 m= 2时取等号， 当 m= 2时， ABC的面积取得最大值 20.解：（ I）当 a=4时， f（ x） =（ x+1） lnx 4（ x 1） f（ 1） =0，即点为（ 1， 0）， 函数的导数 f （ x） =lnx+（ x+1） ? 4， 则 f （ 1） =l
11、n1+2 4=2 4= 2， 即函数的切线斜率 k=f （ 1） = 2， 则曲线 y=f（ x）在（ 1， 0）处的切线方程 为 y= 2（ x 1） = 2x+2； （ II） f（ x） =（ x+1） lnx a（ x 1）， f （ x） =1+ +lnx a， f （ x） = ， x 1， f （ x） 0， f （ x）在（ 1， + ）上单调递增， - 6 - f （ x） f （ 1） =2 a a 2， f （ x） f （ 1） 0， f（ x）在（ 1， + ）上单调递增， f（ x） f（ 1） =0，满足题意； a 2，存在 x0 （ 1， + ）， f （ x0
12、） =0，函数 f（ x）在（ 1， x0）上单调递减，在（ x0， + ）上单调递增， 由 f（ 1） =0，可得存在 x0 （ 1， + ）， f（ x0） 0，不合题意 综上所述， a 2 另解：若当 x （ 1， + ）时， f（ x） 0， 可得（ x+1） lnx a（ x 1） 0， 即为 a ， 由 y= 的导数为 y= ， 由 y=x 2lnx的导数为 y=1 + = 0， 函数 y在 x 1递增，可得 0， 则函数 y= 在 x 1递增， 则 = =2， 可得 2恒成立， 即有 a 2 21.解：（ ）由 ，得 ，两式平方相加得， x2+（ y 1） 2=a2 C1为以（
13、0， 1）为圆心，以 a为半径的圆 化为一般式： x2+y2 2y+1 a2=0 由 x2+y2= 2， y=sin ，得 2 2sin +1 a2=0； （ ） C2： =4cos ，两边同时乘 得 2=4cos ， x2+y2=4x， 即 （ x 2） 2+y2=4 由 C3： = 0，其中 0满足 tan 0=2，得 y=2x， 曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上， y=2x为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程， - 7 - 得： 4x 2y+1 a2=0，即为 C3 ， 1 a2=0， a=1（ a 0） 22. 解：（ I）当 x 时，不等式 f（ x） 2可 化为： x x 2， 解得： x 1， 1 x ， 当 x 时，不等式 f（ x） 2可化为： x+x+ =1 2， 此时不等式恒成立， x ， 当 x 时，不等式 f（ x） 2可化为： +x+x+ 2， 解得： x 1， x 1， 综上可得： M=（ 1， 1）； 证明：（ ）当 a， b M时， （ a2 1）（ b2 1） 0， 即 a2b2+1 a2+b2， 即 a2b2+1+2ab a2+b2+2ab， 即（ ab+1） 2 （ a+b） 2， 即 |a+b| |1+ab|
