1、2017-2018 高二下学期期中考试数学 (文 )试题 考试时间 :120分钟 满分 :150分 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知复数 z满足 z(1 )i? =2，则 z2的虚部是 （ ） A -2 B -2i C 2i D 2 2 设数列 na 是等比数列，且 0na ， nS 为其前 n 项和已知 2416aa? ， 4 5 81 2 5 8a a aa a a? ，则 5S 等于 （ ） A 40 B 20 C 31 D 43 3两个相关变量满足如下关系： 根据表格已得回归方程： ? 9.4 9.2yx?，表中
2、有一数据模糊不清，请推算该数据是 （ ） A 37 B 38 5 C 39 D 40 5 4.下列命题中，是真命题的是（ ） A 0xR?，使得 0 0xe B 2s in 2 2 ( , )s inx x k k Zx ? ? ? ? C 2,2xx R x? ? ? D 1, 1ab?是 1ab? 的充分不必要条件 5把函数 sin( )6yx?图象上各点的横坐标缩短到原来的 12 (纵坐标不变 )，再将图象向右平移 3? 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 （ ） A 2x ? B 4x ?C 8x ? D 4x ? 6已知双曲线 22:1xyC ab? (a0， b0)的焦距为 2
3、 5 ，抛物线 21144yx?与双曲线 C的 渐近线相切，则双曲线 C的方程为 （ ） x 2 3 4 5 6 y 25 50 56 64 A 22182xy? B 22128xy?C 22 14yx ? D 2 2 14x y? 7一个几何体的三视图如图所示，其中正 (主 )视图和侧 (左 )视图是腰长为 l的两个全等 的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为 （ ） A 2 B 3 C 5 D 7 8. 若两个正实数 x、 y满足 14x1 ?y，且不等式 mmyx 34 2? 有解 ，则实数 m的取值范围是（ ）。 A.（ -1,4） B.（ -， -1）（ 4， +） C
4、.（ -4,1） D.（ -， 0）（ 3， +） 9.已知函数 Rxxxxf ? ,)( 3 ，若当 20 ? 时， 0)1()sin( ? mfmf ? 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A )1,0( B )0,(? C )21,(? D )1,(? 10.四面体 ABCD 的四个顶点都在某个球 O的表面上， BCD? 是边长为 33的等边三角形，当 A 在球 O表面上运动时，四面体 ABCD 所能达到的最大体积为 ，则四面体 OBCD 的体积为 （ A） 8138 （ B） 2734 （ C） 93 （ D） 2732 11.过点 M(-2 0)的直线 l 与椭圆 2 2 12x
5、 y?交于 1p ， 2p 两点，线段 12pp 中点为 p ,设直线l 斜率为 11( 0)kk? ,直线 op 斜率为 2k ，则 12kk 等于（ ） 第 1 页 共 5 页 A.2 B. 2 C.12 D. 12? 12. 已知函数 ( ) sin 1( 0 )2f x x x? ? ?， ( ) lo g ( 0 , 1)ag x x a a? ? ?且.若它们的图象上存在关于 y 轴对称的点至少有 3对，则实数 a 的取值范围是（ ） A 50,5?B 5,15?C 3,13?D 30,3?第 卷 二、填空题（每小题 5 分 共 20分） 13.已知实数 ,xy满足条件 34yxy
6、xxy? ?，且 2z x y? ? ， 则 z 的最小值是 14已知 | | 1,| | 2 ,| 2 | 5a b a b? ? ? ?，则向量 ,ab的夹角为 15 九 章算术“竹九节”问题 :现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共为 3升，下面 3节的容积共为 4升，则第五节的容积为 升 16. 椭圆 C 的中心在坐标原点，左、右焦点 在 x 轴上，已知 分别是椭圆的上顶点和右顶点， P 是椭圆上一点，且 轴， ，则此椭圆的离心率为 _. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17 21 题每题 12 分 ) 17. 已知函数 2( )
7、 sin (2 ) c o s6f x x x? ? ? (I)求 ()fx的最小正周期及 2 , 12 3x ? 时 ()fx的值域； () 在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边为 a， b， c，且角 C 为锐角， 3ABCS? ? ， c=2，31()4 4 2fC ? ? ?，求 a,b的值 18.某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了 20 名用户的评分，得到图 3 所示茎叶图，对不低于 75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意， ( )根据以上资料完成下面的 2 2 列联表，若据此数据算得 2 3.7781K ? ，则 在犯错的概率不超过 5%的 前提下
8、，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？ 附： P(K2 k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 ( ) 估计用户对该公司的产品“满意”的概率； ( ) 该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取 2人，求这两人都是男用户或都是女用户的概率 . 19. 如图，在多面体 ABCDM 中， BCD 是等边三角形， CMD 是等腰直角三角形， 90CMD ?，平面 CMD ? 平面 BCD ， AB ? 平面 BCD ， 点 O 为 CD 的中点， 连接 OM . ( ) 求证： OM 平面 ABD ； ( ) 若 2AB BC?，求
9、三棱锥 A BDM? 的体积 . 20.已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的焦距为 2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率 为 ， O 为坐标原点 不满意 满意 合计 男 4 7 女 合计 （） 求椭圆 C 的方程； （）设斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 BA, 两点，记 AOB? 面积的最大值为 kS ， 证明： 21 SS? 21.设函数 ? ? 2 xf x x e? （）求曲线 ?fx在点 ? ?1,e 处的切线方程； （） 若 ? ?f x ax? 对 ? ?,0x? 恒成立，求实数 a 的取值范围； （）求整数 n 的值，使函数 ? ? ? ? 1F x
10、 f x x?在区间 ? ?,1nn? 上有零点 选做题 (两题任选其一 ) 22（本小题满分 10分） 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 )(sin co s1 为参数? ? ? ?yx，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求圆 C 的极坐标方程； （ ）直线 l 的极坐标方程是 33)3sin(2 ? ? ，射线 3: ?OM 与圆 C 的交点为PO、 ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长 23 （本小题满分 10分） 已知函数 13)( ? mxxf ， 0?m ， 0)3( ?xf 的解集为 ),22,( ? 第 3 页 共 5 页 （
11、）求 m 的值； （ ）若 ttxxfRx 2512)(, 2 ? 成立，求实数 t 的取值范围 第 5 页 共 5 页 高二期中考试数学文科答案 1、 D 2、 C 3、 C 4、 D 5、 A 6、 D 7、 B 8、 B 9、 D 10、 C 11、 D 12、A 13、 -5 14、 15、 16、 5517.18.解 :() 根据茎叶图 ,填写 列联表 ,如下 ; 计算 , 1, 在犯错的概率不超过 5%的前提下 ,不能认为 “ 满意与否 ” 与 “ 性别 ” 有关 ; () 因样本 20人中 ,对该 公司产品满意的有 6人 , 故估计用户对该公司的产品 “ 满意 ” 的概率为 ,
12、() 由 () 知 ,对该公司产品满意的用户有 6人 ,其中男用户 4人 ,女用户 2人 , 设男用户分别为 a,b,c,d;女用户分别为 e,f, 从中任选两人 ,记事件 A为 “ 选取的两个人都是男用户或都是女用户 ”, 则 总的基本事件为 , , , , , , , , , , , , , , 共 15个 , 而事件 A包含的基本事件为 , , , , , , 共 7个 , 故 19. () 证明： CMD 是等腰直角三角形， 90CMD ?，点 O 为 CD 的中点， OM CD? . ?1 分 平面 CMD ? 平面 BCD ，平面 CMD 平面 BCD CD? ， OM? 平面 C
13、MD ， OM? 平面 BCD .?2 分 AB ? 平面 BCD , OM AB ?3 分 AB? 平面 ABD ,OM? 平面 ABD , OM 平面 ABD ?4分 () 解法 1：由 () 知 OM 平面 ABD , 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离 . ? ?5 分 过 O 作 OH BD? ，垂足为点 H ， AB ? 平面 BCD ,OH? 平面 BCD , OH AB? ?6 分 . AB ? 平面 ABD ,BD ? 平面 ABD , AB BD B? ， OH? 平面ABD ?7 分 2AB BC?， BCD 是等边三角形， 2BD? ， 1
14、OD? ， 3sin 6 0 2O H O D ? ? ?.?9 分 A BDM M ABDVV? ?10 分 1132 AB BD O H? ? ? ? ? ?11 分 1 1 3 3223 2 2 3? ? ? ? ? ?. 三棱锥 A BDM? 的体积为 33 . ?12 分 20. (本小题满分 12 分 )（ ）解：由题意，得椭圆 C 的半焦距 1?c ，右焦点 )0,1(F ，上顶点 ),0( bM ，所以直线 MF 的斜率 143tan10 0 ? ?bk ，解得 1?b ，由 222 cba ? ，得 22?a ， 所 以 椭 圆 C 的 方 程 为12 22 ?yx . ?
15、(4 分 ) （ ）证明：设直线 l 的方程为 mkxy ? ，其中 21或?k ， ),(), 2211 yxByxA（ ，由方程组?12 22 yxmkxy 得 0224)21(222 ? mk m xxk ? (5 分 ) 所以 08816 22 ? mk )(? ，于是有 2221221 21 22,21 4 kmxxkkmxx ? ? ，所以 ? (6分 ) )12(821 121 224)21 4(1 222222222 ? ? ? mkkkkmkkmkAB ，因为原点 O 到直线 mkxy ? 的距离 21 kmd?， ? (8 分 ) 所以 )12(21 221 2222 ? mkmkdABS A O B? (9 分 ) 当 1?k 时， )3(32 22 mmSA O B ?，所以当 232?m 时 AOBS? 的最大值 221?S，验证知 )(? 成立； 当 2?k 时， 所以当时 AOBS? 的最大值 验证知 )(? 成立；所以 21 SS? ?
