1、 1 宁夏银川市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 (试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟 ) 命题人： 一 选择题（ 本题共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分 ） 1 i 是虚数单位，则复数 1ii? 的虚部是（ ） A 12 B 12i C 12? D 12i? 2设 Rx? ，则“ 1?x ”是“复数 ixxz )1()1( 2 ? 为纯虚数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3.已知自由落体运动的速率 gtv? ，则落体运动从 0?t 到 0tt? 所走的路程为（ ） A 320gt B 20gt
2、 C 220gt D 620gt 4.观察 2( ) 2xx? ， 43( ) 4xx? ， (cos ) sinxx? ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 ()fx满足 ( ) ( )f x f x? ，记 ()gx为 ()fx的导函数，则 ()gx? 等于 ( ) A ()fx B ()fx? C ()gx D ()gx? 5.给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集， R 为实数集， C 为复 数集）： “若 Rba ?, ，则 baba ? 0 ”类比推出“若 Cba ?, ，则 baba ? 0 ”； “若 Rdcba ?, ，则 复数 dbcadicbia ? ,”类比推出
3、“若 Qdca ?, ，则 dbcadcba ? ,22 ”； “若 Rba ?, ，则 baba ? 0 ”类比推出“若 Cba ?, ，则 baba ? 0 ” .其中类比结论正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 6.用数学归纳法证明等式 )(2 )4)(3(3321? Nnnnn ）（?，验证 1?n 时，左边应取的项是 ( ) A 1 B 21? C 321 ? D 4321 ? 7.若 直线 02 ?byax 与曲线 3xy? 在点 )1,1(P 处的切线互相垂直，则 ba 为 （ ） A.3 B.32 C. 32? D. 31? 8. 已知是 i 虚数单位，复数 ()
4、1aiz a Ri? ，若0 1| | (sin )z x dx? ? ，则 a? （ ） 2 A 1? B 1 C 1? D 12? 9 函数 ()y f x? 的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 函数 ()y f x? 在区间 1( 3 )2?， 内单调递增； 函数 ()y f x? 在区间 1( ,3)2? 内单调递减； 函数 ()y f x? 在区间 (4,5) 内单调递增； 当 2x? 时，函数 ()y f x? 有极小值； 当 12x? 时，函数 ()y f x? 有极大值则上述判断中正确的是 ( ) A B C D 10.如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 1x? 及曲线
5、1xye?围成，现向矩形区域 OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概 率是（ ） A. 1eB 11e?C 21ee?D 11e?11若函数 )6(2c o s)( ?xfxxf ? ，则 )3( ?f 与 )3(?f 的大小关系是 ( ) A )3()3( ? ff ? B )3()3( ? ff ? C )3()3( ? ff ? D不确定 12. 设 )(xf 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 其 导 函 数 为 )( xf ， 若 1)()( ? xfxf ，2017)0( ?f ， 则不等式 2016)( ? xx exfe （ e 为自然对数的底数 ） 的解集为 (
6、 ) A. )2016( ?， B. )2016()0,( ? ，? C. )0()0,( ? ，? D. )0( ?， 二 填空题（本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分） 13. 1 20 1=x dx?_ 14 学校艺术节对同一类的 , , ,ABCD 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭 3 晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “ 是 C 或 D 作品获得 一等奖 ” 乙说： “ B 作品 获得一等奖 ” 丙说： “ ,AD两项作品未获得一等 奖 ” 丁说： “ 是 C 作品获得一等奖 ” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是
7、 _ 15.设函数 ()y f x? 的定义域为 R ，若对于给定的正数 k ，定义函数, ( )() ( ), ( )k k f x kfx f x f x k? ? ? ，则当函数 1()fxx? ， 1k? 时，定积分 214 ()kf x dx?的值为_ 16已知函数 223 3)( mnxmxxxf ? 在 1?x 时有极值 0 ，则 ?nm _ 三 解答题（本题共 6 小题，共 70 分） 17.(本小题 10 分 ) 用反证法证明：在 ABC 中，若 BA sinsin ? ，则 B 必为锐角 18.(本小题 12 分 ) 设复数 i iiz ? ? 2 )1(3)1( 2 ，若
8、 ibazz ? 12 ，求实数 ba, 的值 19.（ 本 小 题 12 分） 20( ) ( 2 8 ) ( 0 )xF x t t d t x? ? ? ? （ 1）求 ()Fx的单调区间；（ 2）求函数 ()Fx在 13， 上的最值 20（ 本 小 题 12 分） 已知数列 na 的前 n 项 和为 nS ，且 1 1a? ， 2 ()nnS n a n N? （ 1） 写出 1S ， 2S ， 3S ， 4S ，并猜想 nS 的表达式； （ 2） 用数学归纳法证明你的猜想 ， 并求出 na 的表达式 4 21.（ 本 小 题 12 分） 已知函数 )12ln (2)1()( 2 ?
9、xaxxf （ 1）当 2?a 时，求 函数 )(xf 的极值点； （ 2）记 xaxg ln)( ? ，若对任意 1?x 都有 )()( xgxf ? 成立，求实数 a 的 取值范围 22 (本小题 12 分 ) 已知函数 )(3)( 23 Raxaxxxf ? （ 1） 若函数 )(xf 在区间 ),1 ? 上是增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2） 若 31?x 是函数 )(xf 的极值点， 求函数 )(xf 在 1, a? 上的最大值； （ 3） 在 (2)的条件下，是否存在实数 b ，使得函数 bxxg ?)( 的图象与函数 )(xf 的图象恰有 3 个交点？若存在，请求出 b
10、的取值范围；若不存在，请说明理由5 2016 2017 学年 第二 学期 高二年级 理科数学期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C D C D D A B C C D 13. 4? 14. B 15. 1 2ln2? 16. 11 17. 证明 ： 假设 B 不是锐角， 则 0 2A A C B ? ? ? ? ? ?， sin sin( )AB?， 即 sin sinAB? ，这与已知 sin sinAB? 矛盾，故 B 必为锐角 18.解： 2( 1 ) 3 ( 1 ) 2 3 3 3 ( 3 ) ( 2 ) 5 5 12 2 2 5
11、 5i i i i i i i izii i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为 22 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( ) ( 2 ) 1z a z b i a i b i a a i b a b a i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 1(2 ) 1aba? ? ?，解得 34ab? ?19. 解：依题意 得， 2 3 2 3 200 11( ) ( 2 8 ) 8 833x xF x t t d t t t t x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?，定义域是 (0 )?， （ 1） 2( )
12、2 8F x x x? ? ? ?, 令 ( ) 0Fx? ? ，得 2x? 或 4x? ， 令 ( ) 0Fx? ? ，得 42x? ? ? ， 由于定义域是 (0 )?， ， ?函数的单调增区间是 (2 )?， ，单调递减区间是 (02)， （ 2）令 ( ) 0Fx? ? ，得 2( 4 )xx? ? 舍 ， 由于 20(1) 3F ? ， 28(2) 3F ? ， (3) 6F ? ， ()Fx? 在 13， 上的最大值是 (3) 6F ? ，最小值是 28(2) 3F ? 20解 ： (1)易求得1 21 2S ?，2 43S?，3 64S?，4 85S?，猜想 2 1n nS n?
13、 ?(2) 当 1n? 时，1 21111S ?，猜想成立 6 假设 ()n k k N?时， 2 1k kS k? ?， 则当 1nk?时， 221 1 1( 1 ) ( 1 ) ( )k k k kS k a k S S? ? ? ? ? ? ?， 21 2( 1 ) 2 2 ( 1 )2 1 ( 1 ) 1k k k kS k k k k? ? ? ? ? ? ?， 这表明当 1nk?时，猜想也成立 根据 、 可知，对 nN? ， 2 1n nS n? ?，从而2 2( 1)nn Sa n n n? ?21.解：（ 1） 2( ) ( 1) ln ( 2 1)f x x x? ? ? ?
14、，定义域为 1()2 ?， 2 2 ( 2 3 )( ) 2 ( 1 ) 2 1 2 1xxf x x xx ? ? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ，得 32x? ， x 13( , )22 32 3( , )2? ()fx ? 0 ? ()fx 递减 极小值 递增 ()fx? 的极小值点为 32x? ；无极大值点。 （ 2）由题得，对任意 1x? ，恒有 2( 1 ) l n ( 2 1 ) l n 02ax x a x? ? ? ? ?， 令 2( ) ( 1 ) l n ( 2 1 ) l n2ah x x x a x? ? ? ? ?，则 min( ) 0hx ? ，其中 1x?
15、 ， 22 ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 4 2 )( ) 2 ( 1 )2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 )a a x x x a x x x x ah x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1x? ， 1 0(2 1)xxx? 当 2a? 时，恒有 24 2 0x x a? ? ? ，所以 ( ) 0hx? ，函数单调递增， min( ) (1) 0h x h?，成立； 当 2a? 时，令 24 2 0x x a? ? ? ，则 1 1 4 14 ax ? 当 1 1 4(1, )4 ax ? 时， ( ) 0h
16、x? ，单调递减； 7 当 1 1 4( , )4 ax ? ?时， ( ) 0hx? ，单调递增； 1 1 4()4 ah ? 为函数的最小值，又 1 1 4( ) (1) 04 ahh? ?，所以不成立 综上所述， 2a? 22.解： (1)f (x) 3x2 2ax 3， f(x)在 1， ) 上是增函数， 在 1， ) 上恒有 f( x)0. a31 且 f(1) 2a0. a0. (2)由题意知 f ? ?13 0，即 13 2a3 3 0， a 4. f(x) x3 4x2 3x. 令 f( x) 3x2 8x 3 0 得 x 13或 x 3. f( 4) 12， f( 3) 18， f? ?13 1427， f(1) 2， f(x)在 a,1上的最大值是 f( 3) 18. (3)若函数 g(x) bx 的图象与 函数 f(x)的图象恰有 3 个交点，即方程 x3 4x2 3x bx恰有 3 个不等实根 x 0 是其中一个根， 方程 x2 4x (3 b) 0 有两个非零不等实根 ? 16 b ， b ， b 7 且 b 3. 满足条件的 b 存在，其取值范围是 ( 7， 3)( 3， )
