1、 1 2016-2017 学年度第二学期高二期中考试 数学试题（文科） 本试卷满分 150分 考试时间 120分钟 第卷（选择题 共 60分） 一、 选择题：（本题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1.1 l g( 2 ) , 2 , xA x R y x B y R y x A? ? ? ? ? ? ? ?,则()RC A B ?( ) A. R B.? ? ? ?, 0 2,? ?C.? ?2,?D.? ?,0?2.已知命题200: 1, 1 0p x x? ? ? ?,那么p?是 ( ) A.21, 1 0xx? ? ? ?B. 21, 1
2、 0? ? ? ?C.00?D. 21, 1 0? ? ? ?3.用火柴棒摆 “ 金鱼 ” ，如图所示： 按照上面的规律，第 n 个 “ 金鱼 ” 图形需要火柴棒的根数为 ( ) A62?B82n?Cn?Dn?4.九 颗珍珠中有一颗是假的，且 所有 真珍珠一样重，假珍珠比真珍珠要轻如果用一架天 平至少要称 ( )次，就一定可以找出这颗假珍珠 A 5 B 4 C 2 D 6 5.在极坐标系中 ,圆2sin?的圆心的极坐标是 ( ) A. 1,2?B.1, 2?C.? ?1,0D.? ?1,?6.对任意的实数 x,若 x表示不超过 x的最大整数 ,则 “ |x-y|0， a c0， b c0，则
3、f(a) f(b) f(c)的 值 ( ) A 一定大于零 B一定等于零 C一定小于零 D正负都有可能 9.当 z 1 i2 时， z100 z50 1的值是 ( ) A 1 B 1 C i D i 10.圆 r与圆 2rsin? ? 4 (r 0)的公共弦所在直线的方程为 ( ) A 2 (sin cos ) r B 2 (sin cos ) r C. 2 (sin cos ) r D. 2 (sin cos ) r 11.设集合2 2 3 0A x x x? ? ? ?，集合2 1 0 , 0 B x ax a? ? ? ? ?.若AB中没有整数解，则实数a的取值范围是（ ） A3(0,2
4、B38 , )23C3, )2?D(2, )?12.已知4x?，则2 45() 24xxfx x? ?有 ( ) A最大值为 54 B最小值为 54 C最大值为 1 D.最小值为 1 第 卷 非选择题 （共 90分） 二、填空题（本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分 . 把每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13观察下列等式： 1 1 13 1 1 2 3 13 23 9 1 2 3 6 13 23 33 36 1 2 3 4 10 13 23 33 43 100 1 2 3 4 5 15 13 23 33 43 53 225 ? ? 可以推测： 13 23 33 ? n3 _.(n N
5、*，用含有 n的代数式表示 ) 14.对于任意两个正整数 m， n，定义某种运算 “ ” 如下：当 m， n都为正偶数或正奇 数时， m n m n；当 m， n中一个为正偶数，另一个为正奇数时， m n mn.则在此定义下， 集合 M (a， b)|a b 12， a N*， b N*中的 元素个数是 15若 z C，且 |z 2 2i| 1，则 |z 2 2i|的最小值是 _ 3 16抛物线 y2 2px(p0)的一条过焦点的弦被分成 m， n长的两段，则 1m 1n _. 三、解答题（共 6个题， 共 70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17 （本小题满分 10分） 用数学归纳法
6、证明：? ? 1713 ? nn能被9整除 . 18. （本小题满分 12 分） 已知, , , , ,a b x y R x y?为变量，,ab为常数，且10 , 1abxy? ? ? ?，xy?的最小 值为 18，求,ab值 . 19. （本小题满 分 12 分） 已知 p：23 112 ? x， q：)0(012 22 ? mmxx，若p?是q的必要 不充分条件，求实数m的取值范围。 20. （本小题满分 12 分） 为了调查某高中学生每天的睡眠时间 ,现随机对 20名男生和 20名女生进行问卷调查 ,结果如下 : 女生 : 睡眠时间 (小时 ) ? ?4,5? ?5,6? ?6,7?7
7、,8? ?89人数 2 4 84 2 男生 : 睡眠时间 (小时 ) ? ?,5? ?5,6? ?6,7?7,8? ?8,9人数 1 5653（ 1）现把睡眠时间不足 5 小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足 6 小时的女生中随机抽取 3人，求此 3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率 ; （ 2）完成 下面 2 2列联表 ,并回答是否有 90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？ 睡眠时间少于 7小时 睡眠时间不少于 7小时 合计 男生 女生 合计 4 2( ) 0 . 1 5 0 . 1 0 0 . 0 5 0 . 0 2 5 0 . 0 1 0 0 . 0 0 5 0 . 0 0
8、12 . 0 7 2 2 . 7 0 6 3 . 8 4 1 5 . 0 2 4 6 . 6 3 5 7 . 8 7 9 1 0 . 8 2 8P K kk （22 ()( ) ( ) ( ) ( )n ad bcK a b c d a c b d? ? ? ? ?，其中n a b c d? ? ? ?） 21 （本小题满分 12 分） 已 知某圆的极坐标方程是2 4 2 c os( ) 6 04? ? ? ? ? ?，求： (1)圆的普通方程和参数方程； (2)圆上所有点? ?,xy中， 的 最大值和最小值 22. （本小题满分 12 分） 已 知函数( ) 2 1 2 , ( ) 3f x
9、 x x a g x x? ? ? ? ? ?. (1)当2a?时，求不等式( ) ( )f x g x?的解集； (2)设1?时，且当1,22ax ?时，( ) ( )f x x?，求a的取值范围 . 5 平遥中学 2016-2017学年度第二学期高二期中考试 数学参考答案与评分标准（文科） 一、选择题（每小题 5分共 60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C C B B C A D D A B 二、填空题（每小题 5分共 20分） 13. 22( 1)4nn?14. 15 15. 3 16. 2p三、解答题（共 80分） 17证明：（ 1）当?n时 , 2
10、7174 ?能被 9整除，命题成立 .? 2分 （ 2）假设 n=k时命题成立，即： ? ? 1713 ? kk能被 9整除 那么当1?k时，? ? ? 177)313(17113 1 ? ? kk kk=? ? ? ? ? kkkkkk kkk 72176718171372117137 ?=? ? ? kkk kk 72771871 ? 6 分 上面三式都能够被 9整除 .所以，? ? ? 17113 1 ? ?kk也能被 9整除 . 所以 , 当1?kn时 ,命题也成立 . ? 8 分 由、可知原命题成立 . ? 10分 18解： x y (x y)? ?ax by a b bxy ayx
11、a b 2 ab ( a b)2， 当且仅当 bxy ayx时取等号 ? 6分 又 (x y)min ( a b)2 18， 即 a b 2 ab 18. 又 a b 10， 由 可得? a 2，b 8 或 ? a 8，b 2. ? 12分 19.解： p：23 112 ? x p：102 ? x， ? 2分 q：22)1( mx? q：mxm ? 110( ?m? 4分 6 p?是q的必要不充分条件 pq ?qp ? ?p?即 是 的充分不必要条件， ? 6分 故有?010121mmm? 8分 解得9?m? 12分 20. （本小题满分 12 分）解： 12分 21解： (1)原方程可化为
12、2 4 2 ? ?22 cos 22 sin 6 0， 即 2 4cos 4sin 6 0. 因为 2 x2 y2， x cos ， y si n ，代入上式，得 x2 y2 4x 4y 6 0， 即 (x 2)2 (y 2)2 2，即为所求圆的普通方程 令 cos 2 x 22 ， sin 2 y 22 ， 所以该圆的参数方程为 ? x 2 2cos ，y 2 2sin .( 为参数 ) ? 6分 (2)由 (1)知 xy (2 2cos)(2 2sin) 4 2 2(cos sin) 2cossin 3 2 2(cos sin) (cos sin) 2. 令 t cos sin ，则 t
13、2sin? ? 4 ， t 2， 2， 7 所以 xy 3 2 2t t2 (t 2)2 1. 当 t 2时， xy有最小值 1；当 t 2时， xy 有最大值 9. ? 12分 22 解： (1)当 a 2时，不等式 f(x) g(x)化为 |2x 1| |2x 2| x 3 0. 设函数 y |2x 1| |2x 2| x 3， 则 y? 5x， x 12， x 2， 12x1 ，3x 6， x 1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x(0,2) 时， y 0， 所 以原不等式的解集是 x|0 x 2 ? 6分 (2)当 x ? ? a2， 12 时， f(x) 1 a， 不等式 f(x)g(x) 化为 1 ax 3， 所以 xa 2对 x ? ? a2， 12 都成立，故 a2a 2，即 a 43. 从而 a的取值范围是 ? ? 1， 43 . ? 12分
