1、 - 1 - 山西省阳高县 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 一、 选择题：（本答题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若复数 z 满足 (3 4i)z |4 3i|，则 z 的虚部为 ( ) A 4 B 45 C 4 D 45 2三段论： “ 所有的中国人都坚强不屈； 阳高 人是中国人； 阳高 人一定坚 强不屈 ” 中，其中 “ 大前提 ” 和 “ 小前 提 ” 分别是 ( ) A B C D 3若函数 f(x) xxcose ，则此函数的图象在点 (1， f(1)处的切线的倾斜角为 ( ) A 0
2、B锐角 C. 2 D钝角 4. 用反证法证明命题 “ 2 3是无理数 ” 时，假设正确的是 ( ) A假设 2是有理数 B假设 3是有理数 C假设 2或 3是有理数 D假设 2 3是有理数 5设 f(x) 2x 2x 4ln x， 则 f(x) 0 的解集为 ( ) A (0， ) B ( 1， 0) (2， ) C (2， ) D ( 1， 0) 6 已知 2 23 2 23， 3 38 3 38， 4 415 4 415， ? ，类比这些 等式，若 6 ab 6 ab(a， b 均为正实数 )，则 a b ( ) A 40 B 41 C 43 D 47 7.过原点与曲线 y x 1相切的切
3、线方程为 ( ) A y 12x B y 2x C y x D y 13x 8用数学归纳法证明 1 11 2 11 2 3 ? 11 2 3 ? n 2nn 1时，由 n k 到 n k 1 左边需要添加的项是 ( ) A. 2k k B. 1k k C. 1k k D. 2k k 9.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x) ，且函数 f(x)在 x 2 处取得极 - 2 - 小值，则函数 y xf(x) 的图象可能是 ( ) 10.设函数 f(x) xm ax 的导函数 f( x) 2x 1，则 ? ?dxx? ?21 f的值等于 ( ) A.56 B.12 C.23 D.16
4、 11.若关于 x 的方程 3x 3x m 0 在上有根 ， 则实数 m 的取值范围是 ( ) A ? ?22，? B ( ， 2) C (2， ) D ( ， 2) (2， ) 12.若函数 y x3 2ax a 在 (0,1)内有极小值没有极大值，则实数 a 的取值范围是 ( ) A (0,3) B ( ， 3) C (0， ) D. ? 230，二、 填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正 确答案填在题中横线上 ) 13若复数 z 满足 z i 3 ii ，则 |z| _. 14.在平面几何中， ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 AEEB
5、ACBC，把这个 结论类比到空间：在三棱锥 A BCD 中 (如图所示 )，面 DEC 平分二面角 A CD B 且与 AB 相交于 E，则得到的类比的结论是 _ 15.观察下列各式： 5 3 125,65 15 625,75 78 125， ? ，则 20155 的末四位数字 - 3 - _. 16.设函数 f(x)在 (0， ) 内可导，且 f(ex) x ex，则 f(1) _. 三、 解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤 ) 17.(本小题满分 10 分 )设 f(x)? x2， x0 ，cos x 1， x0， 试求21?f(x) d
6、 x. 18.(本小题满分 12 分 )已知 aR ， 问复数 z ? ? ? ?iaaa 2242a 22 ? 所对应的点 在第几象 限？复数 z 对应点的轨迹是什么？ 19.(本小题满分 12 分 )已知 a5 ， 求证： a 5 a 3 a 2 a. 20.(本小题满分 12 分 )已知数列 an满足nn aaa ? ? 21,a 11 . (1)求 ;,a 432 aa (2)猜想数列 na 的通项公式，并用数学归纳法证明 - 4 - 21.(本小题满分 12 分 )已知函数 f(x) x a ln x(aR) (1)当 a 2 时，求曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线
7、方程； (2)求函数 f(x)的极值 22.(本小题满分 12 分 )已知函数 f(x) x3 x x. (1)判断 f xx 的单调性； (2)令 g(x) ax2 axf x x ln x，若函数 y g(x)在 ? e10， 内有极值，求实数 a 的取值 范围 高二年级数学期中试卷（理科） （ 时间： 120 分 满分： 150 分 范围： 选修 2-2） 一 .选择题答案（共 12 小题，每小题 5 分）： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D D C B A D C A A D 二、 填空题 (共 4 小题，每小题 5 分 ) 13. 17 1
8、4.答案 BCDACDSSEBAE? 15. 8 125 16.2 三、解答题： 17.(本小题满分 10 分 )设 f(x)? x2， x0 ，cos x 1， x0， 试求21?f(x)dx. 解：21?f(x)dx0?f(x)dx20?f(x)dx 0?x2dx20(cos x 1)dx - 5 - 13x301|? (sin x x)20| 13 1 2 43 2 18.(本小题满分 12 分 )已知 aR ， 问复数 z (a2 2a 4) (a2 2a 2)i 所对应的点在第几象 限？复数 z 对应点的轨迹是什么？ 解：由 a2 2a 4 (a 1)2 33. (a2 2a 2)
9、(a 1)2 1 1. 知 z 的实部为正数 ， 虚部为负数 ， 所以复数 z 的对应点在第四象限 设 z x yi(x， y R)， 则?x a2 2a 4，y（ a2 2a 2） ， 因为 a2 2a (a 1)2 1 1， 所 以 x a2 2a 43 ， 消去 a2 2a， 得 y x 2(x3) ， 所以复数 z 对应点的轨迹是一条射线 ， 其方程为 y x 2(x3) 19.(本小题满分 12 分 )已知 a5 ， 求证： a 5 a 3 a 2 a. 证明：要证 a 5 a 3 a 2 a， 只需证 a 5 a a 3 a 2， 只需证 ( a 5 a)2 ( a 3 a 2)2
10、， 只需证 2a 5 2 a2 5a 2a 5 2 a5 5a 6， 只需证 a2 5a a2 5a 6， 只需证 a2 5a a2 5a 6， 只需证 0 6. 因为 0 6 恒成立 ， 所以 a 5 a 3 a 2 a成立 20.(本小题满分 12 分 )已知数列 an满足 a1 a， an 1 12 an. (1)求 a2， a3， a4； (2)猜想数列 an的通项公式，并用数学归纳法证明 解： (1)由 an 1 12 an可得 a2 12 a1 12 a， a3 12 a2 12 12 a 2 a3 2a， - 6 - a4 12 a3 12 2 a3 2a 3 2a4 3a. (
11、2)推测 an n . 下面用数学归纳法证明： 当 n 1 时，左边 a1 a， 右边 1 a，结论成立 假设 n k(n N*)时等式成立， 有 ak k ， 则当 n k 1 时， ak 1 12 ak 12 k k 2k k ka， 故当 n k 1 时，结论也成立 由 可知，对任何 n N*都有 an n 21.(本小题满分 12 分 )已知函数 f(x) x aln x(aR) (1)当 a 2 时，求曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值 解：函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) 1 ax. (1)当 a 2 时， f
12、(x) x 2ln x， f( x) 1 2x(x 0)， 因而 f(1) 1， f(1) 1， 所以曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程为 y 1 (x 1)，即 x y 2 0. (2)由 f( x) 1 ax x ax ， x 0 知： 当 a0 时， f( x) 0，函数 f(x)为 (0， ) 上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a 0 时，由 f( x) 0，解得 x a. 又当 x(0 ， a)时， f( x) 0； 当 x( a， ) 时， f( x) 0， - 7 - 从而函数 f(x)在 x a 处取得极小值，且极小值为 f(a) a aln a，无极
13、大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a 0 时，函数 f(x)在 x a 处取得极小值 a aln a，无极大值 22.(本小题满分 14 分 )已知函数 f(x) x3 x x. (1)判断 f xx 的单调性； (2)令 g(x) ax2 axf x x ln x，若函数 y g(x)在 ?0， 1e 内有极值，求实数 a 的取值范围 解： (1)设 (x) f xx x2 1 1x(x0)， ( x) 2x 12 x30， 所以 y (x)在 (0， ) 上单调递增 (2)因为 g(x) ax2 axf x x ln xax2 axx3 x ln xax 1 ln x， 所以 g( x) ax 2 1x x2 a x 1x 2x ， 设 h(x) x2 (2 a)x 1，则 h(x) 0 有两个不同的根 x1， x2，且一根在 ? ?0， 1e 内， 不妨设 0e， 由于 h(0) 1，则只需 h? ?1e e 1e 2，即 a 的取值范围为 ? ?e 1e 2， .
