1、 - 1 - 2017_2018 高二下学期期中检测试题 数学 (理科 ) (120 分钟 120 分 ) 第 I 卷 选择题 ,(共 48 分 ) 一 .选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 4 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目的要求 ) 1 已知曲线 y x24 3lnx 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 ( ) A 3 B 2 C 1 D.12 2 若复数 z 满足 2z z 3 2i，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 ( ) A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i 3 一物体在变力 F(x) 5 x2(力单位： N，位移单位： m)作
2、用下，沿与 F(x)成 30 方向作直线运动，则由 x 1 运动到 x 2 时， F(x)做的功为 ( ) A. 3J B.2 33 J C.4 33 J D 2 3J 4 设曲线 y 1 cosxsinx 在点 ( 2 ， 1)处的切线与直线 x ay 1 0 平行，则实数 a 等于 ( ) A 1 B.12 C 2 D 2 5 若复数 z 满足 (3 4i)z |4 3i|，则 z 的虚部为 ( ) A 4 B 45 C 4 D.45 6直线 y 4x 与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A 2 2 B 4 2 C 2 D 4 7 函数 y 12x2 lnx 的递减
3、区间为 ( ) A ( 1,1) B (0,1) C (1， ) D (0， ) - 2 - 8已知 f(x) 1 x sinx，则 f(2)， f(3)， f() 的大小关系正确的是 ( ) A f(2)f(3)f() B f(3)f(2)f() C f(2)f() f(3) D f() f(3)f(2) 9 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)， 且函数 y (1 x)f( x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和
4、极小值 f( 2) D函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(2) 10 已知函数 f(x) xlnx，若直线 l 过点 (0， 1)，并且与曲线 y f(x)相切，则直线 l 的方程 ( ) A x y 1 0 B x y 1 0 C x y 1 0 D x y 1 0 11设动直线 x m 与函数 f(x) x2， g(x) lnx 的图像分别交于 M， N，则 |MN|的最小值为 ( ) A.12 12ln2 B.12 12ln2 C 1 ln2 D ln2 1 12如图所示的数阵中，用 A(m， n)表示第 m 行的第 n 个数，则依此规律 A(8,2)为 ( ) 13 16
5、16 110 112 110 115 122 122 115 121 137 144 137 121 - 3 - ? A.145 B.186 C. 1122 D. 1167 第 II 卷 非选择题 (共 72 分 ) 二填空题 (共 4 个小题 ,每小题 4 分 ,共分 16 分 .答案填在题中横线上 ) 13曲线 y log2x 在点 (1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 _ 14 某品牌电动汽车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y 13x3 392x2 40x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为 _ 15已知函数 f(x) 13x3 x2 x m 在 0,1上的最小值为
6、13，则实数 m 的值为 _ 16有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ，乙看了丙的卡片后说： “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ，丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5” ，则甲的卡片上的数字是_ 三解答题 (6 个大题 ,共 56 分 .解答应有必要的过程 ) 17 设函数 f(x) ln x x 1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明：当 x(1 ， ) 时， 10)，若函数 f(x)在 x 1 处与直线 y 12相切 (1)求实数 a， b 的值； (2)求
7、函数 f(x)在 1e， e上的最大值 (9 分 ) 19 已知 a R，函数 f(x) ax lnx 1. 求 当 00)的图像与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c) 0，且00. (1)证明： 1a是函数 f(x)的一个零点； (2)试用反证法证明 1ac. (9 分 ) - 4 - 21 已知函数 f(x) lnx ax(a R)求函数 f(x)的单调区间； (10 分 ) 22 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知 a1， a2 R， a1 a2 1，求证： a21 a22 12. 证明：构造函数 f(x) (x a1)2 (x a2)2， 即 f(x) 2x2 2(a1
8、 a2)x a21 a22 2x2 2x a21 a22. 因为对一切 x R，恒有 f(x)0 ， 所以 4 8(a21 a22)0 ，从而得 a21 a22 12. (1)若 a1， a2， ? ， an R， a1 a2 ? an 1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明 (10 分 ) 理科数学参考答案 一 (每题 4 分 ) ABCAD DBDDB AC 二 (每题 4 分 ) 12ln2 40 2 1 和 3 三 17 (9 分 )解 由题设 ， f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) 1x 1，令 f( x) 0，解得 x 1. 当 00，
9、 f(x)是增加的；当 x1 时， f( x)0，得 1e x0，函数 f(x)在区间 (a， e上是增加的， (7 分 ) 所以当 x a 时，函数 f(x)取得最小值 lna； (9 分 ) 20(9 分 )证明 (1) f(x)的图 像与 x 轴有两个不同的交点， f(x) 0 有两个不等实根 x1， x2， f(c) 0， x1 c 是 f(x) 0 的根， 又 x1x2 ca， x2 1a(1a c)， 1a是 f(x) 0 的一个根 即 1a是函数 f(x)的一个零点 (4 分 ) (2)假设 1a0，由 00， - 6 - 知 f(1a)0，与 f(1a) 0 矛盾， 1a c，
10、 又 1a c， 1ac. (9 分 ) 21(10 分 )解 (1)f( x) 1x a (x0)， 当 a0 时， f( x) 1x a0，即函数 f(x)的递增区间为 (0， ) 2 分 当 a0 时，令 f( x) 1x a 0，可得 x 1a， 当 00； 当 x1a时， f( x) 1 axx 0 时，函数 f(x)的递增区间为 ? ?0， 1a ，递减区间为 ? ?1a， .10 分 22(10 分 ) (1)解 若 a1， a2， ? ， an R， a1 a2 ? an 1， 则 a21 a22 ? a2n 1n. (4 分 ) (2)证明 构造函数 f(x) (x a1)2 (x a2)2 ? (x an)2. 即 f(x) nx2 2(a1 a2 ? an)x a21 a22 ? a2n nx2 2x a21 a22 ? a2n， 因为对一切 x R，恒有 f(x)0 ， (8 分 ) 所以 4 4n(a21 a22 ? a2n)0 ， 从而得 a21 a22 ? a2n 1n. (10 分 )
