1、 1 2016 2017学年度第 二 学期期中考试试题（卷） 高二数学（理）（ B） 说明：卷面考查分（ 3 分）由教学处单独组织考评，计入总分。 考试时间 100分钟 满分 100分 一、选择题（每题 4分，共 48 分） 1在复平面内，复数 2+3i对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2用反证法证明命题： “ 已知 a， b为实数，则方程 x2+ax+b=0至少有一个实根 ” 时，要做的假设是（ ） A方程 x2+ax+b=0没有实根 B方程 x2+ax+b=0至多有一个实根 C方程 x2+ax+b=0至多有两个实根 D方程 x2+ax+b=0恰好有两个实根
2、 3已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4定积分 sinxdx等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 0 5函数 y=x2e2x的导数是（ ） A y=（ 2x2+x2） ex B y=2xe2x+x2ex C y=2xe2x+x2e2x D y=（ 2x+2x2） e2x 6函数 f（ x） =x lnx的单调递减区间为（ ） A（ ， 1） B（ 1， + ） C（ 0， 1） D（ 0， + ） 7已知 f（ x） = ，则 =（ ） A B C D 8用数学归纳法证明 1+2+3+? +n2= ，则当 n=k+1时左端应在 n=k的基
3、础上加上（ ） A k2+1 B（ k+1） 2 C D（ k2+1） +（ k2+2） +（ k2+3） +? +（ k+1） 2 9 已知 2( ) 2 (1) 6f x x x f ? ? ?， 则 (1)f? 等于 （ ） 2 A 4 B -2 C 0 D 2 10. 2 9 2 1 10 1 21 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( +2 + + 2 )x x a a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ?设 （ ），则 0 1 2 3 1 1a a a a a? ? ? ? ? ? 的 值 为 （ ） A 1 B.-2 C -1 D -2 11某班一天上午安排语、数、
4、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（ ） A 24 B 22 C 20 D 12 12已知函数 y=xf （ x）的图象如图所示，下面四个图象中 y=f（ x）的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题：（本大题共 5小题，每小题 5分，满分 25分） 13观察下列不等式： ， ， ? 照此规律，第五个不等式为 321 214. 53 3st tt? ? ? ? ?物 体 的 运 动 方 程 是 则 物 体 在 时 的 瞬 时 速 度 15计算定积分 （ 2x+ ） dx=3+ln2，则 a= 16若函数 y=x3+x2+mx+1在（ ， + ）上是单调函数，
5、则实数 m的取值范围 17 半径为 r的圆的面积 2()s r r? ，周长 ( ) 2C r r? ，若将 r看作 (0， ) 上的变量，则 2( ) 2rr? ， 式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于 半 径 为 R 的 球 ， 若 将 R 看作 (0, )+? 上 的 变 量 ， 请 写 出 类 比 的 等 式 ：_上式用语言可以叙述为 _ 学 _ 三、解答题：本大题共 4小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18 （本小题 7分） 求曲线 y=x2 2x+3与直线 y=x+3围成的图形的面积 3 19 （本小题 7分） 已知数列 an的前 n项和 Sn
6、满足 Sn=2an 2 （ 1）求 a1， a2， a3并由此猜想 an的通项公式； （ 2）用数学归纳法证明 an的通项公式 20（本小题 8分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y （升）关于行驶速度 x （千米 /小时）的函数解析式可以表示为：313 8 (0 1 2 0 )1 2 8 0 0 0 8 0y x x x? ? ? ? ? 已知甲、乙两地相距 100 千米 （） 当汽车以 40千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （ II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 21 （本小题 10分） 设函数 f（ x）
7、 = x3+ax2+bx+c的导数 f（ x）满足 f（ 1） =0， f（ 2）=9 （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2） f（ x）在区间 2， 2上的最大值为 20，求 c的值 （ 3）若函数 f（ x）的图象与 x轴有三个交点，求 c的范围 4 高二期中数学试卷（理科 B） 参考答案 一、选择题（每题 5分，共 48 分） 1.B 2.A 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D 9 .B 10.D 11.D 12.C 二、填空题：（本大题共 5小题，每小题 4分，满分 20分） 13 1+ + + + + 14 3 15.2 16. ， + ） 17. ； 球的体积函数
8、的导数等于球的表面积函数 三、解答题：本大题共 4小题，共 32分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18 （本小题 7分） 解：由 ，解得 或 曲线 y=x2 2x+3及直线 y=x+3的交点为（ 0， 3）和（ 3， 6） 因此，曲线 y=x2 2x+3及直线 y=x+3所围成的封闭图形的面积是 S= （ x+3 x2+2x 3） dx=（ x2 x3） = 19 (本小题 7分） 解：（ 1） Sn=2an 2， 当 n=1时， a1=2a1 2，解得 a1=2 当 n=2时， a1+a2=2a2 2，解得 a2=4 当 n=3时， a1+a2+a3=2a3 2，解得 a3=
9、8 猜想： an=2n （ 2）当 n=1时，显然猜想成立 假设 n=k时，猜想成立，即 ak=2k 则当 n=k+1时， Sk+1=2ak+1 2 Sk+ak+1=2ak+1 2， 2ak 2+ak+1=2ak+1 2， ak+1=2ak=2?2k=2k+1 当 n=k+1时，猜想成立 an=2n 5 20 (本小题 8分）解：（ I）当 时，汽车从甲地 到乙地行驶了 小时， 要耗没 （升）。 答：当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5升 （ II）当速度为 千米 /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，依题意得 令 得 当 时， 是减函数；
10、当 时， 是增函数。 当 时， 取到极小值 因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以 80 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25升。 21解：（ 1）函 数的导数 f （ x） = 3x2+2ax+b， f（ x）满足 f（ 1） =0， f（ 2） =9， 得 a=3， b=9， 则 f（ x） = x3+3x2+9x+c， f （ x） = 3x2+6x+9= 3（ x2 2x 3）， 由 f （ x） 0得 3（ x2 2x 3） 0得 x2 2x 3 0，得 1 x 3， 此时函数单调递增，即递增区间为（ 1， 3）， 由 f （ x）
11、0得 3（ x2 2x 3） 0得 x2 2x 3 0，得 x 1或 x 3， 此时函数单调递减，即递减 区间为（ ， 1），（ 3， + ）； （ 2）由（ 1）知，当 x= 1时，函数取得极小值 f（ 1） =1+3 9+c=c 5， f（ 2） =8+12 18+c=2+c， f（ 2） = 8+12+18+c=22+c， 则 f（ x）在区间 2， 2上的最大值为 f（ 2） =22+c=20， 则 c= 2 6 （ 3）由（ 1）知当 x= 1时，函数取得极小值 f（ 1） =1+3 9+c=c 5， 当 x=3时，函数取得极大值 f（ 3） = 27+27+27+c=27+c， 若函数 f（ x）的图象与 x轴有三个交点， 则 得 ，得 27 c 5， 即 c的范围是（ 27， 5）
