1、 1 四川省成都市 2016-2017 学年高二数学下学期半期考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1欧拉公式 xixeix sincos ? （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示ie32? 的复数在复平面中位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 O 为空间任意一点，若 OCOBOAOP 818143 ? ，则 PCBA , 四点 ( ) A
2、一定不共面 B一定共面 C不一定共面 D无法判断 3.用反证法证明命题“设 ba, 为实数，则方程 03 ? baxx 至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A方程 03 ? baxx 没有实根 B方程 03 ? baxx 至多有一个实根 C 方程 03 ? baxx 至多有两个实根 D方程 03 ? baxx 恰好有两个实根 4.定积分 ? ?10 )2( dxex x的值为（ ） A 2?e B 1?e C.e D 1?e 5若函数 xaxxxf 1)( 3 ? 在 ),2( ? 是增函教，则 a 的取值范围是 ( ) A ),21( ? B ),21 ? C. ),413( ? D
3、),413 ? 6已知函数 xxxf ln)( ? ，则 )(xf 的图象大致为（ ） A B 2 C. D 7设不重合的两条直线 m 、 n 和三个平面 ? 、 ? 、 ? 给出下面四个命题： （ 1） ? nnmnm , ? （ 2） ? mmm ? , （ 3） ? mmm ? , （ 4） ? ? , 其中正确的命题个数是（ ） A 1 B 2 C. 3 D 4 8.设 )0,(, ?cba ，则 accbba 1,1,1 ? （ ） A都不大于 2? B都不小于 2? C至少有一个不大于 2? D至少有一个不小于 2? 9已知函数 22 )2()( exxxf ? ，则 ( ) A
4、)2(f 是 )(xf 的极大值也是最大值 B )2(f 是 )(xf 的极大值但不是最大值 C )2(f 是 )(xf 的极小值也是最小值 D )(xf 没有最大值也没有最小值 10.如图，二面角 ? ?l 的大小是 ?45 ，线段 lBAB ? ,? ， AB 与 l 所成的角为 ?30 ， 则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是 ( ) A 21 B 46 C. 23 D 42 11已知 函数 xxxf 3)( 3 ? ，若过点 ),2( tM 可作曲线 )(xfy? 的三条切线，则实数 t 的 取值范围是 ( ) 3 A )2,6( ? B )2,4( ? C. )2,6(? D )
5、2,0( 12.函数 )(xf 的导函数为 )(xf? ，对 Rx? ，都有 )()(2 xfxf ? 成立，若 2)4(ln ?f ，则不等式 2)( xexf ? 的解是 ( ) A ),4(ln ? B )4ln,0( C. )4ln,(? D )4ln,1( 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设 Ra? ， 若复数 )(1( iai ? 在复平面内对应 的点位于实轴上，则 ?a 14.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ，点 FE, 分别是 ADBC, 的中点，则 AFAE? 的值为 15.分形几何学是美
6、籍法国数学家伯努瓦 B曼德尔布罗特 (Benoit B Mandelbrot)在 20 世纪 70 年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路如图是按照分形的规律生长成的一个树形图， 则第 10 行的空心圆的个数是 16. 若 定 义 在 ),0( ? 上 的 函 数 )(xf 对 任 意 两 个 不 等 的 实 数 21,xx 都有)()()()( 12212211 xfxxfxxfxxfx ? ，则称函数 )(xf 为“ z 函数” .给出下列四个定义在 ),0( ? 的 函 数 ： 12? xy ； sinxxy ? ； )12( ? xey x ；2 12)
7、ln(2 xxxxy ?，其中“ z 函数”对应的序号为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知复数 z 满足 iziz ? 11 试判断复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程 18. 如 图 所 示 ， 在 三 棱 柱 CBAABC ? 中， ?A 底面 ABC , AABCAB ? , ?90?ABC ,O 是侧面 ABAB ? 的中心，点 D 、 E 、 F 分别是棱 CA? 、4 AB 、 B? 的中点 . (1)证明 OD 平面 CAB? ； (2)求直线 EF 和平面 CAB? 所成的角 19
8、.观察下列等式 11? 第一个式子 9432 ? 第二个式子 2576543 ? 第三个式子 4910987654 ? 第四个式子 照此规律下去 (1)写出第 5 个等式； (2)试写出第 n 个等式，并用数学归纳法验证是否成立 . 20.如图，在四棱锥 ABCDP? 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD BC ， ?90?ADC ，平面 ?PAD 底面 ABCD ， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上的点， 2?PDPA ，121 ? ADBC ， 3?CD . (1)求证：平面 ?MQB 平面 PAD ； 5 (2)若二面角 CBQM ? 大小的为 ?60 ，求 QM 的长 21
9、.设函数 xaxxf ln21)( 2 ? , ),0()1()( 2 Raxxaxxg ? . (1)求函数 )(xf 的单调区间； (2)当 0?a 时，讨论函数 )(xf 与 )(xg 的图象的交点个数 . 22.已知 ）Rmmxxxf ? (1)( 2 , xexg ?)( . (1)当 2,0?x 时， )()()( xgxfxF ? 为增函数，求实数 m 的取值范围； (2)设函数4541)(,)( )()( ? xxHxg xfxG，若不等式 )()( xHxG ? 对 ,0?x 恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)若 0,1?m ，设函数4541)(,)( )()( ? x
10、xHxg xfxG，求证：对任意 1,1, 21 mxx ? ，)()( 21 xHxG ? 恒成立 . 6 高 2018 届数学试卷（理科） 答案 一、选择题 1-4:BBACD 6-10: ABCAD 11、 12： CA 二、填空题 13. 1? 14. 241a 15. 21 16. 三、解答题 17.解：由 iziz ? 11 可知复数 z 是复平面内到两定点距离相等的点， 其轨迹是这两点连线的垂直平分线 . 这两点坐标分别是 )1,1(? 和 )1,1(? ，在直线 xy ? 上且关于原点对称， 所以它的垂直平分线方程是 xy? ，即复数 z 的轨迹方程是 xy? . 法二：设 )
11、,( Ryxyixz ? ，得 2222 )1()1()1()1( ? yxyx 化简整理得 xy? ，这是一条直线 . 18.(1)证明：依题意可知侧面 ABAB ? 为正方形，连结 BA? 则 O 为 BA? 中点， 在 CBA ? 中， O 、 D 分别是边 BA? 、 CA? 的中点，所以 CBOD ? CBAODCBODCBAODCBACB?面面面 . (2)连结 CB? 易得 CBCB ? 先证明 ?CB 面 CAB? CBACBCBCB CBABBCBCCB BCBCABBBAABAAAABCAABCABABC? ? ?面面面底面由 ?90过 F 作 CBFH ? 交 CB? 于
12、 H ，连结 EH ，则 FEH? 即为直线 EF 和平面 CAB? 所成的角 . 7 在 FEHRt? 中， EFFH 21? ，所以直线 EF 和平面 CAB? 所成的角为 ?30 . 19.【解析】 (1)第 5 个等式 2913765 ? ； (2)猜测第 n 个等式为 2)12()23()2()1( ? nnnnn ，再用数学归纳法加以证明 . 试题解析： (1)第 5 个等式 8113765 ? . (2)猜测第 n 个等式为 2)12()23()2()1( ? nnnnn . 证明： (1)当 1?n 时显然成立； (2)假设 ),1( ? Nkkkn 时也成立， 即有 2)12
13、()23()2()1( ? kkkkk ， 那么当 1?kn 时左边 )13()3()13()23()2()1( ? kkkkkk 133)12()23()2()1( ? kkkkkkk 133)12()12( 2 ? kkkk 222 1)1(2)12(8144 ? kkkkk . 而右边 21)1(2 ? k , 这就是说 1?kn 时等式也成立 根据 (1)(2)知，等式对任何 ?Nn 都成立 20.解： (1) AD BC ， ADBC 21? ， Q 为 AD 的中点， 四边形 BCDQ 为平行四边形， CD BQ ?90?ADC ，即 ADQB? . 又平面 ?PAD 底面 ABC
14、D 且平面 ?PAD 平面 ADABCD? ， 8 ?BQ 平面 PAD . ?BQ 平面 MQB ，平面 ?MQB 平面 PAD . (2) PDPA? ， Q 为 AD 的中 点， ADPQ? . 平面 ?PAD 底面 ABCD ，且平面 ?PAD 平面 ADABCD? ， ?PQ 平面 ABCD . 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系， 则 )0,3,1(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,1(),0,0,0( ?CBPAQ , 由 )3,3,1( ? ? PCPM ，且 10 ? ，得 )33,3,( ? ?M ， 所以 )33,3,( ? ?QM ，又 )0,3,0(?Q
15、B ， 平面 MBQ 法向量为 )1,0,3( ?m ， 由题意知平面 BQC 的法向量为 )1,0,0(?n 二面角 CBQM ? 大小的为 ?60 ，21,2160co s ? ?mn mn?， 27?QM . 21.解： (1)函数 )(xf 的定义域为 ),0( ? ， x axxf ? 2)( 当 0?a 时， 0)( ?xf ，所以 )(xf 的增区间是 ),0( ? ，无减区间； 当 0?a 时， x axaxxf )()( ? . 当 ax?0 时， 0)( ?xf ，函数 )(xf 单调递减； 当 ax? 时， 0)( ?xf ，函数 )(xf 单调递增 综上，当 0?a 时
16、，函数 )(xf 的增区间是 ),0( ? ，无减区间； 当 0?a 时， )(xf 的增区间是 ),( ?a ，减区间是 ),0( a . (2)令 0,ln)1(21)()()( 2 ? xxaxaxxgxfxF ，问题等价于求函数 )(xF 的零点个数 9 当 0?a 时， 0,21)( 2 ? xxxxF , )(xF 有唯一零点； 当 0?a 时， x axxxF )(1()( ? . 当 1?a 时， 0)( ? xF ，当且仅当 1?x 时取等号，所以 )(xF 为减函数 注意到 04ln)4(,023)1( ? FF ,所以 )(xF 在 )4,1( 内有唯一零点； 当 1?a
17、 时，当 10 ?x ，或 ax? 时， 0)( ? xF ； ax?1 时， 0)( ? xF 所以 )(xF 在 )1,0( 和 ),( ?a 上单调递减，在 ),1(a 上单调递增注意到 0)22l n ()22(,0)ln22(2)(,021)1( ? aaaFaaaaFaF , 所以 )(xF 在 )22,1( ?a 内有唯一零点； 当 10 ?a 时， ax?0 ，或 1?x 时， 0)( ? xF ； 1?xa 时， 0)( ? xF 所以 )(xF 在 ),0( a 和 ),1(? 上单调递减，在 )1,(a 上单调递增注意到 0)22l n ()22(,0)ln22(2)(,021)1( ? aaaFaaaaFaF ， 所以 )(xF 在 )2
