1、 1 云南省曲靖市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 本试卷分第 卷和第 卷两部分第 卷 60分，第 卷 90分，共 150分 ,答题时间 120分钟 第 卷（选择题，共 60分） 一、选择题 ： （本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 3名同学分别从 5个风景点中选择一处游览，不同的选法种数是（ ） A 243 B 125 C 60 D 10 2 如果复数 iz ? 12 ，则 （ ） A z 的虚部为 1? B z 的实部为 1 C 2?z D z 的共轭复数为 i?1 3 ? ?131 x? 的展开式中，系数
2、最小的 项为（ ） A第 6项 B第 7项 C第 8项 D第 9项 4 某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为 0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为 0.5，则问题由乙答对的概率为（ ） A 0.2 B 0.8 C 0.4 D 0.3 5 一个 三 位自然数 百位，十位，个位上的数字依次为 ,abc，当且仅当 ,a bb c?时称为 “ 凹数 ”（如 213）， 若 , , 1,2,3,4abc? ，且 ,abc互不相同， 则 这个三 位 数 为 “ 凹数 ” 的有 （ ）个 A 8 B 7 C 6 D 9 6 若 ? ? ? ? 6 270 1 2 712x x a a x a x a
3、x? ? ? ? ? ? ?，则 0 1 2 6a a a a? ? ? ? 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 6 7 已知函数 ? ? ,0xf x e x?，则曲线 ? ?y f x? 与曲线 2 24eyx?的公共点的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 8已知随机变量 X服从正态分布 N(2， 2)，且 P(X12， 112131, 11213 ? 1732， 11213 ? 1152, 11213 ? 13152， ? 由此猜测第 n个不等式为 _ (n N*) 15如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点 P ，用 A 表示事件“点 P 恰好取自由曲线
4、yx? 与直线 1x? 及 x 轴所围成的曲边梯形内”， B 表示事件“点 P 恰好取自阴影部分内”，则 ? ?|PB A =_ 16直线 ym? 分别与曲线 2( 1)yx?，与 lny x x? 交于点 ,AB，则 |AB 的最小值为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10分） 3 在对人们休闲方式的 一次调查中，共调查了 124人，其中女性 70人，男性 54 人，女性中有 43人主要的休闲方式是看电视，另外 27 人主要的休闲方式是运动；男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视，另外 33 人主要的休闲方式是运动 （）
5、根据以上数据建立一个 2 2列联表； （ ） 能否在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为性别与休闲方式有关系？ 附： 18 （本小题满分 12 分） 现有 10 道题，其中 6 道甲类题， 4道乙类题，小明同学从中任取 3道题解答 （）求小明同学至少取到 1道乙类题的概率； （ ） 已知所取的 3道题中有 2道 甲类题， 1道乙类题若小明同学答对每道甲类题的概率都是 35 ，答对每道乙类题的概率都是 45 ，且各题答对与否相互独立求小明同学至少答对 2道题的概率 19 （本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 的前 n 项和 nS ，1 23a?，且 ? ?1+ + 2= 2nnnS a
6、 nS ?(n2) 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?4 （） 计算 1S ， 2S ，3S， 4S 的值，猜想 nS 的 表达 式 ； （） 用数学归纳法证明所得的结论 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 () xf x e kx?,xR? ,k 为常数， e 是自然对数的底数 （） 当 ke? 时，证明 ( ) 0fx? 恒成立； （ ） 若对 于任意 0, ( ) 0x f x?能成立，试确定实数 k 的取值范围 21 （本小题满分 12 分 ） 集成电路 E由 3个不同的电子元件组成，现由于元件老化， 3
7、个电子元件能正常工作的概率分别降为 12 ， 12 ， 23 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立。若 3个电子元件中至少有 2个正 常工作，则 E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E所需要费用为 100 元。 ( )求集成电路 E需要维修的概率； ( )若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需费用。求 X 的分布列和均值 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? ? ?12 lnf x x a x a Rx? ? ? ? 5 ( )当 3a? 时，求 ?fx的单调区间； ( )设 ? ? ? ? 2 lng x f x x a x
8、? ? ?，且 ?gx有两个极值点 12,xx，其中 12xx? ，若? ? ? ?12g x g x t?恒成立，求 t 的取值范围。 数学参考答案 一、选择题： 1-12 BACDA BBDCC DB 二、填空题： 13 12 14 11213 ? 12n 1n2(n N*) 15 14 16 32 三、简答题 17（本题满分 10分） （ ） ?分 （ ） 计算 2K 的观测值 21 2 4 ( 4 3 3 3 2 7 2 1 ) 6 .2 0 17 0 5 4 6 4 6 0k ? ? ? ? ? ?因为 k 3.841,所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为休闲方式与性别有
9、关 ? 10分 18.（本题满分 12分） 解 ： ( )记“ 小明同学至少取到 1道乙类题”为事件 A 则 ? ? ? ? 36310 511 6CP A P A C? ? ? ? ? ? 6分 ( ) 设小明同学答对题的个数为 X ,则 ? ? 23 1 3 4 2 5 7225 5 5 5 5 1 2 5PX ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 23 4 3 63 5 5 1 2 5PX ? ? ? ?， 故 ? ? ? ? ? ? 932 2 3 125P X P X P X? ? ? ? ? ? ? 12分 19 （本题满分 12分） 解： 解： ( )S1 a123， S21
10、S2 2 S2 S1?S234， S31S3 2 S3 S2?S3 45， S41S4 2 S4 S3?S456 休闲方式 性别 看电视 运动 合计 女 43 27 70 男 21 33 54 合计 64 60 124 由此 猜想： Snn 1n 2(n N ) ? 5分 ( )证： 当 n 1时 ， 左边 S1 a123，右边1 11 223 左边右边， 原等式成立 ? 7分 当 n k时 ，假设 Skk 1k 2成立，由 Sk 11Sk 1 2 Sk 1 Sk得 1Sk 1 Sk 2k 1k 2 2k 1 2k 4k 2 k 3k 2 k 3k 2， Sk 1k 2k 3k 1k 2， 当
11、 n k 1时，原等式也成立 综合 (1)(2)得对一切 n N ， Snn 1n 2成立 ? 12分 20 （本题满分 12分） （ ） 证明：当 ke? 时 ， () xf x e ex?， () xf x e e? ? ? 由 ( ) 0fx? ? 得 1x? ，故 ()fx 的单调递增区间为 (1, )? ； ( ) 0fx? ? 得 1x? ，故 ()fx的单调递减区间为 ( ,1)? ； 所以函数有最小值为 (1) 0f e e?，所以 ( ) 0fx? 恒成立 ? 6分 （ ） 解 : 当 0x? 时 ， 不 等 式 化 为 xekx?2( 1 )( ) , ( )xxe e x
12、g x g x ?令 则 ；( ) ( 0 ,1 ) +gx?在 上 单 调 递 减 ， 在 （ 1 ， ） 上 单 调 递 增 ； 因为 min( ) (1)g x g e?， 所以 ;ke? 所以 ， k 的取值范围是： ? ?+?e， ? 12分 21（本题满分 12分） 解： ( )设 “三个电子元件能正常工作”分别记为事件 A， B， C，则 P(A)=12 ， P(B)=12 ， P(C)=23 依题意，集成电路 E需要维修有两种情形： 3个元件都不能正常工作，概率为 p1=P(ABC )=P(A )P(B )P(C )= 1 1 2 12 2 3 12? ? ? 3个元件 2个不
13、能正常工作，概率为 p2=P(ABC )+P(ABC )+P(ABC )=1 1 12 2 3? +1 1 12 2 3? +1 1 2223? =13 所以，集成电路 E需要维修的概率为 p1+p2=112 +13 =512 ? 6分 ( )P(X=0)=(1 512 )2=49144 ， P(X=100)= 12C 512 (1 512 )=70144 ， P(X=200)=(512 )2=25144 X的分布列为： X 0 100 200 P 49144 70144 25144 所以 E(X)=0 49144 +100 70144 +200 25144 =2503 ? 12 分 22（本
14、题满分 12分） 解： ( )易求 ?xf 的定义域 ? ?0+?， ，当 3a? 时， 1( ) 2 3 lnf x x xx? ? ?， 213( ) 2fx xx? ? ? 2 22 3 1xxx? ， 令 ( ) 0fx? ? 得， 10 2x? 或 1x? ， 故 ?xf 的单调递增区间是 102?，和 ? ?1+?， ，单调递减区间是 12?， 1； ? 6分 ( )由已知得 1( ) lng x x a xx? ? ? ， (0, )x? ? ， 22211( ) 1 a x a xgx x x x? ? ? ? ?，令 ( ) 0gx? ，得 2 10x ax? ? ? ， (
15、)gx两个极值点 12,xx，2121240010ax x axx? ? ? ? ? ? ? ?， 211221()ax xa x x? ? ? ?，又 12xx? ， 1 (0,1)x? ， 12( ) ( )g x g x?1 11( ) ( )g x g x? 1 1 11 1 11 1 1ln ( ln )x a x x ax x x? ? ? ? ? ?11112( ) 2 lnx a xx? ? ? 1 1 1112 ( ) 2 ( ) lnx x xxx? ? ? ?设 11( ) 2 ( ) 2 ( ) lnh x x x xxx? ? ? ?， (0,1)x? , 221 1 1 1( ) 2 (1 ) 2 (1 ) ln ( ) h x x xx x x x? ? ? ? ? ?22(1 )(1 ) lnx x xx?， 当 (0,1)x? 时，恒有 ( ) 0hx? ， ()hx 在 (0,1)x? 上单调递减， ( ) (1) 0h x h?， 0t? 故 t 的取值范围是： ? ?-0?， ? 12 分
