1、第05讲 事件的相互独立目标导航课程标准课标解读1. 理解相互独立事件的概念及意义；2. 能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题；3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.通过本节课的学习，要求会求独立事件同时 生的概率，能综合处理与古典概型相关的实际问题.知识精讲知识点 1.相互独立的概念：对于任意两个事件如果P(AB)=P(A)P(B)成立, 则称事件A与事件B相互独立.简称独立 .2. 相互独立事件的性质必然事件W 及不可能事件与任何事件A相互独立如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立【微点拨】如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概
2、率加法公式P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但当三个事件A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.【即学即练1】一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（ ）A第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【答案】C【解析】一个口袋中装有3个白球和3个黑球，对于A：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，对于B：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次
3、摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，对于C：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，对于D：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C【即学即练2】如图所示，表示个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为，则该系统的可靠性(个开关只要一个开关正常工作即可靠)为（）A0.504B0.994C0.496D0.064【答案】B【解析】【分析】由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，事件与它的对立事件的概率之间的关系，求得结果【详解】三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由
4、间接法知 故选：B【即学即练3】有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是（）A0.56B0.92C0.94D0.96【答案】C【解析】【分析】利用独立事件和对立事件的概率求解即可【详解】设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”由题意知A，B互相独立故目标被击中的概率为P1P()1P()P()10.20.30.94故选：C【即学即练4】2020年1月，教育部出台关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰
5、有两人通过的概率为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，所求概率.故选：C.【即学即练5】已知事件A，B相互独立，P(A)0.4，P(B)0.3，给出下列四个式子：P(AB)0.12；P(B)0.18；P(A)0.28；P()0.42.其中正确的有()A4个B2个C3个D1个【答案】A【解析】【详解】根据事件A，B相互独立，P(A)0.4，P(B)0.3，知在中，P(AB)P(A)P(B)0.40.30.12，故正确；在中，P(B)P()P
6、(B)0.60.30.18，故正确；在中，P(A)P(A)P()0.40.70.28，故正确；在中P()P()P()0.60.70.42，故正确，答案选A.【即学即练6】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则（）AA与B互斥BA与B相互独立CD【答案】BCD【解析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可.【详解】根据题意事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即A与B相互独立，故B正确，A不正确；由，所以，且，故D正确，C正确.故选：BCD【即学即练7】假设，且，相互独
7、立，则_；_.【答案】 0.56 0.94【解析】【分析】（1）由与相互独立知，代入求解即可，（2），代入求解即可【详解】（1），且与相互独立，；（2），故答案为：0.56；0.94【即学即练8】在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：（1）甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为_；（2）至少有一个气象台预报准确的概率为_.【答案】 【解析】【分析】利用分步计算进行求概率即可【详解】记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.（1）（2）至少有一个气象台预报准确的概率为故答案为：；【即学即练9】证明必然事件和不可能事件与任意事
8、件相互独立.【答案】证明见解析【解析】根据独立事件概率性质,由代入化简运算即可.【详解】设任意事件记作A,则.因为所以所以A与,A与都相互独立【点睛】本题考查了独立事件概率的性质及简单应用,属于基础题.【即学即练10】天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）至少一个地方降雨的概率.【答案】（1）0.06（2）0.56（3）0.44【解析】（1）根据独立事件概率性质,代入即可求解.（2）根据互斥事件概率的求法,代入即可求解.（3）根据对立事件
9、概率性质, “至少一个地方降雨”与“甲乙两地都不降雨”互为对立事件,即可代入求解.【详解】设事件“甲地降雨”,事件“乙地降雨”,则事件与相互独立.由题意知.（1）；（2）；（3）.【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件与对立事件概率性质的应用,属于基础题.能力拓展考法01 判断事件的相互独立：【典例1】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为（ ）A互斥B相互对立C相互独立D相等【答案】C【解析】根据题意，事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，两个事件可以同时发生，也可以都不发生，事件发生与否对事件没有影响
10、，是相互独立事件，故选：【典例2】下列各对事件中，不互为相互独立事件的是A掷一枚骰子一次，事件 “出现偶数点”；事件 “出现3点或6点”B袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件 “第二次摸到白球”C袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件 “第二次摸到黑球”D甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件 “从甲组中选出1名男生”，事件 “从乙组中选出1名女生”【答案】C【解答】根据事件的特点易知，事件是否发生对事情发生的概率没有影响，故与是相互独立
11、事件，故，属于相互独立事件对于：由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，所以这两个事件不是相互独立事件；故选：【典例3】若，则事件与的关系是（）A事件与互斥B事件与对立C事件与相互独立D事件与既互斥又独立【答案】C【解析】【分析】根据事件独立性的概念直接判断.【详解】因为，所以又，所以，所以事件与相互独立但不一定互斥故选：C.【典例4】下列各对事件中，为相互独立事件的是（）A掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C袋中有3白2黑共5个大小相同
12、的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”【答案】ABD【解析】【分析】利用相互独立事件的定义一一验证即可.【详解】在A中，样本空间，事件，事件，事件，即，故事件M与N相互独立，A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；在D中，从甲组中选出1名男生
13、与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.故选：ABD.【点睛】判断两个事件是否相互独立的方法：（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用判断.【典例5】一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？【答案】不独立【解析】根据独立事件的定义,利用列举法表示出事件A的集合与事件B的集合,计算与,由独立事件概率的计算公式即可判断.【详解】因为样本空间 所以,此时因此,事件A与事件B不独立.【点睛
14、】本题考查了古典概型概率的求法,独立事件概率的性质及应用,属于基础题.【典例6】从一副无大小王的扑克牌（52张）中任抽一张，记事件A为“抽到K”，记事件B为“抽到红牌”，判断事件A与B是否相互独立？为什么？【答案】事件A与B相互独立，理由见解析【解析】根据事件概率,可求得及,由独立事件概率性质即可判断事件A与B是否相互独立.【详解】事件A与B相互独立,理由如下：,事件AB为“既抽到K又抽到红牌”,即“抽到红心K或方块K”,故,从而有,因此事件A与B相互独立.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,独立事件概率性质及应用,属于基础题.考法02 相互独立事件概率公式的运用：【典例7】若事件与相互
15、独立，且，则的值等于A0BCD【答案】B【解析】【详解】事件“”表示的意义是事件与同时发生，因为二者相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率公式得：.【典例8】若，则事件与的关系错误是（）A事件与互斥B事件与对立C事件与相互独立D事件与既互斥又独立【答案】ABD【解析】【分析】计算得出，由此可得出结论.【详解】由题意可得，因为，所以，故事件与相互独立.故选：ABD.【典例9】已知A，B是相互独立事件，且P(A)，P(B)，则P(A)_；P()_【答案】 【解析】【分析】根据A，B是相互独立事件，结合概率运算的性质，直接进行计算即可.【详解】P(A)，P(B)，P()，P .P(A)P(A)P，
16、P()P()P.故答案为：，.【典例10】已知事件，且，则下列结论正确的是（）A如果，那么，B如果与互斥，那么，C如果与相互独立，那么，D如果与相互独立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A选项在前提下，计算出，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出， ，即可判断.【详解】解：A选项：如果，那么，故A选项错误；B选项：如果与互斥，那么，故B选项正确；C选项：如果与相互独立，那么，故C选项错误；D选项：如果与相互独立，那么，故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.考法03事件
17、相互独立的实际应用：1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤首先确定各事件之间是相互独立的求出每个事件的概率，再求积(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的2. 求较复杂事件的概率的一般步骤如下(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示，(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式，(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算，(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.【典例11】在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为
18、0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（）A0.12B0.88C0.28D0.42【答案】D【解析】【分析】先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解.【详解】因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6，所以甲、乙两地都不下雨的概率为故选：D【点睛】本题主要考查独立事件的概率，对立事件的概率.【典例12】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：目标恰好被命中一次的概率为；目标恰好被命中两次的概率为；目标被命中的概
19、率为；目标被命中的概率为1，以上说法正确的是（）ABCD【答案】C【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【详解】对于说法，目标恰好被命中一次的概率为，所以错误，对于说法，目标恰好被命中两次的概率为，故正确对于说法，目标被命中的概率为，所以错误，对于说法，目标被命中的概率为1，故正确.故选：C.【典例13】一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（）ABCD【答案】B【解析】由题意利用相互独立事件概率的乘法公式，先求出两次摸到的全是白球的概率，再利
20、用对立事件的概率公式即可求解.【详解】记每次摸出白球为事件A，每次摸出黑球为事件B，则，两次摸出的球中至少有一个黑球包括两次黑球和一次白球一次黑球，其对立事件为两次摸到的都是白球，两次摸到的都是白球概率为，所以两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为，故选：B【点睛】本题的关键点是第一次摸出球后又放回去，所以每次摸出白球和黑球的概率都不变，求出这两个概率，每次摸球是相互独立的，所以可以利用概率的乘法公式求出两次摸到的全是白球的概率，即可求出其对立事件至少有一个黑球的概率.【典例14】如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮的概率为（） ABCD【答案】C【解析】【分析】灯泡不亮
21、包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，灯泡不亮的概率是，灯亮和灯不亮是两个对立事件，灯亮的概率是，故选：【点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题【典例15】设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与
22、B都发生的概率的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】设事件A，B发生的概率分别为，则，而A与B都发生的概率，根据基本不等式求解即可【详解】解：设事件A，B发生的概率分别为，则，当且仅当时取“=”， 或（舍），故选：D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查基本不等式的运用，属于基础题【典例16】从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A个球都是红球的概率为B个球不都是红球的概率为C至少有个红球的概率为D个球中恰有个红球的概率为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可知，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一
23、个不是红球的概率是，根据对立事件和相互独立事件的概率计算公式，分别求出各选项中的概率，从而可判断得出答案.【详解】解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.故选：ACD.【典例17】有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为.若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（）A恰有一人解出
24、的概率为B没有人能解出的概率为C至多一人解出的概率为D至少两个人解出的概率为【答案】AC【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式，求各选项对应事件的概率即可.【详解】A：恰有一人解出的概率为，正确；B：没有人能解出的概率为，错误；C：由A、B知：至多一人解出的概率为，正确；D：至少两个人解出的概率为，错误；故选：AC【典例18】某自助银行有四台ATM，在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为.（1）若某客户只能使用四台ATM中的或，则该客户需要等待的概率为_；（2）某客户使用ATM取款时，恰好有两台ATM被占用的概率为_.【答案】 【解析】（1）如果某客户只能使用A或B型号的
25、ATM机，求该客户需要等待即为事A,B同时发生，且A,B相互独立，代入概率公式 可求.（2）恰有两台ATM机被占用，考虑是那两台ATM机被占用，代入相互独立事件的概率公式可求【详解】（1）该客户需要等待意味着与同时被占用，故所求概率为.（2）依题意，该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，但应用公式时一定要注意A,B相互独立的条件【典例19】甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率（1）两人都中靶;（2）恰好有一人中靶;（3）两人都脱靶;（4）至
26、少有一人中靶.【解析】设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立由已知可得 （1） “两人都中靶”,由事件独立性的定义，得（2）“恰好有一人中靶” ,且与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义,得（3）事件“两人都脱靶”，所以（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥，所以方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为.【典例20】甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是.求：（1）甲、乙都解出
27、此问题的概率；（2）甲、乙都未解出此问题的概率；（3）甲、乙恰有一人解出此问题的概率；（4）至少有一人解出此问题的概率.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）根据独立事件概率中,代入即可求解.（2）根据对立事件的概率公式,代入即可求解.（3）甲乙恰有1人解出题目,则甲解出乙未解出,或甲未解出乙解出,即可根据代入求解.（4）至少有一人解出此问题的概率,其对立事件为甲乙两人均未解出题目,由对立事件概率求法代入即可求解.【详解】记甲独立解出此题为事件A,乙独立解出此题为事件B,则A与B为相互独立事件,且.（1）；（2）；（3）记事件C为甲、乙恰有一人解出此问题,则,；（4）记事件D为至少有一
28、人解出此问题,则【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,对立事件的性质及简单应用,属于基础题.分层提分题组A 基础过关练1掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（）A互斥B互为对立C相互独立D相等【答案】C【解析】【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.【详解】掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；，因为，所以与独立，故选项C正确；事件与不相等，故选项D错误.故选：C.2. 甲乙丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,则此密码能被译出的概率
29、是（ ）ABCD【答案】C【解析】先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.【详解】用事件A,B,C分别表示甲乙丙三人能破译出密码,则,且.此密码能被译出的概率为.故选：C【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题.3. 一个旅行团到漳州旅游,有百花村与云洞岩两个景点可选择,该旅行团选择去哪个景点相互独立,若旅行团选择两个景点都去的概率是,只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等,则选择去百花村的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据相互独立事件概率计算公式，结合已知条件列方程组，解方程组求得选择去百花村的概率.【详解】用事件A表示“旅行
30、团选择去百花村”,事件B表示“旅行团选择去云洞岩”,则,.设,则解得(负值舍去),故选择去百花村的概率是.故选：A【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.4. 出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是,则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据相互独立事件概率乘法公式，计算出所求概率.【详解】因为这位司机在第一,二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的,且遇到红灯的概率都是,所以未遇到红灯的概率都是,所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为.故选：B【点
31、睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.5. 首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况：只是甲企业购买，只是乙企业购买或只是丙企业购买，设出每一个企业购买设备所表示的事件，并求其对立事件的概率，根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案.【详解】设 “甲企业购买该机床设备” 为事件A， “乙企业购买该机床设备” 为事件B， “
32、丙企业购买该机床设备” 为事件C，则，则，设 “三家企业中恰有1家购买该机床设备” 为事件D ，则，故选C.【点睛】本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.6. 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）ABCD【答案】B【分析】本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，写出三个人各有一次合格的概率的积，再求和【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的三人中恰有两人合格的概率故选B
33、.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出事件发生包括的所有的情况，这里的数字比较多，容易出错7. 学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（ ）ABCD【答案】C【分析】先分别求出再打2，3,4局，小明连胜2盘并最后获胜的概率，最后求出小明连胜2盘并最后获胜的概率.【解析】如果再打2局，小明连胜2盘并最后获胜的概率为.如果再打3局，小明连胜2盘并最后获胜的概率为.如果再打4局，小明连胜2盘并最后获胜的概率为.所以小明连胜2盘并最后获胜的概率为故答案为C【点睛
34、】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.8. 如图，元件通过电流的概率均为09，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是（ ）A0729B08829C0864D09891【答案】B【解析】电流能通过的概率为，电流能通过的概率为，故电流不能通过也不能通过的概率为，所以电流能通过系统的概率为，而电流能通过的概率为，所以电流能在之间通过的概率为，故选B考点：相互独立事件的概率乘法公式【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式所求事件的概率与它的对立事件之间概率的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题求出电流不能通过
35、也不能通过的概率，用减去此概率即得到电流能通过系统的概率，再根据电流能通过的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求得电流在之间通过的概率9. 中秋节放假，甲、乙、丙回老家过节的概率分别为，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】至少有1人回老家过节的对立事件为：没有一人回老家过节，故只需要计算甲乙丙都不回家过节的概率即可求解.【详解】甲、乙、丙回老家过节分别记为事件，则，由题意，知，为相互独立事件，3人都不回老家过节的概率为，故至少有1人回老家过节的概率故选：B10. 在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，
36、假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有人去此地的概率是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率乘法公式，（法一）至少有1人去此地包含甲去乙不去、甲不去乙去、甲去乙去三种情况，由此即可求出结果；（法二）它的对立事件是两个人都不去此地，做出两个人都不去此地的概率，再根据对立事件的概率得到结果【详解】（法一）设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则至少有一人去此地的概率为；（法二）所求事件的概率；故选：C11. 下列事件A，B是相互独立事件的是（）A一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸
37、球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”DA表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”【答案】A【解析】【分析】结合独立事件、互斥事件和条件概率事件的概念即可.【详解】A：一枚硬币抛两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”，故事件A、B是相互独立事件；B：袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”，表示“第一次摸到白球,第二次摸到白球”事件，则，故事件A、B不是相互独立事件；C：掷一枚骰子，A表示“出现的点数为奇数
38、”，B表示“出现的点数为偶数”，故事件A、B是互斥事件，故事件A、B不是相互独立事件；D：A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”，是条件概率.故选：A.【点睛】判断独立事件常用的方法：定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.12. 某地有，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，中恰有两人直接受感染的概率是（）ABCD【
39、答案】C【解析】根据题意得出：因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，中恰有两人直接受感染为事件由此可计算出概率【详解】设直接受A感染为事件B、C、D，则事件B、C、D是相互独立的，表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的，所以，所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为，故选：C.13. 某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分，甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三人中至少有一人达标的概率为（）A0.015B0.005C0.985D0.995【答案】D【解析】设出每一个每一个考生达标的事件，并求其对立事件的
40、概率，根据相互独立事件的概率的和事件求解出答案.【详解】设 “甲考生达标” 为事件A， “乙考生达标” 为事件B， “丙考生达标” 为事件C，则，设 “三人中至少有一人达标” 为事件D ，则，故选：D.【点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.14. 设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件第一个正四面体向下的一面出现偶数；事件第二个正四面体向下的一面出现奇数；事件两个正四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数.给出下列说法：；.其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个【答案】D【解析】
41、利用古典概型的概率计算公式和相互独立事件同时发生的概率乘法公式，即可判断3个命题的真假【详解】根据古典概型的概率计算公式，可计算出，又因为事件，事件，事件相互独立，所以，故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的计算公式和相互独立事件同时发生的概率乘法公式的应用，属于基础题15. 荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示.假设现在青蛙在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是（）ABCD【答案】A【解析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时
42、针，根据概率公式即可得到结论【详解】由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径：第一条，按，此时停在叶上的概率；第二条，按，此时停在A叶上的概率.所以跳三次之后停在叶上的概率.故选：A【点睛】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键16. 在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（）ABCD【答案】B【解析】要使灯亮，必须a闭合，而开关b，或c闭合，再根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果【详解】设开关a，b，c闭合分别为事件A，B，C，灯亮为事件E，则灯亮这一事件，且
43、A，B，C相互独立，两两互斥，故选：B.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题17. 甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为（）ABCD以上都不对【答案】C【解析】【分析】分别求出仅甲及格的概率、仅乙及格的概率、仅丙及格的概率，再把三个概率值相加，即可求得答案.【详解】甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，仅甲及格的概率为：；仅乙及格的概率为：；仅丙及格的概率为：；三人中只有一人及格的概率为：.故选C.【点睛】本题考查相互独立事件的乘法概率公式，对立事件的概率关系，体现分类讨论的数学思想，属于基础题.题组B 能力提升练1.（多选题） 下列各对事件中,为相互独立事件的是（ ）A掷一枚
