1、 1 2015 2016学年度第二学期数学（理）期中考试试题 一、 单选题（ 60 分） 1、若复数 ? ?21 ia?（ i为虚数单位）是纯虚数，则实数 ?a（ ） A. 1? B. 1? C. 0 D.1 2、空间中，设 ， 表示直线， ， ， 表示平面，则下列命题正确的是 ( ) A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ，则 3、如图所示的算法框图输出的结果为 ( ) . A.1 B.2 C.4 D.8 4、如图，在底面 ABCD为平行四边形的四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， M是 AC 与 BD 的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相 等的向量是 (
2、) A. B. C. D. 5、直三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 BAC=90， AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 6、已知 是三个不同的平面， ， 。则 ( ) A.若 ，则 B.若 ，则 2 C.若 ，则 D.若 ，则 7、某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a、 b，则椭圆 (ab0)的离心率的概率是 ( ) A. B. C. D. 8、平面 外有两条直线 和 ，如果 和 在平面 内的射影分别是 和 ，给出下列四个命题： 与 相交 与 相交或重合 与 平行与 平行或重合，其中不正确的命题的个数是 ( ) A
3、.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9、如图，正方体中，两条异面直线 BC1与 CD1所成的角是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 10、函数 f（ x） = ex（ sinx+cosx）在区间 0， 上的值域为 ( ) A. ， B.( ， ) C.1， D.(1， ) 11、设抛物线 y2=4x的焦点为 F，过点 M（ -1， 0）的直线在第一象限交抛物线于 A、 B，使 ，则直线 AB的斜率 k=( ) 3 A. B. C. D. 12、已知几何体的三视图如图所示，它的侧面积是 ( ) A.4+ B.2+ C.3+ D.6 二、填空题（ 20 分） 13、已知双曲线 和椭
4、圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 _ 14、一个五面体的三视图如图，正视图与侧 视图都是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 _ 15、圆的方程 x2+y2+kx+2y+k2=0，当圆的面积最大时 ，圆心的坐标是 16、三棱锥 S ABC中， SBA SCA 90， ABC 是斜边 AB a的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90；直线 SB平面 ABC；平面 SBC平面 SAC；点 C到平面 SAB的距离是 12a. 4 其中正确结论的序号是 _ 三、 解答题（ 70 分） 17、（ 1
5、0 分）已知圆锥的母线长为 5cm ，高为 4cm ， 求这个圆锥的体积。 18、（ 12 分）设 l 为曲线 ln: xCyx? 在点 (1,0) 处的切线 （）求 l 的方程 ； （）证明：除切点 (1,0) 之外，曲线 C 在直线 l 的下方 19、 （ 12 分） 已知正 方体1 1 1 1ABCD A B C D?，O是底CD对角线的交点 . 求证：（） C1O面11D； （ 2 ）面 BDC1面AB （ 12 分） 20、（ 12 分）过直线 上的动点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点 若切线 的斜率分别为 ，求证： 为定值； 求证：直线 恒过定点 21、（ 12分） 四棱锥
6、P-ABCD 中，底面 ABCD为直角梯形， ， AD BC, AB=“BC=2,“ AD=“4,“ PA底面 ABCD， PD与底面 ABCD成 角， E是 PD 的中点 . （ 1）点 H在 AC上且 EH AC，求 的坐标； （ 2）求 AE与平面 PCD所成角的余弦值 . D 1ODBAC 1B 1A 1C5 22、（ 12 分）把正方形 以边 所在直线为轴旋转 到正方形 ，其中 分别为 的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）求二面角 的大小 . 6 高二数学（理）期中考试答案 一、 选择题： ABDAC DCACA BB 二、 填空题： 13、 14
7、、 2 15、（ 0、 -1） 16、 三、解答题： 18、 解：（ I）2ln 1 lnxxyy ? ? ?,所以 l 的斜率 1 1xky? 所以 l 的方程为 1yx? （ II）证明：令 ( ) ( 1) ln ( 0 )f x x x x x? ? ? ? 则 1 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 1 xxf x x xx? ? ? ? ? ()fx? 在（ 0， 1）上单调递减，在（ 1， +）上单调递增，又 (1) 0f ? (0,1)x? 时， ( ) 0fx? ，即 ln 1x xx ? (1, )x? ? 时， ( ) 0fx? ，即 ln 1x xx ? 即除切点（
8、1， 0）之外，曲线 C在直线 l 的下方 20、 【答案】解：不妨设 ， 由 ，当 时， ， ，所以 同理 由 ，得 同理 所以， 是方程 的两个实数根，所以 ， 所以 为定值 直线 的方程为 即 ， 7 即 ，由于 ，所以直线方程化为 ， 所以，直线 恒过定点 【解析】（ 1）不妨设 ， 利用导数的几何意义，得到直线的斜率，运用斜率关系式证明结论 . （ 2）证明直线恒过定点，关键是求解直线方程，直线 的方程为 即，由于 ，所以直线方程化为 ，所以，直线 恒过定点 . 21、 【答案】解： (1) 以 AB,AD,AP 分别为 x,y,z轴，建立如图所示的坐标系 则 由条件知， 而： PA
9、底面 ABCD， PD与底面 ABCD成 角 , 设 ， 由 EH AC得， ，解得 8 所求 （ 2）由上得， 而 ， , 记平面 PCD的一个法向量为 ，则 且 解得 取 则 设 AE与平面 PCD所成角为 ，则 ， 则所求的余弦值为 22、解：（ 1）设 的中点为 ,连接 是 的中点 且 是 的中点 且 ， 且 是平行四边形， 平面 , 平面 ， 平面 （ 2） 为等腰直角三角形， ,且 是 的中点 平面 平面 平面 设 ，则在 中 ， ， 9 则 ， 是直角三角形， 平面 （ 3）分别以 为 轴建立空间直角坐标系 如图， 设 ，则设 , 平面 ， 面 的法向量为 = 设平面 的法向量为 ， , , ， , 不妨设 ，可得 ， = 二面角 是锐角， 二面角 的大小
