1、 1 江西省玉山县 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一、 选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 1 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， M为 AC与 BD的交点 .若 11BA =a ， 11DA =b ， AA1 =c ，则下列向 量中与 MA1 相等的向量是 A. 21 a +21 b +c B.21 a +21 b +c C.21 a 21 b +c D. 21 a 21 b +c 2 设函数 ? ? 212 ? xxf ， ()fx是 ()fx的导数， 则函数 ? ? ? ?cosg x f x x? 的部分图象可以为 A. B. C. D.
2、 3 抛物线顶点在原点，焦点在 y轴上，其上一点 ? ?1?,mP 到焦点距离为 5，则抛物线的标准方程为 A. yx 82? B. yx 82 ? C. yx 162 ? D. yx 162 ? 4 在下列命题中： 若 a 、 b 共线， 则表示 a 、 b 的有向线段 所在的直线平行； 若 表示 a 、 b 的有向线段所在 直线是异面直线，则 a 、 b 一定不共面； 若 a 、 b 、 c 三向量两两共面，则 a 、 b 、 c 三向量一定也共面； 已知三向量 a 、 b 、 c 不共面 ，则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p xa yb zc? ? ? , ,x y z R?
3、其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 5 已知点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段 AB上一点，且 ACAB 3? ,则点 C的坐标是 A. 7 1 5( , , )2 2 2?B. 3( , 3,2)8?C. 10 7( , 1, )33?D. 5 7 3( , , )2 2 2?6 过双曲线的一个焦点 2F 作垂直于实轴的弦 PQ ， 1F 是另一焦点，若 QPF1? 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率 e 等于 A. 12? B. 2 C. 12? D. 22? 7 已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线的长都等于 1，点 E、 F分别是 AB、 AD 的
4、中点，则 FCED? O x x x x y y y y O O O 2 等于 A.81 B. 81? C. 83 D. 83? 8 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,E、 F分别为 BC、 CC1的中点，则直线 EF 与平面 BB1D1D所成角的正弦值为 A. 63 B. 552 C. 155 D. 105 9 ABC? 的三个顶点分别是 )2,1,1( ?A ， )2,6,5( ?B ， )1,3,1( ?C ，则 AC 边上的高 BD长为 A.5 B. 41 C.4 D. 52 10 若直线 2?kxy 与曲线 62 ? yx 交于不同的两点，那么 k
5、 的取值范围是 A.（ 315,315? ） B.（ 315,0 ） C.（ 0,315? ） D.（ 1,315? ） 11 已知中心在原 点的椭圆 C的右焦点为 (1,0)，一个顶点为 ),( 30 ，若 在此椭圆上存在不同两点关于直线 mxy ?2 对称，则 m 的取值范围是 A.（ 315315,? ） B.（ 1313213132 ,? ） C.（ 2121,? ） D.（ 13151315,? ） 12 设函数 cbxaxxxf ? 22131)( 23 ，若 ?xf 有两个极值点 ?、 ，且 210 ? ? ，则 224 ba ? 的取值范围是 A. 113( , )44 B.
6、1( ,1)4 C. 9(1, )4 D. 913( , )44 二、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13 若 (1 ,1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 2 ) ,a b a b? ? ? ?则同方向的单位向量是 _. 14 已知向量 =2a （ ， -1， 1）， ( ,1, 1)b ?，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 ? 的取值范围是 _. 15 椭圆 14 2 ?yx2 的焦点 1F 、 2F ，点 P 为其上的动点，当 1F P 2F 为钝角时 ,点 P 横坐标的取值范 围是 16 设 ? ? xlnxf ? ， ()fx是 ()fx的导数， 若 ? ?
7、? ? ? ?2g x f x afx? ? ?有两个不相同的零点，则实数 a 的 3 取值 范围是 _ 三、 解答题： 本大题共 6小题， 17小题 10 分，其它各小题 12 分 17（ 1）双曲线与椭圆 13627 22 ? yx 有相同焦点，且焦点到渐近线的距离等于 5 ，求双曲线的标准方程； （ 2）已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 21yx?截得的弦长为 15 ，求抛物线的标准方程 . 18如图，在底面是菱形的四棱锥 P ABC中， ABC=60 0， PA=AC=a， PB=PD= a2 ,点 E是 PD中点 . （ 1）求证： ABCDPA 平面? ； （ 2）求
8、二面角 E-AC-D的余弦值 . 19 如图，在五面体 ABCDEF 中， AB CD EF ， 222 ? ADABCFEFCD ， 060?DCF ，CDAD? ，平面 ?CDEF 平面 ABCD ， P 是 BC 的中点， （ 1） 求异面直线 BE 与 PF 所成角的余弦值； （ 2） 在直线 EF 上，是否存在一点 Q ，使得 EBD/PQ 平面 ， 若存在，求出该点；若不存在请说明 理由 . D P B A C E 4 20 在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 xy?2 上异于坐标原点的两不同动点、满足 AO BO? （ 1）求 AOB? 的 重心 G （即三角形三条中线的交点）
9、的轨迹方程； （ 2） AOB? 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 21 已知 0a? ，函数 2( ) , ( ) lnf x a x x g x x? ? ?. （ 1）若 12a? ，求函数 ( ) 2 ( )y f x g x?的极值； （ 2）设 0?b ， ()fx是 ()fx的导数， ()gx是 ()gx的导数， ? ? ? ? ? ? 1h x f x b g x? ? ?，图像的最低 点坐标为 (2,8) ， 找出最大的实数 m ，满足 对于任意正实数 21,xx 且 121xx?，mxhxh ?)()( 21 成 立 . 22 如图，已知椭圆
10、的离心率 为 22 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 12,FF为顶点的三角形的周长为 ? ?124 ? ， 一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设 P 为该双曲线上异于顶点的 任一点，直线 1PF 和 2PF 与椭圆的交点分别为 BA, 和 DC, ，其中 CA, 在 x 轴的同一侧 . （ 1）求椭圆和双曲线的标准方程； （ 2）是否存在题设中的点 P ，使得 CDABCDAB ? 43？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 5 6 高二理科数学期中考试 参考答案 一、 选择 题 : 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
11、 A D B C C B D A D C A 二、填空题 : 13 （ 0， 55 ， 255 ） 14 21 ? ? 且 15. ? 362362 , 16. ? ?21 ln, ? 三、解答题 : 17.（ 1）椭圆 22136 27yx?的 焦点为 (0, 3), 3c?， 焦点到渐近线的距离等于 5 ， 5?b ， 2 4a?，双曲线方程为 22145yx?。 （ 2）设 抛物线的方程为 ? ?022 ? ppyx ，则? ? 1222 xy pyx 消去 y 得 0242 ? ppxx ， 151 8165 2 ? ppAB ， 4143或?p 抛物线的方程为 yxyx 2321 2
12、2 -? 或 18.（ 1）证明 ： 因为底面 ABCD是菱形， ABC=60 ， 所以 AB=AD=AC=a， 在 PAB 中， 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PAAB. 同理， PAAD ，所以 PA 平面 ABCD. （ 2） 作 EG/PA交 AD 于 G， 由 PA 平面 ABCD. 知 EG 平面 ABCD.作 GHAC 于 H，连结 EH， 则 EHAC ， EHG 即为 所求 二面角的平面角 ? . 又 PE =ED， 所以 .as i nAGGH,aAG,aEG 43602121 ? 从而 21cos 7EGEH? ? 19. （ 1） CD EF ， 2? CFE
13、FCD 四边形 CDEF 为菱形， 060?DCF ， DEF? 为正三角形，取 EF 的中点 G ，连接 GD ，则 EFGD? CDGD? ， 平面 ?CDEF 平面 ABCD ， ?GD 平面 CDEF ， ?CD 平面 ?CDEF 平面 ABCD ， ?GD 平面 ABCD CDAD? DGDCDA , 两两垂直 2 分 以 D 为原点， DGDCDA , 的方向为 zyx , 轴，建立空间直角坐标系 1,2 ? ADABCFEFCD ， )3,1,0(),3,1,0(),0,2,0(),0,1,1(),0,0,1( FECBA ?、 ? 02321 ,P7 ? ? ? ? 32121
14、321 ,PF,BE，287927829?PFBEc o s ， (2)存在，该点即为 EF 中点 G ，连结 DFCE、 交于点 H ， ED/GH,ED/PH? ，EBD/P G H 平面平面? EBD/PG 平面? 20.解：（ 1）设 AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则?332121yyyxxx （ 1） OAOB 02121 ? yyxx ， (2) 又点 A， B在抛物线上，有 222121 xy,xy ? ，代入（ 2）化简得 121 ?yy 32332331231313 2221221222121 ? y)y(yy)yy()yy(xxx所以重
15、心为 G的轨迹方程为 ? ? 32312 xy（ 2） 222121222221222122222121 21)(21|21 yyyxyxxxyxyxOBOAS A O B ?由（ 1）得 1221212212221221 662616261 ? )(yyyyS A O B?当且仅当 6261 yy ? 即 121 ? yy 时，等号成立。 所以 AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1； 21.（ 1）当 21?a 时， ? ? ? ? xxxxgxf ln2212 2 ? ， ? ? ? ? ?x xxxxxxxxf 12221 2 ? ， 0?x - ? ? ? ?xgxf 2? 在
16、 2?x 处取得极小值 ? ? ? ? 2ln2222 ? gf ，没有极大值 （ 2） 由题意，得 ? ? xbaxxh ? 2 ，则 ? ? ,222 abxbaxxh ? 当且仅当abx 2?时，等号成立，?8182222baabab ，? ? xxxh 82 ? mxhxh ?)()( 21 恒成立 ， 设 )(16644)4)(4(4)()( 12212121221121 xxxxxxxxxxxxxhxhu ? = 2 2 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 26 4 6 4 8 04 1 6 4 1 6 4 3 2x x x
17、x x xx x x x x xx x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 令 12t xx? ，则 41)2( 22121 ? xxxxt，即 41,0(?t ，则 804 32utt? ? ? 在 41,0(?t 上单调递减， 289)41( ?uu ， ?最大的 实数 数 289m? . 22.解 ：（ 1） 由题意知，椭圆离心率为 ca? 22 ，得 2ac? ，又 22ac?4( 2 1)? ，所以可解得22a? ， 2c? ，所以 2 2 2 4b a c? ? ? ，所以椭圆的标准方程为 22184xy?；所以椭圆的焦点坐标为（ 2? ， 0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标 准方程为 144 22 ? yx （ 2）设 ? ? yxP , ，则2,2 21 ? ? ? ? x ykx yk PFPF， P? 在双曲线 144 22 ? yx 上， 121 ? PFPF kk，设 1PF
